I Wstęp teoretyczny

Twierdzenie Steinera opisuje związek pomiędzy momentem bezwładności(J) bryły sztywnej obracającej się wokół osi centralnej, czyli przechodzącej przez środek masy ciała , a momentem bezwładności(J*) tej bryły wykonującej ruch obrotowy względem dowolnej osi równoległej do osi centralnej.

Z powyższego wzoru możemy odczytać, iż moment bezwładności J* jest równy sumie momentu bezwładności J i iloczynu Md², przy czym M oznacza masę ciała ,a d² symbolizuje kwadrat odległości pomiędzy osią centralną oraz osią względem której obraca się bryła sztywna.

II Opracowanie ćwiczenia

1)W doświadczeniu wyznaczałem połowy okresów drgań okrągłej tarczy , które były zależne od osi obrotu. Poniżej zostały zestawione w tabeli zmierzone wyniki pomiarów , ich średnie arytmetyczne oraz średnie błędy kwadratowe, wcześniej jednak przedstawiłem przykładowe obliczenia dla osi numer 1:

Średnia arytmetyczna x[s]:

X=(Σ(T/2))/10= 13,71/10=1,371

Odchyłka od x ((T/2)-x) [s] (dla pierwszego wyniku pomiaru):

((T/2)-x)= 1,386-1,371=0,015 [s]

Kwadrat odchyłki ((T/2)-x)² [s²] (dla pierwszego wyniku pomiaru):

((T/2)-x)²= (0,015)²=0,000255=2,55*

[s²]

Średni błąd kwadratowy б [s] :

б=√ (Σ((T/2)-x)²)/n(n-1))= √ (0,002498/10*9) =0,005268354=0,00527=5,27*10
[s]

2) Po przekształceniu następującej zależności: T=2π√ (J/D) do postaci J=((T/2π) ²)D

możemy obliczyć moment bezwładności bryły sztywnej przy pomocy wyników pomiarów. W powyższych wzorach J oznacza moment bezwładności tarczy względem zadanej osi obrotu, D symbolizuje stałą modułu skręcenia zależną od budowy mechanizmu torsyjnego, która w ćwiczeniu wynosi 0,0255 Nm. Poniżej zobrazowane zostały w tabeli wyniki obliczeń oraz ich optymalne średnie błędy kwadratowe. Analogicznie do podpunktu 1 najpierw zostały przedstawione obliczenia przykładowe dla 1 osi:

Moment bezwładności J [kg*m²]:

J=((T/2π) ²)D= ((1,371/ π) ²)*0,0255= 0,00485641 [Nms²]=

0,00485641=0,00486=4,86*10
[kg*m²]

Optymalny średni błąd kwadratowy σ [kg*m²] :

σ =√ ((x* б*D)/ π) ²)=(x* б*D)=1,371*0,005268354*0,0255=

0,0000186618=0,000019=1,9*10
[kg*m²]

3) Wykonując wykres J=f(d²) , gdzie d jest odległością kolejnych osi obrotu od osi centralnej, korzystamy z metody najmniejszych kwadratów Gaussa.

J=ad²+b

nr punktu	d²	J	J*d²	(d²)²	J²
1	0,00	0,00486	0	0	2,35847E-05
2	0,09	0,00506	0,00045	0,0081	2,56518E-05
3	0,36	0,00601	0,00216	0,1296	3,61518E-05
4	0,81	0,00767	0,00622	0,6561	5,88741E-05
5	1,44	0,00953	0,01371	2,0736	9,06408E-05
∑	2,70	0,03313	0,02246	2,8675	0,000234903

a =(∑d² * ∑J -5∑J*d²)/(∑ d²)²- ∑(d²)²)=0,00331 [kg]

b=(∑d²*∑J*d²- ∑J*∑(d²)²)/(∑ d²)²- ∑(d²)²)=0,00485 [kg*m²]

∑ε²=∑ J²- a∑J*d² -b∑J=3,6333E-08

odchylenie standardowe wartości średniej ±a=√ ((1/3)*∑ε²*(5/(5∑(d²)²-(∑ d²)²)))=9,26991*10

odchylenie standardowe wartości średniej ±b=√ ((1/3)*∑ε²*(∑(d²)²/(5∑(d²)²-(∑d²)²)))=7,01996*10

Wnioski:Na podstawie obliczeń oraz wykonanego wykresu można stwierdzić, iż wykres jest liniowy, a tym samym moment bezwładności zależy liniowo od kwadratu odległości osi centralnej i osi, względem której obraca się tarcza. Zauważyć można również , że moment bezwładności tarczy jest najmniejszy , gdy obraca się względem osi centralnej.

4) Moment bezwładności tarczy możemy obliczyć także korzystając z następującego wzoru

J=(MR²)/2

gdzie M oznacza masę (0,4 kg) ,a R promień tarczy (0,15 m). Mamy więc:

J=(0,4*(0,15) ²)/2=0,0045=4,5*10
[kg*m²]

Wnioski:

Porównując ten wynik z wynikiem odczytanym z wykresu dla d²=0 , czyli

J=0,004801163=0,00484 =4,81*10
± 0,08*10
[kg*m²]

zauważamy , że wyniki te nie są identyczne(z teorii wiemy ,że powinny być) nawet, gdy weźmiemy pod uwagę średni optymalny błąd kwadratowy. Stało się tak ponieważ kąt odchylenia tarczy wynosił 90º , nie był to więc kąt mały, a jak wiadomo zależność okresu wahadła , z której korzystałem na początku ćwiczenia jest najsłuszniejsza dla małych kątów. Możemy stąd również wywnioskować ,iż obliczanie momentu bezwładności tarczy za pomocą wzoru J=(MR²)/2 było w tym wypadku dokładniejsze od metody drugiej (wykorzystującej okres wahań ciała)

5) Chcąc obliczyć moment bezwładności ciała względem osi stycznej i prostopadłej do tarczy, należy skorzystać z liniowo zależnego twierdzenia Steinera J*=J+Md², gdzie J=(MR²)/2 [kg*m²] ; M=0,4 [kg] ; d=0,15 [m] ; R=0,15. Otrzymujemy:

J*=(MR²)/2 + Md²= (0,4*0,15*0,15)/2 + 0,4*0,15*0,15= 0,0045 + 0,009= 0,0135=13,5*10
[kg*m²]

---