Algorytm mnożenia i dzielenia pisemnego.

Algorytm to każdy przepis postępowania przybierający charakter szczegółowego planu wykonywania kolejnych czynności i prowadzący do rozwiązania zagadnień pewnego typu, a przy tym spełniający pewne określone warunki.

Algorytm charakteryzuje się:

- wykonywalnością krok po kroku- każda następna czynność wynika z poprzedzającej czynności. Bez zakończenia kroku wcześniejszego, wykonanie czynności kolejnej jest niemożliwe.

- jednoznacznością i powtarzalnością- wyniki uzyskane w każdym kolejnym kroku zależą wyłącznie od danych początkowych.

- skończoność-liczba kroków wykonywanych jest skończona, widoczny powinien być również koniec działania opisanego przez algorytm jak i ostateczny wynik działania.

Przystępując do nauczania algorytmów nauczyciel powinien zdawać sobie sprawę z różnicy, jaka zachodzi między rachunkiem pamięciowym, pisemnym a algorytmem działań pisemnych. Pozwoli to mu zorientować się, co dla uczniów będzie nowe a zatem trudne, pokaże również jak pomagać te trudności dziecku pokonywać.

Przy algorytmach działań pisemnych korzystamy z raz ustalonej zasady postępowania dla poszczególnych działań. W algorytmach działań pisemnych nowy dla uczniów jest pozycyjny zapis liczb w słupku oraz rozpoczynanie obliczania od jednostek niższego rzędu(prócz dzielenia). Przed przystąpieniem do nauczania algorytmów działań pisemnych konieczne jest to, aby uczeń opanował pamięciowe dodawanie i odejmowanie liczb jednocyfrowych w zakresie 20 oraz mnożenia i dzielenia w zakresie 100.

Zakres materiału w poszczególnych klasach:

-Pojęcie mnożenia i dzielenia w klasie pierwszej wprowadza się propedeutycznie w zakresie 30.

-Na klasę drugą przypada ugruntowanie pojęcia iloczynu. Uczeń na tym etapie nauki coraz lepiej rozumuje własności mnożenia i jego związki z innymi działaniami oraz ćwiczy zdobyte umiejętności w zakresie obliczania iloczynów w nietrudnych przypadkach.

-Klasa trzecia i czwarta rozwija u ucznia biegłość rachunkową, do najważniejszej umiejętności, jaką uczeń musi zdobyć należy opanowanie algorytmu mnożenia pisemnego.

Do nauczania algorytmów przystępujemy w klasie 3. Uczeń powinien już rozumieć własności działań i umieć je sprawnie wykonywać na niewielkich liczbach.

Algorytmy mnożenia, dodawania i odejmowania pisemnego przygotowujemy ćwicząc wykonywanie działań na pełnych dziesiątkach i setkach np. 3 dziesiątki plus 4 dziesiątki to 7 dziesiątek, czyli 70 oraz poprzez zapisywanie wyników w odpowiednich rzędach systemu dziesiątkowego. Wyjątek stanowi dzielenie pisemne.

T	S	D	J

Etapy nauczania algorytmów działań pisemnych:

1. Przedstawienie konkretnego problemu związanego z płaceniem.

2. Każdy uczeń przeprowadza dla siebie obliczenia za pomocą manipulowania papierowymi „pieniędzmi”.

3. Uczniowie opowiadają, jakie czynności wykonywali po kolei.

4. Zapisują rachunki na tablicy w zwykły sposób z użyciem znaku równości.

5. Przedstawienie rachunków w rzędach systemu dziesiątkowego.

6. Przedstawienie wyników z opuszczeniem już pionowych linii oddzielających poszczególne rzędy.

Problem rachunkowy, który jest punktem wyjścia dla wprowadzenia algorytmu nie może być zbyt trudny ani też zbyt łatwy. Przykład powinien być tak dobrany by dzieci nie mogły go obliczyć za pomocą już im znanych sposobów.

Zanim uczeń przystąpi do nauki mnożenia pisemnego powinien mieć opanowane obliczenia pamięciowe następujących iloczynów:

- iloczyny liczb jednocyfrowych przez jednocyfrowe ( tabliczka mnożenia)

- iloczyny liczb jednocyfrowych przez pełne dziesiątki, pełne setki itp.

Umiejętności te należy ćwiczyć i powtarzać tak by zostały opanowane. Opanowanie ich ułatwi naukę algorytmu mnożenia pisemnego a ono z kolei umożliwi objęcie trudniejszych przypadków takich jak:

- iloczyny liczb wielocyfrowych przez jednocyfrowe.

- iloczyny liczb wielocyfrowych przez pełne dziesiątki, pełne setki itp.

- iloczyny liczb wielocyfrowych przez wielocyfrowe.

Znak mnożenia najczęściej zapisywany jest w postaci krzyżyka.

