Wyznaczanie momentu bezwładności i sprawdzenie 1, Wyznaczenie momentu bezwładności i sprawdzenie twierdzenia Steinera


Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było stwierdzenie zależności między okresem drgań wahadła fizycznego grawitacyjnego i momentem bezwładności ciała. Należało też doświadczalnie sprawdzić słuszność twierdzenia Steinera oraz wyznaczyć momenty bezwładności różnych brył.

Wstęp teoretyczny;

Miarą bezwładności bryły sztywnej w ruchu obrotowym jest tak zwany moment bezwładności. Moment ten wyraża się względem wybranej osi, najczęsciej jest to oś symetrii. Jest to analogicznie do tego jak masa stanowi miarę bezwładności ciała w ruchu postępowym. Wielkość ta nie zależy tylko od masy ciała, jego kształtu i wielkości ale także od położenia bryły względem osi obrotu. Ogólny wzór na moment dowolnej bryły ma postać:

0x01 graphic

Z momentem bezwładności związane jest twierdzenie Steinera. Mówi ono że: moment bezwładności bryły względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy równolegle do rozważanej osi oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między osiami:

0x01 graphic

Ponieważ wahające się ciało jest wahadłem fizycznym spełniony musiał być warunek sinα=α, co uzyskaliśmy przez małe drgania bryły. Moment bezwładności względem wybranej osi obliczaliśmy mierząc okres tych drgań względem danej osi, następnie wyznaczaliśmy moment bezwładności korzystając z zależności:

0x01 graphic

Chcąc wyznaczyć moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez jej środek masy, a dysponując okresem drgań bryły względem innej osi obliczamy stałą wahadła grawitacyjnego określoną wzorem:

0x01 graphic

a następnie podstawiamy do wzoru:

0x01 graphic

Układ pomiarowy:

Dwie bryły metalowe : cylindryczny pierścień i tarczę metalową z symetrycznie wywierconymi otworami należało zawieszać na poziomej pryzmatycznej belce i wprawiać w drgania o niewielkiej amplitudzie. Po pomiarze 100 wahnięć bryły należało zmienić w przypadku tarczy otwór, na którym była ona zawieszona i dokonać kolejnych pomiarów. Następnie zmierzyliśmy masę brył za pomocą wagi elektronicznej i odległości między osią wahadła i osią symetrii brył za pomocą suwmiarki.

Wyniki pomiarów:

  1. Pierścień metalowy:

średnica wewnętrzna: średnica zewnętrzna:

105,44mm

119,94mm

105,20mm

119,72mm

105,40mm

120,02mm

105,20mm

119,72mm

105,37mm

119,72mm

średnia: 105,322mm

średnia: 119,838mm

promień R1=52,66mm

promień R2=59,919mm

okres 100 wahnięć:

67,24s

67,24s

67,31s

średnia: 67,26s

okres 1 wahnięcia T=0,6726s

masa: 220,4g

Moment bezwładności względem osi zawieszenia:

0x01 graphic
, gdzie d=R1=52,66mm

Z twierdzenia Steinera:

0x01 graphic

Chcąc stwierdzić prawdziwość twierdzenia Steinera liczymy bezwładność ze wzoru tablicowego:

0x01 graphic

Różnica pomiędzy momentem wyznaczonym metodą statyczną a dynamiczną wynosi:

0x01 graphic

Dokładność pomiaru momentu bezwładności oceniliśmy metod różniczki zupełnej:

ΔT=0,01s, Δm.=0,1g, Δd=0,1mm

0x01 graphic

2.Tarcza z otworami.

masa: 1061,5g średnica zewnętrzna D=160,31mm ⇒ R=80,155mm

średnica pomiarowa 2: okres 100 wahnięć względem 2 średnicy:

100,13mm

68,31s

100,21mm

68,26s

100,29mm

68,29s

100,13mm

średnia: 68,2867s

średnia: 100,19mm

okres T2=0,682867s

d2=50,095mm

średnica pomiarowa 3: okres 100 wahnięć względem 3 średnicy:

149,59mm

69,40s

149,58mm

69,38s

149,60mm

69,41s

149,59mm

średnia: 69,3869s

średnia: 149,59mm

okres T3=0,693869s

d3=74,795mm

średnia pomiarowa 4: okres 100 wahnięć względem 4 średnicy:

118,58mm

68,06s

118,59mm

68,07s

118,60mm

68,04s

118,59mm

średnia: 68,0567s

średnia: 118,59mm

okres T4=0,680567s

d4=59,295mm

0x08 graphic
Rysunek: Umiejscowienie badanych średnic na tarczy.

