1. Zakres ćwiczenia :
Celem ćwiczenia było stwierdzenie zależności okresu drgań wahadła od momentu bezwładności, doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera i wyznaczenie momentu bezwładności ciał względem osi przechodzącej przez środek masy.
2. Wiadomości ogólne :
Ruch drgający - ruch lub zmiana stanu, który charakteryzuje powtarzalność w czasie wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. Ruch drgający nazywamy okresowym, jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań powtarzają się w równych odstępach czasu.
Drgania harmoniczne - najprostszy przykład ruchu drgającego okresowego. Drgania nazywamy takimi, jeżeli ich zależność od czasu (t) ma postać :
x - dowolna wartość chwilowa dowolnej wielkości fizycznej
A - amplituda x
ϖ - częstość kołowa
ϕ0 - faza początkowa drgań
Okres drgań - najmniejszy odstęp czasu po upływie którego powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących drganie. Okres drgań harmonicznych (T) dla wahadła fizycznego :
ϖ - częstość kołowa
Moment bezwładności - wielkość dynamiczna wpływająca na przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego, zależna od wartości, jak i rozkładu przestrzennego masy obracającego się ciała.
miri - moment bezwładności i-tego punktu materialnego
r - promień obrotu
m - masa ciała
Twierdzenie Steinera:
Moment bezwładności (I) względem osi obrotu nie przechodzącej przez środek masy tej bryły jest równy sumie momentów bezwładności, (I0) bryły względem osi przechodzącej przez jej środek masy oraz momentu bezwładności (md2) środka masy tej bryły względem osi obrotu.
3. Spis przyrządów .
- suwmiarka o dokładności 0,02 mm
- elektroniczna waga laboratoryjna o dokładności 0,1 g
- stoper o dokładności 0,01 s
4. Wyniki pomiarów :
-masa :
|
m [g] |
Δm [g] |
tarczy |
1061,0 |
0,1 |
pierścienia |
221,0 |
0,1 |
Do obliczeń przyjęto następujące wartości : mt = (1,061 * 0,001) kg
mp = (0,221 * 0,001) kg,
ponieważ trzeba było by przeprowadzić kalibrację zera.
- Pierścień :
Lp. |
d [mm] |
D [mm] |
r [mm] |
R [mm] |
1 |
95,40 |
119,60 |
47,70 |
59,80 |
2 |
95,34 |
119,80 |
47,67 |
59,90 |
3 |
95,40 |
119,66 |
47,70 |
59,83 |
Suma: |
286,14 |
359,06 |
143,07 |
179,53 |
xśr |
95,38 |
119,69 |
47,69 |
59,84 |
Δxśr |
0,02 |
0,06 |
0,01 |
0,03 |
Lp. |
Czas 100 wahnięć [s] |
Okres T [s] |
1 |
67,50 |
0,6750 |
2 |
68,10 |
0,6810 |
3 |
67,79 |
0,6779 |
4 |
69,23 |
0,6923 |
5 |
68,83 |
0,6883 |
Suma: |
341,45 |
3,4145 |
xśr |
68,29 |
0,6829 |
Δxśr |
0,33 |
0,0033 |
I = |
1,221 10-3 |
[kg m2] |
|
ΔI = |
0,017 10-3 |
[kg m2] |
|
δI = |
1,4 |
[%] |
|
|
|
|
|
I0 = |
7,2 10-4 |
[kg m2] |
|
ΔI0 = |
0,3 10-4 |
[kg m2] |
|
δI0 = |
4,2 |
[%] |
|
|
|
|
|
I0 = |
6,470 10-4 |
[kg m2] |
|
ΔI0 = |
0,035 10-4 |
[kg m2] |
|
δI0 = |
0,55 |
[%] |
|
- Tarcza :
Otwór : |
2d [mm] |
d [mm] |
1 |
89,90 |
44,95 |
2 |
117,44 |
58,72 |
3 |
139,90 |
69,95 |
Lp. |
t1 [s] |
Okres T1 [s] |
t2 [s] |
Okres T2 [s] |
t3 [s] |
Okres T3 [s] |
1 |
71,93 |
0,7193 |
67,23 |
0,6723 |
67,91 |
0,6791 |
2 |
68,07 |
0,6807 |
72,85 |
0,7285 |
61,87 |
0,6187 |
3 |
69,37 |
0,6937 |
68,03 |
0,6803 |
68,03 |
0,6803 |
4 |
68,26 |
0,6826 |
68,26 |
0,6826 |
69,33 |
0,6933 |
5 |
67,67 |
0,6767 |
69,03 |
0,6903 |
69,32 |
0,6932 |
6 |
68,93 |
0,6893 |
- |
- |
66,01 |
0,6601 |
Suma: |
414,23 |
4,1423 |
345,40 |
3,4540 |
402,47 |
4,0247 |
xśr |
69,04 |
0,6904 |
69 |
0,69 |
67,1 |
0,671 |
Δxśr |
0,77 |
0,0077 |
1 |
0,01 |
1,2 |
0,012 |
tx - czas 100 wahnięć
wartość stałej C
Lp.
