UKŁADY DYNAMICZNE
Licznik - jest to urządzenie do zliczania impulsów elektrycznych (mogą zarówno dodawać jak i o dejmować w zależnoœci od wartoœci sygnałów).
Układem dynamicznym nazywamy dowolny układ fizyczny rozpatrywany z punktu widzenia jego zachowania się w czasie,a więc z punktu widzenia zachodzących w nim procesów dynamicznych.
Stan układu -jest to najmniejszy liczebnie zaspół współrzęnych,wystarczjący do przewidywania zachowania się układu w przyszłoœci przy wykorzystaniu znajomoœci sygnałów wejœciowych i parametrów układu.
Macierzowe równania układu dyn.(równ. stanu i równ. wyjœcia)
x'(t)=Ax(t)+Bu(t) -r. stanu-związek między stanem układu x a sygnałem wejœciowym u
y(t)=Cx(t)+Du(t) -r. wyjœcia-związek wyrażający sygnał wyjœciowy y przez kombinację liniową stanu układu i stanu wejœciowego
A- macierz stanu,B- m. wejœcia(wpływ sygnału wejœciowego na stan automatyki),C- m. wyjœcia(relacje między stanem wyjœć a stanem układu),D- m. transmisyjna(pokazuje zależnoœć pomiędzy wejœciem a wyjœciem)
Ocena sterowalnoœci i obserwowalnoœci może być przeprowadzona na podstawie analizy:
postaci kanonicznej równania stanu i równania wyjœcia;
bezpoœredniej analizy schematu blokowego,
Układ jest stabilny ,gdyż dla stałej skończonej wartoœci zakłócenia i dla dowolnego stanu początkowego,sygnał wyjœciowy będzie dążył do skończonej wartoœci ustalonej.
Sterowalnoœć oznacza możliwoœć osiągnięcia dowolnego stanu układu w skończonym czasie za pomocą dopuszczalnego sterowania.
Dopuszczalne sterowanie-jest to sterowanie ograniczone przedziałami i ciągłe.
Warunkiem koniecznym i dostatecznym sterowalnoœci jest, aby macierz S=[B,AB,A2B,...,An-1B] o n wierszach i m kolumnach była rzędu n ,czyli aby miała n liniowo niezależnych kolumn.
Układ sterowalny - układ, który stosując ograniczone przedziałami sterowanie można przeprowadzić z dowolnie zadanego stanu początkowego do początku układu współrzędnych przestrzeni stanów w skończonym czasie.
Układ sterowalny jest układem, w którem wektor sygnałów wejœciowych oddziaływuje na wszystkie zmienne stanu, czyli zapewnia skuteczne sterowanie, - zmiana wektora wejœć wywołuje różne zmiany kążdej wsółrzędnej stanu.
Układ jest sterowalny gdy możemy w każdej chwili sterowac całym układem a nie tylko poszczególnymi czasami .
Obserwowalnoœć oznacza , że na podstawie przebiegu sygnału wyjœciowego w skończonym przedziale czasu można okreœlić stan układu w tym przedziale. Warunkiem koniecznym i dostatecznym obserwowalnoœci jest, aby macierz W=[CT,ATCT,(AT)2CT,...,(AT)n-1CT] była rzędu n , czyli miała n liniowo niezależnych kolumn.
Pojęcie układ obserwowalny oznacza, że przy dowolnie zadanym sterowaniu istnieje skończony przedział czasu taki, że na podstawie znajomoœci sterowania i odpowiedzi w tym przedziale można wyznaczyć stan początkowy tego układu.
Układ obserwowalny jest układem, w którym istnieje relacje między wszystkimi sygnałami wektora wyjœciowego a sygnałami wektora stanu, czyli na podstwie przeprowadzonej w skończonym czasie obserwacji sygnałów wyjœciowych i sterujących można jedoznacznie okreœlić wektor stanu począkowego, - zmina wektora stanu wywołuje różne zmiany wyjœcia czyli musi zachodzić odróżnienie wpływu każdej zmiennej stanu na zmianę obserwowanego wektora wyjœć.
