Obszar Norm Niech DcR^2 będzie ob. Domkniętym. Powiemy że obszar D jest normalny względem osi OX jeśli D=(wzór) gdzie g,h;[a,b]->R są ciągłe. Obszar Reg Domknięty obszar D nazwiemy regularnym jeśli jest skończoną sumą obszarów normalnych względem którejś osi, których wnętrza się parami nie przecinają. Podziałem P obszaru D nazwiemy każdą skończoną rodzinę obszarów domkniętych spełniająca warun D1+D2+..+Dk=D i Int Di i Int Dj=o/. Niech f;D->R będzie funkcją określoną na regular ogranicz D. Niech P będzie dowolnym podziałem obszaru D, wreszcie niech (pi)i=1…k będzie ciągiem punktów takich że pi c Di dla i=1…k(pkt pośrednie) Liczbę Sigma i=1 n f(pi)|Di| nazwiemy sumą całkową f na D związaną z podziałęm P i wyborem pkt pośredni.
War koniecz cał Funkcja f całkowalna na ob. D jest na tym ob. Ograniczona. Warunek Wyst Całkowal Jeżeli funkcja f jest ciągła na regularnym ob. D to jest całkowalna na tym ob. Tw o zamianie całki krzyw nieskier na oznacz Jeżeli para f klasy C1(x(t)y(t)) stanowi parametryzację krzywej K dla t przebiegającego przedział [alfabeta] wówczas cał po K f(xy)dl = cał [alfabeta] z f(x(t)y(t)) sqrt((x`(t))^2+(y`(t))^2 dt. Jeżli krzywa dala jest równaniem y=y(x) cał po K f(xy)dl= Cał [ab] f(x,y(x)) sqrt(1+(y`(t))^2 dt. Tw o zamianie cał krzywo skier na oznacz Jeżeli f P i Q są ciągłe na łuku gładkim T danym parametryzacją to cał po T P(xy)dx + Q(xy)Dy= Cał z [alfabeta] [P(x(t),y(t))x`(t) +Q(x(t),y(t))y`(t)]dt. Jeżeli łuk określony jest y=y(x) to cał po T P(xy)dx + Q(xy)Dy= Cał z [ab] [P(x,y(x))+Q(x,y(x))y`(x)]dx. Tw o przejściu z cał pow niesker na podwójną Jeżeli F jest ciągła na płacie Reg S o równaniu z=f(xy) dla (x,y)cD to cał cał z S F(xyz)ds.=cał cał po D F(xyf(xy))Sqrt(1+(fx(xy))^2+(fy(xy))^2) dx Dy. Całka pow skierowana układu P,Q,R po powierzchni S Lub strumieniem pola wektorowego przez powierzchnię S Cał cał po S WoFdS = Cał cał po S P(xyz)Dydz+ Q(xyz)dxdz+R(xyz)dxdy.Dywergencja(rozbieżnością) różniczkowalnego pola W=[PQR] nazywamy funkcję skalarną divW określoną równością W=VoW=Px+Qy+Rz. Można obliczyć ze wzoru divW(P)=lim v->p (cał cał po S WoF ds./|V|) gdzie przejście graniczne V->P rozumiemy w ten sposób że ciąg kolejnych obszarów Vn spełnia warunki 1. diamVn->0 2.PcVn