Obliczamy stałe drgań wahadła ze wzoru:

0x01 graphic

C2=0,130087m2

C3=0,132508m2

C4=0,130617m2

Obliczamy C średnie: 0,131071m2

Na podstawie wzoru:

0x01 graphic

obliczamy średni moment bezwładności względem osi środkowej.

Ic=0,0035242kgm2

W celu sprawdzenia twierdzenia Steinera, obliczamy momenty bezwładności tarczy względem poszczególnych osi: 0x01 graphic

I2=0,00616163 kgm2

I3=0,00949853 kgm2

I4=0,00724417 kgm2

a następnie stosujemy je do wzoru Steinera: 0x01 graphic

Ic2=0,0034978 kgm2

Ic3=0,0035629 kgm2

Ic4=0,0035121 kgm2

Różnice pomiędzy średnim momentem a poszczególnymi momentami obliczonymi przez nas wynoszą odpowiednio:

Ic2-Ic=0,0000264 kgm2

Ic3-Ic=-0,0000386 kgm2

Ic4-Ic=0,0000121 kgm2

Obliczyliśmy także moment bezwładności względem osi środkowej ze wzoru tablicoego:

0x01 graphic

Dokładność pomiaru momentu bezwładności i stałej C oceniliśmy metod różniczki zupełnej:

ΔT=0,01s, Δm.=0,1g, Δd=0,1mm

0x01 graphic

0x01 graphic

Wnioski:

Wyniki pomiarów dokonanych podczas ćwiczenia potwierdzają słuszność twierdzenia Steinera. Dodatkowym argumentem jest uzyskana bardzo mała różnica pomiędzy pomiarem statycznym a dynamicznym, występująca dopiero na trzecim miejscu za pierwszą znaczącą cyfrą. Różnicę tę można wytłumaczyć metodą pomiaru okresu drgań (stoper).Zaistniały bowiem trudności związane z jednakowym ustaleniem momentu startu i zatrzymaniem stopera w poszczególnych pomiarach. Nie bez znaczenia było też tarcie, występujące między powierzchnią pryzmy a zawieszoną bryłą.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Wyprowadzenie wzoru na środkowy moment bezwładności wydrążonego walca.

Walec ten dzielimy na nieskończenie wiele obręczy o grubości `ds.' i momencie bezwładności równym: I=mr2

0x01 graphic

gdzie, M. oznacza całkowitą masę walca, ρ gęstość materiału z którego wykonany jest walec.

1

1

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
01 Wyznaczanie momentu bezwładności ciał metodą wahadła fizycznego i sprawdzenie twierdzenia Steiner
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA 12, Nauka, MECHANIKA I WYTRZYMAŁ
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA 8, Nauka, MECHANIKA I WYTRZYMAŁO
Wyznaczanie momentu bezwładności i sprawdzenie, Wyznaczenie momentu bezwładności i sprawdzenie twier
Wyznaczanie momentu bezwładności i sprawdzanie twierdzenia Steinera wersja 3, Arkadiusz Szachniewic
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA 9, Nauka, MECHANIKA I WYTRZYMAŁO
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI I SPRAWDZANI TWIERDZENIA STEINERA 4, Wyznaczenie momentu bezwładnoś
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA 10, Nauka, MECHANIKA I WYTRZYMAŁ
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA 7, Wyznaczenie momentu bezwładno
Wyznaczanie momentu bezwładności i sprawdzenie 2, Wyznaczenie momentu bezwładności i sprawdzenie twi
Wyznaczanie momentu bezwładności i sprawdzenie twierdzenia Steinera, Wyznaczenie momentu bezwładnośc
Wyznaczanie momentu bezwładności i sprawdzanie twierdzenia Steinera wersja 2, Pwr MBM, Fizyka, spraw
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA 5, Wyznaczenie momentu bezwładno
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI I SPRAWDZANI TWIERDZENIA STEINERA 1, Wyznaczenie momentu bezwładnoś

więcej podobnych podstron