Ćwiczenie 48

Badanie zjawiska piezoelektrycznego.

Przygotował: Michał Kruminia - Łozowski

Wydział: ETI, Kierunek: Automatyka i Robotyka

Zadania:

1. Wykonać pomiary napięcia U w zależności od siły ściskającej F dla układu pomiarowego:

a) bez dodatkowego kondensatora

b) z kondensatorem C.

2. Wyniki pomiarów przedstawić na wykresie.

3. Metodą najmniejszych kwadratów wyznaczyć współczynniki kierunkowe α₀ i α oraz znaleźć błędy standardowe S_α0 i S_α.

4. Otrzymane linie nanieść na wykres.

5. Wyznaczyć wartość stałej piezoelektrycznej η i pojemność własną układu pomiarowego C₀.

6. Oszacować błędy maksymalne wyznaczenia η i C₀.

Wstęp.

Zjawiskiem piezoelektrycznym nazywamy efekt powstawania polaryzacji elektrycznej w krysztale pod wpływem zewnętrznego oddziaływania mechanicznego. Efekt taki występuje w tak zwanych kryształach niecentrosymetrycznych, to znaczy takich, które nie posiadają środka symetrii. Ściskanie lub rozciąganie takich kryształów powoduje przesuwanie się ładunków w elementarnych komórkach, w wyniku czego powstaje dipol elektryczny. Na przeciwległych ścianach kryształu powstają wtedy ładunki polaryzacyjne Q_p (rys. 1). Gęstość powierzchniowa ładunków polaryzacyjnych jest z definicji równa wartości składowej normalnej wektora polaryzacji i w bardzo szerokim zakresie naprężeń jest proporcjonalna do nich, to znaczy zachodzi gdzie współczynnik proporcjonalności η nosi nazwę stałej piezoelektrycznej.

Rysunek 1

Zasada i przebieg pomiarów.

Badanie zjawiska piezoelektrycznego przeprowadza się za pomocą układu przedstawionego na rysunku 2. Na przeciwległych powierzchniach kryształu napylone są warstwy metalu, do których przylutowane są przewody połączone z woltomierzem. Pojemność C₀ jest to pojemność własna układu. Pod wpływem siły F w krysztale pojawia się ładunek Q_p. W warstwie metalu przylegającego do kryształu pozostają ładunki przeciwne, zaś na okładki kondensatora zostają odepchnięte ładunki tego samego znaku.

Rysunek 2

W warunkach równowagi z definicji pojemności wynika związek . Biorąc pod uwagę powyższe wzory otrzymujemy relację:

.

Przy dołączonym dodatkowym kondensatorze wzór ten przyjmuje postać:

.

W ćwiczeniu zmianę wartości siły F otrzymujemy przez podwieszenie ciężarka w oznaczonych miejscach dźwigni jednoramiennej. Do pomiarów napięcia został użyty woltomierz klasy 0,5 pracujący w zakresie 0÷600 [V].

Wyniki pomiarów i obliczeń.

Siła [N]	Napięcie U [V]				Wartość średnia U [V]	Napięcie U0 [V]				Wartość średnia U0 [V]
180	225	220	215	220	220	105	110	105	110	107,5
200	240	235	235	245	238,75	115	115	120	125	118,75
220	275	275	270	275	273,75	145	150	150	150	148,75
280	340	335	330	335	335	185	190	185	180	185
320	410	405	405	395	403,75	205	205	210	215	208,75
360	465	460	450	465	460	235	235	240	245	238,75
380	475	480	480	485	480	250	255	255	255	253,75
400	505	505	500	495	501,25	275	280	275	275	276,25

gdzie: U - napięcie bez dodatkowego kondensatora

U₀ - napięcie z dodatkowym kondensatora o pojemności C=100 [pF]

Powyższe wyniki wraz z przebiegiem uzyskanym metodą najmniejszych kwadratów znajdują się na wykresach 1 i 2.

W przypadku pierwszych pomiarów (bez kondensatora) napięcie jest określone wzorem:

Z tego wzoru metodą najmniejszych kwadratów wyznaczamy wartość α₀=η/C_0.

Wyniki obliczeń:

292,5

364,0625

114884,4

91950

85556,25

143603,9

α₀=1,313172

β₀=-20,0403

Błędy standardowe wynoszą odpowiednio:

S_α0=0,031009

S_β0=9,40281

Podobne obliczenia wykonujemy w drugim przypadku, to znaczy dla układu z dołączonym kondensatorem. W tym wypadku α=η/(C₀+C)

Wyniki:

292,5

192,1875

60912,5

91950

85556,25

40411,33

α=0,0734726

β=-22,7199

Błędy standardowe wynoszą odpowiednio:

S_α=0,0249

S_β=7,553

Znając wartości α₀ i α możemy obliczyć wartość stałej piezoelektrycznej η i pojemności własnej układu C₀. Są one dane wzorami:

oraz

i wynoszą:

η=1,67E-10 [C/N]

C₀=127 [pF]

Poniższa tabela przedstawia porównanie napięć zmierzonych doświadczalnie w ćwiczeniu z napięciami wyliczonymi na podstawie metody najmniejszych kwadratów:

	Bez dodatkowego kondensatora		Z dodatkowym kondensatorem
Siła [N]	Wartość U [V] - doświadczenie	Wartość U [V] - teoria	Wartość U [V] - doświadczenie	Wartość U [V] - teoria
180	220	216,3306	107,5	109,5308
200	238,75	242,5941	118,75	124,2253
220	273,75	268,8575	148,75	138,9198
280	335	347,6478	185	183,0034
320	403,75	400,1747	208,75	212,3925
360	460	452,7016	238,75	241,7815
380	480	478,9651	253,75	256,4761
400	501,25	505,2285	276,25	271,1706

Uzupełnieniem tej tabeli jest wykres 3.

Błędy.

Błędy standardowe S_α0 i S_α zostały obliczone powyżej. Błędy maksymalne wyznaczenia η i C₀ można obliczyć korzystając ze wzorów:

oraz

gdzie:

Δα₀ - potrojony błąd standardowy S_α0

Δα - potrojony błąd standardowy S_α

ΔC - błąd wyznaczenia pojemności C (ΔC=5E-13)

Wynoszą one:

Δη=5,44E-11

ΔC₀=5,04E-11

---