Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia było stwierdzenie zależności między okresem drgań wahadła fizycznego grawitacyjnego i momentem bezwładności ciała. Należało też doświadczalnie sprawdzić słuszność twierdzenia Steinera oraz wyznaczyć momenty bezwładności różnych brył.
Wstęp teoretyczny;
Miarą bezwładności bryły sztywnej w ruchu obrotowym jest tak zwany moment bezwładności. Moment ten wyraża się względem wybranej osi, najczęsciej jest to oś symetrii. Jest to analogicznie do tego jak masa stanowi miarę bezwładności ciała w ruchu postępowym. Wielkość ta nie zależy tylko od masy ciała, jego kształtu i wielkości ale także od położenia bryły względem osi obrotu. Ogólny wzór na moment dowolnej bryły ma postać:
Z momentem bezwładności związane jest twierdzenie Steinera. Mówi ono że: moment bezwładności bryły względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy równolegle do rozważanej osi oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między osiami:
Ponieważ wahające się ciało jest wahadłem fizycznym spełniony musiał być warunek sinα=α, co uzyskaliśmy przez małe drgania bryły. Moment bezwładności względem wybranej osi obliczaliśmy mierząc okres tych drgań względem danej osi, następnie wyznaczaliśmy moment bezwładności korzystając z zależności:
Chcąc wyznaczyć moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez jej środek masy, a dysponując okresem drgań bryły względem innej osi obliczamy stałą wahadła grawitacyjnego określoną wzorem:
a następnie podstawiamy do wzoru:
Układ pomiarowy:
Dwie bryły metalowe : cylindryczny pierścień i tarczę metalową z symetrycznie wywierconymi otworami należało zawieszać na poziomej pryzmatycznej belce i wprawiać w drgania o niewielkiej amplitudzie. Po pomiarze 100 wahnięć bryły należało zmienić w przypadku tarczy otwór, na którym była ona zawieszona i dokonać kolejnych pomiarów. Następnie zmierzyliśmy masę brył za pomocą wagi elektronicznej i odległości między osią wahadła i osią symetrii brył za pomocą suwmiarki.
Wyniki pomiarów:
Pierścień metalowy:
średnica wewnętrzna: średnica zewnętrzna:
105,44mm |
|
119,94mm |
105,20mm |
|
119,72mm |
105,40mm |
|
120,02mm |
105,20mm |
|
119,72mm |
105,37mm |
|
119,72mm |
średnia: 105,322mm |
|
średnia: 119,838mm |
promień R1=52,66mm |
|
promień R2=59,919mm |
okres 100 wahnięć:
67,24s |
67,24s |
67,31s |
średnia: 67,26s |
okres 1 wahnięcia T=0,6726s |
masa: 220,4g
Moment bezwładności względem osi zawieszenia:
, gdzie d=R1=52,66mm
Z twierdzenia Steinera:
Chcąc stwierdzić prawdziwość twierdzenia Steinera liczymy bezwładność ze wzoru tablicowego:
Różnica pomiędzy momentem wyznaczonym metodą statyczną a dynamiczną wynosi:
Dokładność pomiaru momentu bezwładności oceniliśmy metod różniczki zupełnej:
ΔT=0,01s, Δm.=0,1g, Δd=0,1mm
2.Tarcza z otworami.
masa: 1061,5g średnica zewnętrzna D=160,31mm ⇒ R=80,155mm
średnica pomiarowa 2: okres 100 wahnięć względem 2 średnicy:
100,13mm |
|
68,31s |
100,21mm |
|
68,26s |
100,29mm |
|
68,29s |
100,13mm |
|
średnia: 68,2867s |
średnia: 100,19mm |
|
okres T2=0,682867s |
d2=50,095mm |
|
średnica pomiarowa 3: okres 100 wahnięć względem 3 średnicy:
149,59mm |
|
69,40s |
149,58mm |
|
69,38s |
149,60mm |
|
69,41s |
149,59mm |
|
średnia: 69,3869s |
średnia: 149,59mm |
|
okres T3=0,693869s |
d3=74,795mm |
|
średnia pomiarowa 4: okres 100 wahnięć względem 4 średnicy:
118,58mm |
|
68,06s |
118,59mm |
|
68,07s |
118,60mm |
|
68,04s |
118,59mm |
|
średnia: 68,0567s |
średnia: 118,59mm |
|
okres T4=0,680567s |
d4=59,295mm |
|
Rysunek: Umiejscowienie badanych średnic na tarczy.
Obliczamy stałe drgań wahadła ze wzoru:
C2=0,130087m2
C3=0,132508m2
C4=0,130617m2
Obliczamy C średnie: 0,131071m2
Na podstawie wzoru:
obliczamy średni moment bezwładności względem osi środkowej.
Ic=0,0035242kgm2
W celu sprawdzenia twierdzenia Steinera, obliczamy momenty bezwładności tarczy względem poszczególnych osi:
I2=0,00616163 kgm2
I3=0,00949853 kgm2
I4=0,00724417 kgm2
a następnie stosujemy je do wzoru Steinera:
Ic2=0,0034978 kgm2
Ic3=0,0035629 kgm2
Ic4=0,0035121 kgm2
Różnice pomiędzy średnim momentem a poszczególnymi momentami obliczonymi przez nas wynoszą odpowiednio:
Ic2-Ic=0,0000264 kgm2
Ic3-Ic=-0,0000386 kgm2
Ic4-Ic=0,0000121 kgm2
Obliczyliśmy także moment bezwładności względem osi środkowej ze wzoru tablicoego:
Dokładność pomiaru momentu bezwładności i stałej C oceniliśmy metod różniczki zupełnej:
ΔT=0,01s, Δm.=0,1g, Δd=0,1mm
Wnioski:
Wyniki pomiarów dokonanych podczas ćwiczenia potwierdzają słuszność twierdzenia Steinera. Dodatkowym argumentem jest uzyskana bardzo mała różnica pomiędzy pomiarem statycznym a dynamicznym, występująca dopiero na trzecim miejscu za pierwszą znaczącą cyfrą. Różnicę tę można wytłumaczyć metodą pomiaru okresu drgań (stoper).Zaistniały bowiem trudności związane z jednakowym ustaleniem momentu startu i zatrzymaniem stopera w poszczególnych pomiarach. Nie bez znaczenia było też tarcie, występujące między powierzchnią pryzmy a zawieszoną bryłą.
Wyprowadzenie wzoru na środkowy moment bezwładności wydrążonego walca.
Walec ten dzielimy na nieskończenie wiele obręczy o grubości `ds.' i momencie bezwładności równym: I=mr2
gdzie, M. oznacza całkowitą masę walca, ρ gęstość materiału z którego wykonany jest walec.
1
1