Sposobem, który pomoże dzieciom w opanowaniu algorytmu mnożenia pisemnego jest wykorzystanie, dopasowanie odpowiednich środków poglądowych. Szczególną rolę w nauce algorytmu mnożenia pisemnego odgrywają obliczenia pieniężne.

Zadanie:

Iloczyn 27x5=.. Można obliczyć korzystając z prawa rozdzielności:

27x5=(20+7)x5=20x5+7x5=100+35=135

Rozwiązanie to nie powinno być jednak uzasadnieniem algorytmu:

    27

X   5

135

Lepszym sposobem jest wyjście od jakiegoś konkretnego przykładu, sytuacji problemowej:

Np.

27 uczniów składa się po 5zł na kwiaty z okazji Dnia Nauczyciela. Ile razem zbiorą?

Zadanie to tłumaczymy:

Najpierw zapłaciło 20 uczniów, potem 7 uczniów( rozdzielność ta jest bardziej przystępna dla dziecka niż to formalne przeliczanie podane wcześniej).

Drugi sposób rozwiązania tego zadania to przestawienie czynników:

5 uczniów kupuje długopis po 27zł. Każdy płaci za swój długopis najpierw 20zł, potem po 7zł. Ile razem zapłacili?

20     20    20     20     20     20

7       7        7       7        7       7

     

Obliczenia pieniężne dają naturalną metodę przedstawiania liczby wielocyfrowej, jako sumy jedności, dziesiątek, setek.

Np.

342zł to:

3 banknoty po 100zł,

4 banknoty po 10zł,

2 banknoty po 1zł.

Zamiana ta jest dla dziecka bardziej zrozumiała.

Algorytm mnożenia liczby wielocyfrowej przez liczbę jednocyfrową:

Podczas przerabiania tego tematu stopniujemy trudności pod dwoma względami:

1. Trudności rachunkowej danego przykładu jak i stopnia uniezależniania rachunku od środków poglądowych.

Trudności rachunkowe wiążą się z:

- Liczbą cyfr w pierwszym czynniku,

- pojawieniem się trudnych do zapamiętania iloczynów np. 9x6

- przekraczanie progu dziesiątkowego( wtedy, gdy w wyniku mnożenia pojawia się liczba dwucyfrowa- jedną zapisujemy w wyniku drugą trzymamy w pamięci i dodajemy do następnego otrzymanego wyniku).

Np.

1 2

347

x 4

1388

B) Stopień uniezależniania rachunku od środków poglądowych polega na:

Stopniowym przechodzeniu od operacji na konkretach np. papierowych pieniądzach poprzez sprawdzanie mnożenia za pomocą wielokrotnego dodawania, stosowaniu prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania, przedstawianiu wyników w odpowiednich rzędach tabelki( przedstawiona była wyżej), zapisaniu rachunków w słupku pełnym bez żadnych skrótów, zapisanie rachunków w słupku z użyciem małych cyferek pomocniczych oraz na samym końcu zapisanie rachunków w słupku skróconym.

Tłumacząc dzieciom algorytm mnożenia pisemnego musimy:

-Na początku oprzeć się na operacjach konkretnych np. liczyć z wykorzystaniem papierowych pieniędzy. Sposób ten pozwoli dzieciom bardziej uzmysłowić sobie kolejne następujące po sobie etapy związane z liczeniem.

Zadanie:

Ania postanowiła, że przez 4 kolejne miesiące będzie odkładała po 347zł. Ile pieniędzy będzie miała Ania po 4 miesiącach?

Np. 347zł x 4

Dzieci przedstawiają kwotę 347 zł w formie: 3 setek, 4 dziesiątek i 7 jedności. Układają cztery takie same grupy, ponieważ kwota ta mnożona jest przez 4. Sumują wszystkie jedności i wymieniają je na dziesiątki, dziesiątki wymieniają na setki, setki na tysiące. Banknoty, jakie w tym momencie im pozostają to: 1 tysiąc, 3 setki, 8 dziesiątek i 8 jedności.

-Kolejnym krokiem jest sprawdzalność mnożenia, jako wielokrotnego dodawania:

347+347+347+347=

347

347

347

+ 347

Dzieci kolejno dodają do siebie 7+7+7+7=28 (8 zapisują w wyniku 2 zapisują w formie małej cyferki nad kolumną dziesiątek).

Następnie sumują wszystkie 4+4+4+4=16+2=18( dodają zapisaną nad kolumną dziesiątek małą cyfrę 2) wynik otrzymany zapisują- 8 w grupie dziesiątek, cyfrę jeden zapisują w kolumnie setek.

Sumują wszystkie elementy z grupy setek. 3+3+3+3= 12+1=13 Otrzymaną ostatecznie cyfrę zapisują w wyniku.

-Następnym etapem jest stosowanie prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania.