|
C [m2] |
ΔC [m2] |
1 |
0,1848 |
0,0006 |
2 |
0,2316 |
0,001 |
3 |
0,2473 |
0,0013 |
Suma: |
0,6636 |
- |
xśr |
0,2212 |
- |
C = |
0,2212 |
[m2] |
ΔC = |
0,0013 |
[m2] |
δC = |
0,6 |
% |
I0 = |
5,945 10-3 |
[kg m2] |
ΔI0 = |
0,041 10-3 |
kg m2] |
δI0 = |
0,7 |
% |
Za ΔC przyjęto największy błąd wyznaczenia wartości C.
5. Wzory i przykłady obliczeń :
Wzory wykorzystane do obliczeń dla pierścienia :
- moment bezwładności pierścienia względem osi środkowej [kg m2] - wzór tablicowy
m - masa [kg]
r - promień wewnętrzny pierścienia[m]
R - promień zewnętrzny pierścienia[m]
I0=0,5*0,221*[(47,69*10-3)2+(59,84*10-3)2]=6,4699*10-4≈6,470*10-4
- błąd bezwzględny I0 policzonego ze wzoru tablicowego [kg m2]
m - masa [kg]
Δm - błąd bezwzględny masy [kg]
r - promień wewnętrzny [m]
Δr -błąd bezwzględny promienia wew. [m]
R - promień zewnętrzny [m]
ΔR -błąd bezwzględny promienia zew. [m]
- moment bezwładności względem dowolnej osi obrotu [kg m2]
T - okres drgań [s]
m - masa [kg]
g - przyspieszenie ziemskie [m/s2]
r - promień obrotu [m]
- błąd bezwzględny I - z metody różniczki logarytmicznej
Aby otrzymać wartość ΔI0 należy równanie pomnożyć przez I.
- twierdzenie Steinera
I0 - moment bezwładności względem osi środkowej [kg m2]
m - masa [kg]
r - promień obrotu [m]
- błąd bezwzględny I0 z tw. Steinera
ΔI - błąd bezwzględny momentu bezwładności [kg m2]
m - masa [kg]
Δm - błąd bezwzględny masy [kg]
r - promień wewnętrzny [m]
Δr -błąd bezwzględny promienia wew. [m]
Wzory wykorzystane do obliczeń dla tarczy :
-stała C [m2]
Tx - okres drgań [s]
g - przyspieszenie ziemskie [m/s2]
dx - promień obrotu [m]
C1=0,69042*9,81*44,95*10-3-4*π*44,95*10-3≈0,1848
- metoda szacowania błędu różniczką zupełną dla stałej C [m2]
ΔT - błąd bezwzględny okresu drgań [s]
Δd - błąd bezwzględny promienia obrotu [m]
ΔC1=2*0,6904*44,95*10-3*0,077+4*π*44,95*10-3*0,02+0,69042*9,81*0,02*10-3≈0,0006
- moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy [kg m2]
m - masa [kg]
C - stała [m2]
I0=1,061*0,2212/(4*π2)=5,94484*10-3≈5,945*10-3
- metoda szacowania błędu różniczką logarytmiczną dla I0
ΔC - błąd bezwzględny stałej C [m2]
C - stała C [m2]
Δm - błąd bezwzględny masy [kg]
m - masa [kg]
Aby otrzymać wartość ΔI0 należy równanie pomnożyć przez I0.
Inne wzory :
- średnia arytmetyczna
n - liczba pomiarów
xj - pomiar j-ty
- średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej
n - liczba pomiarów
x - średnia arytmetyczna
xj - pomiar j-ty
- błąd względny [%]
δb - błąd bezwzględny wartości mierzonej
x - wartość mierzona
6. Dyskusja błędów i wnioski: