Sprawozdanie z ćwiczenia nr 8.

Politechnika Wrocławska - Instytut Fizyki

TEMAT: Wyznaczanie momentu bezwładności i sprawdzenie twierdzenia Steinera.

Cel ćwiczenia:

1. Stwierdzenie zależności okresu drgań wahadła od momentu bezwładności,

2. Doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera,

3. Wyznaczenie momentu bezwładności ciał względem osi przechodzącej przez środek masy (tzw. osi środkowej)

Część teoretyczna.

Ruchem drgającym nazywamy każdy ruch lub zmianę stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. Jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań powtarzają się w równych odstępach czasu to ruch taki nazywamy ruchem okresowym.

Najprostszy rodzaj drgań okresowych są drgania harmoniczne. Okresem drgań harmonicznych nazywamy najmniejszy odstęp czasu, po upływie którego powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących drganie. Jako przykład drgań harmonicznych można podać niewielkie wahania wahadła fizycznego.

Wahadło fizyczne jest to ciało doskonale sztywne, które pod wpływem własnego ciężaru waha się dookoła osi nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała.

Okres drgań harmonicznych [T] wahadła fizycznego można wyznaczyć korzystając ze związku:

i stąd:

.

Okres drgań harmonicznych nie zależy od kąta wychylenia z położenia równowagi (izochronizm wahań).

Twierdzenie Steinera

Po przekształceniu wzoru na okres drgań (w/w) otrzymujemy następujące wyrażenie na moment bezwładności:

.

Moment ten jest mierzony względem osi obrotu wahadła.

W praktyce często przydatna jest znajomość momentów bezwładności mierzonych względem osi przechodzącej przez środki ciężkości tych ciał.

Do wyznaczenia momentu bezwładności ciała I₀ względem osi przechodzącej przez środek masy ciała korzysta się z twierdzenia Steinera, które brzmi następująco: różnica momentów bezwładności ciała względem dwu równoległych osi, z których jedna przechodzi przez środek masy, równa jest iloczynowi masy ciała m i kwadratu odległości d między osiami:

.

Dla dwu różnych odległości
i
od osi przechodzącej przez środek masy ciała mamy:

.

Po podstawieniu poprzedniego wzoru otrzymujemy:

.

Otrzymana doświadczalnie stała wartość powyższych wyrażeń może służyć jako potwierdzenie twierdzenia Steinera.

Stała C pozwala obliczyć moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy:

.

Wyznaczenie momentu bezwładności tarczy metalowej

Częścią zasadniczą jest tarcza metalowa z symetrycznie naciętymi otworami. Umieszczenie podpory w postaci metalowej pryzmy w różnych otworach pozwala zmieniać odległości osi obrotu od środka masy tarczy. W drugiej części ćwiczenia rolę wahadła spełnia pierścień metalowy, dla którego daje się zrealizować tylko jedno położenie osi obrotu względem środka masy.

1.

M_T = 1061.0 [g] = 1.061 [kg]

ΔM_T = 0.1 [g] = 0.0001 [kg]

a₁ = 140.00 [mm] = 0.14 [m]

Δa₁ = 0.01 [mm] = 0.00001 [m]

d₁ = a₁/2 = 70.00 [mm] = 0.07 [m]

Δd₁ = Δa₁/2 = 0.000005 [m]

Pomiary czasu wykonano dla 100 pełnych wychyleń tarczy.

POMIAR	100T [s]	100T	C [ ]	C [ ]
1	69.51	0.413
2	69.57	0.353
3	70.69	-0.766
średnia	69.92	0.510	0,14219	0,48976

T₁ = (0,69920 0,00510) [s]

2.

M_T = 1061.0 [g] = 1.061 [kg]

ΔM_T = 0.1 [g] = 0.0001 [kg]

a₂ = 89.8 [mm] = 0.0898 [m]

Δa₂ = 0.01 [mm] = 0.00001 [m]

d₂ = a₂/2 = 44.95 [mm] = 0.04495 [m]

Δd₂ = Δa₂/2 = 0.000005 [m]

Pomiary czasu wykonano dla 100 pełnych wychyleń tarczy.