347x4= (300+40+7) x 7 = 300x4+ 40x4+ 7x4=1200+160+28= 1388.

-Przedstawienie rachunków w odpowiednich rzędach tabelki:

T	S	D	J
	3	4	7
		x	4
		2	8
	1	6	0
1	2	0	0
1	3	8	8

-Dalszym etapem jest zapisanie rachunku w słupku bez rysowania pionowych kresek, z wypisaniem wszystkich pomocniczych iloczynów i ze wszystkimi zerami.

Kolejnym etapem jest zapisanie rachunku w formie skróconej, poprzez dodanie iloczynów 28, 160 i 1200 w pamięci wykorzystując zapisywanie małych cyferek nad konkretnymi rzędami.

-Ostatnim etapem jest zapisanie maksymalnie skróconego algorytmu mnożenia pisemnego( wszystkie czynności, obliczenia wykonywane są w pamięci).

347

x 4

1388

Wszystkie etapy powinny być przeprowadzone w sposób bardzo przemyślany. Każdy etap powinien być zrozumiany i wyćwiczony przez dziecko. Jeśli dziecko je opanuje z czasem samo zacznie opuszczać bardziej pracochłonne zapisy na rzecz szybszych.

Dopiero w klasie 4 z konieczności przejścia do algorytmu mnożenia liczb wielocyfrowych jest pożądane by każdy uczeń opanował mnożenie przez liczbę jednocyfrową bez pomocniczych cyferek.

Algorytm mnożenia przez pełne dziesiątki:

Zapis mnożenia pisemnego przez pełną dziesiątkę:

Zapisując rachunek zapisujemy jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami itp. Zapisu tego przestrzegamy w każdym przypadku, niezależnie, przez jaką cyfrę mnożymy.

14

x 30

420

Etapy nauczania dzieci mnożenia przez pełne dziesiątki:

- wyjście od konkretnej sytuacji problemowej

- stosowanie prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania( tak jak w przypadku mnożenia przez jedną cyfrę)

• zapis w formie tabelki

	S	D	J
		3	4
	x	2	0
		0	0
+	6	8
	6	8	0

- zapis w formie słupku

34

x 20

- obliczenia z przekroczeniem progu dziesiątkowego( wykorzystujemy małe cyferki pisane nad odpowiednią kolumną).

34

x 60

Algorytm mnożenia przez liczbę dwucyfrową:

Obliczenia tego typu pojawiają się dopiero w klasie 4 szkoły podstawowej. W klasie 3 uczniowie mogą mieć styczność z tego typu obliczeniami, ale wykorzystują w celu jej rozwiązania prawo rozdzielności:

Np. 12x 15= (10+2)x 15= 10x15+ 2x15= 150+30= 180

Przed wprowadzeniem algorytmu mnożenia pisemnego liczby wielocyfrowej przez dwucyfrową uczniowie muszą powtórzyć algorytm mnożenia pisemnego przez liczby jednocyfrowe następnie przechodzi się do mnożenia przez pełne dziesiątki.

Naukę tego algorytmu możemy rozpocząć od zadania np.

ZADANIE

Dla klasy 4, w której było 34 uczniów zakupiono podręczniki. Jeden podręcznik kosztował 27zł. Ile kosztowały wszystkie podręczniki?

Uczniowie sami dochodzą do tego, że trzeba pomnożyć 34x27.

Następnie korzystając w rozdzielności mnożenia względem dodawania obliczają:

(30+4)x 27= 30x27+ 4x 27=

Obliczają osobno każdy z tych iloczynów( sposobem pisemnym, który już znają).

W celu obliczenia wyniku wykonali trzy działania- mnożenie przez 4, mnożenie przez 30 i dodawanie.

Nauczycielka pokazuje uczniom jak zapisać to w jednym rachunku.

27

x 30

108

+810

918

Zadania do obliczenia:

25x13

42x18

Mnożenie przez liczbę wielocyfrową z zerami wewnętrznymi:

Algorytm mnożenia pisemnego przez liczbę wielocyfrową nie różni się istotnie od algorytmu mnożenia przez liczbę dwucyfrową i może być z uczniami przerabiany w sposób analogiczny.

Na uwagę zasługuje przypadek, w którym drugi czynnik ma tzw. zera wewnętrzne.

Np.

213

x 304

Rachunki tego typu powinny być zilustrowane poglądowo np. wykorzystanie obliczeń pieniężnych.

Mnożąc mnożną przez którąkolwiek cyfrę wartościową mnożnika, zapisujemy iloczyn cząstkowy w taki sposób, żeby jego ostatnia cyfra była napisana pod tą cyfrą mnożnika, przez którą mnożyliśmy mnożną.

Każdej czynności należy poświęcić odpowiednią ilość czasu tak, aby dzieci zrozumiały, co dlaczego i w jakiej kolejności należy wykonywać poszczególne czynności.

---