Warunkiem koniecznym i dostatecznym obserwowalnoœci jest aby podany rząd macierzy był równy (n) wymiarowy wektora stanu.
Układ stabilny - taki liniowy układ dynamiczny, gdy dla wszystkich (ograniczonych) stanów początkowych x(t0) przy braku wymuszeń (zerowym sygnale wejœciowym) sygnał wyjœciowy pozostaje ograniczony.
Warunkiem koniecznym stabilnoœci jest, by wartoœci własne były niedodatnie.
Zamknięty układ regulacji automatycznej jest stabilny wtedy , gdy logarytmiczna ch-ka amplitudowa układu otwartego ma wartoœć ujemną przy pulsacji odpowiadającej przesunięciu fazowemu - 1800
Układ stabilny asymptotycznie - taki liniowy układ dynamiczny, że przy dowolnym ograniczonym sygnale wejœciowym sygnał wyjœciowy pozostaje ograniczony.
Układ dynamiczny jest stabilny asymptotycznie, gdy wszystkie wartoœci własne mają ujemne częœci rzeczywiste.
Stabilnoœć asymptotyczna - jeżeli wektor stanu powróci do stanu równowagi.
Układ stabilny globalnie - (o równaniu X'=Ax) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie wartoœci własne macierzy A mają niedodatnie częœci rzeczywiste i każda wartoœć własna o zerowej częœci rzeczywistej jest pierwiastkiem jednorodnym wielomianu. Stabilnoœć punktu równowagi przy dowolnie dużych warunkach początkowych nazywa się globalną.
Układ stabilny lokalnie - rozumiemy stabilnoœć tylko w punkcie równowagi bez okreœlenia zakresu sygnałów zaburzających, po ustąpieniu których układ wraca do równowagi.
Mówiąc o stabilnoœci globalnej okreœlamy jednoczeœnie obszar sygnałów zaburzających, po przejœciu których układ zachowuje swój pierwotny stan równowagi. Jeżeli obszar stabilnoœci globalnej obejmuje wszystkie możliwe sygnały wejœciowe -stabilnoœć lokalna
Kryteria stabilnoœci - analityczne (Hurwitza, Roughta), graficzne (Nequista) ,anal-graf (Michajłowa)
Sygnał- przebieg dowolnej wielkoœci na ogół fizykalnej występującej w układzie sterowania . Jest to pewna funkcja czasu służąca do opisu układu , ale mająca czasem znaczenie abstrakcyjne .Sygnał jest noœnikiem informacji.Sygnały mogą być ciągłe i dyskretne.Sygnały wielostanowe-otrzymywane z sygnału ciągłego przez kwantowanie w poziomie .Sygnały impulsowe -otrzymywane z sygnału ciągłego przez kwantowanie w czasie .
Sygnały dyskretne -cyfrowe -otrzymywane przez kwantowanie zarówno w poziomie jak i w czasie
.................
Zmieniając kolejno każdy z elementów macierzy A można sprawdzić, który element ma największy wpływ na przebieg charakterystyki:
a11- nie ma wpływu, jest =0
a12- ulega zmianie amplituda i częstotliwoœć oscylacji; zwiększając wartoœć a12 ulega zwiększeniu wartoœć amplitudy i częstotliwoœci, zmniejsza się tłumienie.
a21- ulega zmianie wsp. wzmocnienia, jak również amplituda i częstotliwoœć; przy zwiększeniu a21 wsp. wzmocnienia, amplituda i częstotliwoœć ulegają zmniejszeniu.
a22-przy zwiększeniu tej wartoœci roœnie tłumienie, likwiduje oscylacje.