POMIAR	100T [s]	100T [s]	C [ ]	C [ ]
1	68.17	0.03300
2	68.22	-0.02667
3	68.18	-0.00667
średnia	68.203	0.02209	0.12528	0.01339

3.

M_T = 1061.0 [g] = 1.061 [kg]

ΔM_T = 0.1 [g] = 0.0001 [kg]

a₃ = 40.0 [mm] = 0.04 [m]

Δa₃ = 0.01 [mm] = 0.00001 [m]

d₃ = a₃/2 = 20.00 [mm] = 0.02 [m]

Δd₃ = Δa₃/2 = 0.000005 [m]

Pomiary czasu wykonano dla 100 pełnych wychyleń tarczy.

POMIAR	100T [s]	100T [s]	C [ ]	C [ ]
1	78.72	-0.416
2	78.09	0.216
3	78.10	0.203
średnia	78.303	0.278	0.10447	0.07442

4. Wyznaczenie średniej wartości C:

POMIAR	C [ ]	C [ ]
1	0.14219	0.48976
2	0.12520	0.01339
3	0.10447	0.07442
ŚREDNIA	0.12395	0.19252

Moment bezwładności
względem środka masy krążka obliczono ze wzoru:

[kgm²]

Błąd bezwzględny obliczono ze wzoru:

[kgm²]

I₀ = (0.00333 ± 0.00517) [kgm²]

Wyznaczenie momentu bezwładności pierścienia metalowego

1.

M_P = 221.2 [g] = 0.2212 [kg]

ΔM_P = 0.1 [g] = 0.0001 [kg]

POMIAR	R[mm]	R[mm]	r[mm]	r[mm]
1	119.7	0.0333	94.80	0.1333
2	119.6	0.1333	95.00	-0.0666
3	119.9	-0.1666	95.00	-0.0666
średnia	119.7	0.1110	94.93	0.0888

R_P = 119.70 [mm] = 0.1197 [m]

ΔR_P = 0.111 [mm] = 0.000111 [m]

r_P = 94.93 [mm] = 0.0949 [m]

Δr_P = 0.0888 [mm] = 0.0000888 [m]

d_P = r_P / 2 = 0.0475 [m]

Δd_P = Δr_P /2 = 0.0000444 [m]

POMIAR	100T [s]	100T [s]
1	67.17	-0.29
2	66.90	-0.08
3	66.50	0.34
średnia	66.84	0.236

T = (0,66840 0,00236) [s]

2. Moment bezwładności pierścienia:

[kgm²]

Błąd bezwzględny - policzony z różniczki zupełnej:

I = 8.887*10^-6 = 1.12*10^-5 [kgm²]

I = (0.00117000 0.00001120) [kgm²]

3. Moment bezwładności względem środka masy (z twierdzenia Steinera):

Błąd bezwzględny policzony z różniczki zupełnej.

4. Obliczenie momentu bezwładności pierścienia względem środka masy ze wzoru tablicowego:

,

gdzie:

r - promień wewnętrzny : 0,0475 [m],

R - promień zewnętrzny : 0,0598 [m],

m - masa pierścienia : 0.221 [kg].

I₀ = 4.10*10^-7 [kgm²] - błąd bezwzględny policzony z różniczki zupełnej

Wnioski

Bardziej dokładny wynik uzyskano w wyniku podstawienia danych do wzoru tablicowego (błąd 4.10*10^-7 [kgm²]). Różnica wyników obu metod wynosi 0,000027 [
] mimo dużego błędu pierwszej z metod (0.0888 [kgm²].

Na dokładność pomiarów w przypadku stałej C miały wpływ takie czynniki jak:

- pomiar odległości d - błąd 0.000005 [m] (niedokładność związana z odczytem podziałki suwmiarki),

- pomiar okresu drgań T na który wpływ miała chwila uruchomienia i zatrzymania stopera.

Na dokładność pomiaru I i I₀ miał dodatkowo wpływ błąd związany z pomiarem masy tarczy (ΔM_T = 0.1 [g]). W przypadku I₀ dla metalowego pierścienia okazało się, że dokładniejsze wyliczenie było ze wzoru tablicowego.

6

---