Charakterystyki częstotliwoœciowe
Ch-ki częstotliwoœciowe okreœlają zachowanie się elementu lub układu przy wszystkich częstotliwoœciach wymuszenia , podając stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia oraz przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem jako funkcje częstotliwoœci . Transmitancja widmowa stanowi podstawę ch-yk : G(jw0=G(s) s=jw
amplitudowa A(w)- iloraz amplitud sinusoidalnych sygnałów wyjœciowego i wejœciowego (dla stanu ustalonego)
fazowa fi(w)- przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
rzeczywista R(w)- iloraz amplitudy składowej sygnału wyjœciowego zgodnej w fazie z sygnałem wejœciowym,do amplitudy tego sygnału
urojona Q(w)- dla składowej przesuniętej o 90 stopni
Charakterystyka statyczna
Charakterystyka statyczna przedstawia zależnoœć wielkoœci wyjsciowej od wielkoœci wejœciowej w stanie ustalonym . Wartoœci ustalone wejœcia i wyjœcia oznaczamy xo i yo
xo=lim x(t) t-->niesk. , yo=lim y(t)
Obiekty astatyczne - są to takie , w których nie ma wewnętrznego “mechanizmu” ustalania wartoœci odpowiedzi skokowej.
Charakterystyka skokowa- odpowiedz na skokową zmianę sygnału wejœciowego o unormowanej amplitudzie
Co nazywamy charakterystyka skokowa ?Do czego służy ch.skokowa ?
Własnoœci układów liniowy można opisać nie tylko za pomocą równania lub transmitancji, lecz również za pomocą charakterystyk czasowych, a więc przebiegów w czsie odpowiedzi układu na pewne typowe wymuszenia. Za wymuszenia takie przyjęto skok jednostkowy1(t) i jego pochodną względem czasu, zwaną impulsem Diraca d(t). Jeżeli wymuszenie x(t) działające na wejœciu układu ma postać skoku jednostkowego x(t)=1(t) to odpowiedŸ y(t) nazywamy charakterystyką skokową układu i oznaczmy h(t) .
Y(t)=1(t)=0, przy t < 0 ; 1, przy t =>0 ( dla orginału y(t)=1(t)=1 , transformata G(s)=1(s)1/s) Transformatę Laplac'e odpowiedzi skokowej okreœlamy następująco h(s)=G(s)*1(s) ; h(s)=G(s)/s .
Transmitancja operatorowa może być zastosowana do wyznaczenia odpowiedzo skokowej obiektu dynamicznego . Znając odpowiedŸ skokową możemy znaleœć wartoœć transmitancji.
TRANSFORMACJA LAPLACE'A F(s)= o Ąf(t)*e-stdt
a[f(t)]=F(s) powrót do funkcji czasu a-1[F(s)]=f(t)
iloczyn transformacji przez stałą a[a f(t)]=a a[f(t)]
dalsze wzory :
suma a[ f1(t)+f2(t)+....... +fn(t)]= F1(s)+F2(s)+....+Fn(s)
pochodna a[dnf(t)/dtn]=snF(s)
całka a[n ...... f(t)]=F(s)/sn
jeżeli spodkamy się z : 1/sn to wiadomo , że jest gdzieœ całkowanie
s*p(s) to wiadomo , że jest gdzieœ różniczkowanie
TRANSMITANCJA OPERATOROWA
Jest to stosunek transformat wyjœciowej dotransformaty wielkoœci wejœciowej przy zerowych warunkach początkowych .
G(s)=y(s)/u(s)
TRANSMITANCJA WIDMOWA
G(jw)=y / u
Przejœcie z transmitancji operatorowej na widmową jest proste ;
G(jw)=G(s) s=jw
G(jw)=A2(w)ej[wt+j(w)] \A1(w)ej[wt]=A(w)ejj(w)
A2(w)\A1=A(w)
Metoda zmiennych stanu
Teoria która powstała na podstawie rozważań w relacji wej.-wyj ma pewną wadę , nie daje bezpoœredniego obrazu dynamiki danego obiektu jako całoœci . Nasuwa się myœl , że dobrze byłoby podać od razu opis matematyczny , na podstawie którego potafiliœmy wyznaczyć w ogólny sposób dla danego elementu nie tylko te wielkoœci które ch-kter to , co dzieje się na wyj ale także przebiegi wszystkich interesujących nas zjawisk wewnątrz niego . Wtedy stan układu byłby znany w każdej chwili . Takie podejœcie zwane metodą zmiennych stanu .Drugą zaletą met. zmien. stanu jest to ,że umożliwia ona sprawdzenie , czy skutecznie można sterować stan tego obiektu i czy to zaobserwujemy na jego wyj wystarcza do pełnego schematu jego stanu . Inaczej met. zm. stanu umożliwia stwierdze- nie czy układ jest sterowalny i obserwowalny ogólnie , stan układu charakteruzuje się najmniej licznym zbiorem wielkoœci zawierających wystarczającą iloœć informacji do jednoznacznego okreœlenia zachowania się układu .
Wyznaczyć równanie charakterystyczne układu dynamicznego o transmitancji: G(s)=(1+s)/(s2+2s+1) . Podać cel wyznaczenia tego równania .
G(s)=(1+s)/(s2+2s+1)=1+s/(s+1)2=L dąży do s+1 ; gdy s= -1 transmitancja nieokreœlina .
Wyznaczanie równania charakrterystycznego układu dynamicznego umożliwia : 1/ poprzez transformaty wejœcia u(s) otrzymanie transformaty wyjœcia y(s) , 2/ okreœlenie własnoœci dynamicznych obiektu 3/ wyznaczenie charakterystyk obiektu dynamicznego
Jak wyznacza się stan układu dynamicznego. Podać matematyczny opis stanu układu ?
Stan układu - najmniej liczny zbiór wielkoœci którego znajomoœć w chwili początkowej , to znajomoœć w przedziale (to,t> pozwala wyznaczyć stan i odpowież układu w dowolnej chwili t>to
Stan układu - zbiór linowo niezależnych wielkoœci , które:
1)Jednoznacznie okreœla skutki przyszłych oddziaływa na układ 2) jest wystarczający do wyznaczania zachowania się układu .
Okreœlenie stanu układu dotyczą ukłądów , dla których znjomoœć stanu układu w chwili początkowej to i wymuszenia u(t) dla t>to pozwala wyznaczyć stan i odpowiedŸ układu dla t>to . Wielkoœć x1,x2.x3,....,xn nazywamy zmienymi stanu .Stan ukłądu mażna interpretować jako pamięć , ponieważ na podstawie stanu mażna okreœlić aktualny stan czyli własnoœć układu .
Model Matematyczny : 1. Rozpatrujemy dowolny, dynamiczny,ciągłyliniowy lub nieliniowy układ którymoże być opisany równaniem 2. Jstnieją przypadki że równanie różniczkowe lub układ równań różniczkowych zwyczjnych I rzędu . 3. Aby opisał układ dynamiczny ciągły przy pomocy równań różniczkowych a) wyróżnia się n.liniowo niezależnych wielkoœci fizycznych lub absrtrakcyjnych oznaczająć je odpowiednio : t1(t) ,....tn(t) 4. Niech w chwili początkowej t=to istnieje stan początkowy reprezentowany przez n- liczb t+to x1(to), .... xn(to) 5. Wyróżniane n-liniowo niezależne wielkoœci fizycz. Lub abstrakcyjne nazywają się wsół stan lub zmiennymi stanu 6. Współczynik stanu zapisuje się w postaci wektorowej
Podać metody opisu własnoœci dynamicznych układu
Do poznania własnoœci dynamicznych , przyjmuje się ustalony zbiór czynników , gdzie identyfikacjia obiektów dynamicznych , których własnoœci mogą zostać porównalne . Włanoœci obiektu dynamicznego mogą zostać okreœlone na podstawie : 1/ równania różniczkowego ,2/ transmitancji operatorowej, 3/ charakterystyk dynamicznych a/charakterysty sokowych b/ charakterystyk częstotliwoœciowych (amplitudowo-fazowych, amplitudowa , fazowa , logarytmiczna ),
4/ charaktrystyka statyczna x'(t)=A*x(t)+B*u(t) równanie stanu Y(t)=C*x(t) równanie wyjœcia
.............................
Człon prop./bezinercyjny Ogólna postać równ. elem. bezinercyjnego : y=kx y-wielkoœć wyjœciowa ;x-wielkoœć wejœciowa ; k-współczynnik proporcionalnioœci (współczynnik wzmocnienia).
Transmitancja G(s)=y(s)/x(s)=k
Równ. ch-ki statycznej y=kx lub yo=kxo+C c-stała okreœl. przesunięcie ch-ki w stosunku do ukł. współrzędnych .
Wymuszenie skokowe x(t)=1(t)xST będzie y(t)=1(t)kxST
Postacie macierzy:A=0000,B=0000,C=0000,D=1000
Dla większej wartoœci napięcia amplituda jest większa.
Człon całkujący Ogólna postać równ. ukladu x'=u,y=kx
transmitancja G(s)=y(s) / x(s) =k/s
Postacie macierzy:A=0000,B=1000,C=1000,D=0000
Wartoœć napięcia podanego na wejœciu układu wpływa na kąt nachylenia przebiegu linii wykresu w stosunku do osi czasu.Im
wyższa wartoœć napięcia podanego na wejœciu,tym kąt większy.
Człon inercyjny Ogólna postać równ. układu: Tx'=-x+u, y=kx
transmitancja G(s)=y(s)/x(s) = k/ Ts+1 k-współcz.proporcionalnoœci ;T-stała czasowa
równanie ch-ki statycznej y=kx
Postacie macierzy:A=-1000,B=1000,C=1000,D=0000
Wartoœć napięcia podanego na wejœciu układu wpływa na położenie asymptot czasowych względem których zbliża się wykres
przebiegu charakterystyki układu.Im wyższe napięcie, tym aymptota położona jest wyżej.
Człon różniczkujący rzeczywisty Ogólna postać równ. układu: Tx'=-alfa x+ alfa u, y=-alfa x+alfa u
transmitancja G(s)=y(s)/x(s) = Ts/ (T/alfa)*s+1 T-stała czasowa
Postacie macierzy:A=-1000,B=1000,C=1000,D=-1000
Wartoœć napięcia podanego na wejœciu układu wpływa na umiejscowienie punktu początkowego przebiegu wykresu na osi
0Y.Dla wyższego napięcia pkt. ten leży wyżej.Szybkoœć opadania linii wykresu jest zależna os stałej czasowej.
Człon prop.-całkujący Ogólna postać równ. układu: Tx'=u, y=kx+ku
transmitancja G(s)=y(s)/x(s) = k(1+1/Ts) T-stała czasowa
Postacie macierzy:A=0000,B=1000,C=-1000,D=-1000
Wartoœć napięcia podanego na wejœciu układu wpływa na kąt nachylenia przebiegu linii wykresu w stosunku do osi
czasu,jak również na wysokoœć polożenia punktu początkowego.Im wyższa wartoœć napięcia podanego na wejœciu,tym kąt
nachylenia linii wykresu do osi czasu jest większy,a także wys. położenia punktu pocz. na osi 0Y jest większa.
Człon dwuinercyjny Ogólna postać równ. układu: T1x1'=-x1+u, T2x2'=x1-x2, y=kx2
transmitancja G(s)=y(s)/x(s) = k/(T1s+1)(T2s+1) T1,T2-stałe czasowe
Postacie macierzy:A=-101-1,B=1000,C=1000,D=0000
Wartoœć napięcia podanego na wejœciu układu wpływa na położenie asymptot czasowych względem których zbliża się wykres
przebiegu charakterystyki układu.Im wyższe napięcie, tym asymptota położona jest wyżej.
Człon oscylacyjny Ogólna postać równ. układu: x1'=wn2 x2, x2'=-x1-2zwn x2+u, y=kx1
transmitancja G(s)=y(s)/x(s) = k wn2/s2+2zwn s+wn s
Postacie macierzy:A=01-1-1,B=0010,C=1000,D=0000
Większe napięcie podane na wejœciu powoduje powstanie oscylacji o większej amplitudzie.