1.6. NIEZAWODNOŚĆ OBIEKTÓW PROSTYCH
Najprostszymi do opisu formalnego a zarazem najczęściej spotykanymi
w praktyce obiektami są obiekty proste, tj. obiekty mające szeregową, równole-
głą, szeregowo-równoieglą lub równoległo-szeregową strukturę niezawodnoś-
ciową [16]. Zjawiają się one już na. etapie rozważań nad obiektami elementar-
nymi zbudowanymi z dwu i trzech elementów. Należy tu podkreślić, że pojęcie
obiektu prostego w sensie teorii i inżynierii niezawodności nie oznacza wcale jego
prostoty w sensie technicznym. Jako przykład, obiekty biotechniczne typu „czło-
wiek-maszyna" traktowane w niezawodności jako obiekty elementarne (jeden
operator — jedna maszyna) są w sensie występujących współzależności obiek-
tami bardzo złożonymi.
Aby móc badać oraz porównywać właściwości niezawodnościowe różnych
obiektów, rozpatrzymy najpierw obiekty o strukturach szeregowych i równole-
głych (patrz również I t. Poradnika).
1.6.1. Niezawodność obiektów szeregowych
Obiektem o strukturze szeregowej (rys. 1.4) albo — krótko — obiektem
szeregowym przyjęto nazywać każdy obiekt, który funkcjonuje poprawnie jedy-
nie wówczas, gdy funkcjonują poprawnie wszystkie jego elementy sUadowe,
natomiast uszkadza się z chwilą uszkodzenia się któregokolwiek elementu. Me-
chanizm tworzenia tego rodzaju obiektów oparty jest na tzw. zasadzie parsimonii
(z łac. parsimonia — oszczędność), w mysi której najlepszym obiektem z okreś-
lonego zbioru obiektów funkcjonalnie równoważnych jest obiekt produkcyjnie
najtańszy, tj. obiekt zawierający najmniejszą liczbę elementów. Zgodnie z zasadą
parsimonii [16] przyjmuje się, że elementy, których znaczenie dla funkcjonowa-
nia obiektu jest znikome, należy eliminować jako zbędne. W wyniku takiego
postępowania z obiektu zostaje wyeliminowany wszelki nadmiar przestrzenny
(elementów), znaczenie zaś elementów tworzących obiekt jest tak duże, że uszko-
dzenie się któregokolwiek z nich pociąga za sobą przejście obiektu do stanu
niezdamości (uszkodzenia).
Niezawodność R, obiektu n-elementowego o strukturze szeregowej w przy-
padku, kiedy uszkodzenia Jego elementów składowych są uszkodzeniami wzaje-
mnie niezależnymi, wyrażona jest wzorem
^-nR;=^...R;..^„, (1.4) '
przy czym R; (i = l,...,n) oznacza niezawodność i-tego elementu.
W szczególnym przypadku/a mianowicie wówczas, gdy rozważany obiekt
jest obiekteo jednakowej niezawodności, otrzymuje się wzór
R, = RWR, = R; i == l, ..., n) == R" (1.5)
2 podanego wzoru wynika, że niezawodność obiektu jednorodnego o struk-
turze szeregowej wzrasta (w sposób ciągły) wraz ze wzrostem niezawodności
R Jego elementów składowych (rys. 1,4), natomiast maleje (w sposób skokowy)
wraz ze wzrostem iiczby n tych elementów. Cechą charakterystyczną obiektu
szeregowego jest to, że staje się on obiektem praktycznie zawodnym (R^-*0)już
przy stosunkowo niewielkiej liczbie elementów składowych.
Często zamiast wyznaczać wartość ^ znacznie efektywniej jest wyznaczać
wartość Q^ tj. zawodność obiektu szeregowego, według wzoru
a-i-^=i-(i-e)" (i.6)
przy czym Q oznacza zawodność elementu obiektu jednorodnego. Zależność
(1.6) otrzymuje się bezpośrednio ze wzoru (1.5) po dokonaniu podstawień typu
R = l-Q oraz R, == l-Q,.
Dobrym modelem fizycznym, np. elektrycznym, obiektu szeregowego może
być lampa elektryczna o konstrukcji mozaikowej (rys. 1.4) zawierająca odpowie-
dnią liczbę żarówek (elementów) połączonych szeregowo (rys. 1.4).
Obiekt o strukturze szeregowej można zdefiniować również w kategoriach
trwałości. Przyjmuje się wówczas, że obiektem o strukturze szeregowej albo
— krótko — obiektem szeregowym jest każdy obiekt, którego trwałość T, jest
zdeterminowana trwałością najsłabszego (najmniej trwałego) elementu
r,=min(T;)=min(Ti,..,^,..„rJ (1.7)
przy czym T, oznacza trwałość i-tego elementu.
W przypadku szczególnym, a mianowicie wówczas, gdy T^ = T^ = ... =
= T„ = T, -= T, mielibyśmy do czynienia z obiektem zbudowanym z elementów
o jednakowej trwałości. Warto podkreślić, że dążenie do budowy takich obiek-
tów jest pożądane jedynie dla obiektów nienaprawialnych.
W odniesieniu do obiektów biologicznych, tj. obiektów zawierających ele-
menty biologiczne, mówi się nie o trwałości, lecz odpowiednio o czasie życia
obiektu (7^) oraz czasie życia i-tego elementu biologicznego (T;).,Sposób wy-
znaczania trwałości obiektu szeregowego uwidoczniono na rys. 1.4.
1.6.2. Niezawodność obiektów równoległych
Obiektem o strukturze równoległej (rys, 1.5) albo — krótko — obiektem
równoległym przyjęto nazywać każdy obiekt, dla którego poprawnego funkcjo-
nowania wystarczy poprawne funkcjonowanie chociażby jednego dowolnie wy-
branego elementu. Obiekty równolegle są obiektami strukturalnie dualnymi
względem obiektów szeregowych.
Mechanizm tworzenia tego rodzaju obiektów polega na tzw. zasadzie redun-
dancji (z łac. redundantia — nadmiar), w myśl której do obiektu wprowadza się
m statystycznie jednorodnym, tj. obiektem zbudowanym z elementów
celowo pewną liczbę elementów nadmiarowych, których zasadniczym i pod-
stawowym zadaniem jest zwiększenie niezawodności i trwałości obiektu.
Obiektami równoległymi są w zasadzie wszystkie organizmy biologiczne
oraz obiekty techniczne o wymaganym dużym bezpieczeństwie działania.
Zgodnie z definicją obiektu równoległego, obiekt taki uznaje się za uszkodzo-
ny (niezdatny) jedynie wówczas, gdy ulegną uszkodzeniu wszystkie jego elementy
składowe- Zatem zawodność Q^ n-elementowego obiektu równoległego w przy-
padku, kiedy uszkodzenia jego elementów składowych są uszkodzeniami wzaje-
mnie niezależnymi, można wyrazić wzorem
Q,= ń Qi=Qr-Q,-Q. (1.8)
i=l
przy czym Q;, {i = l,..., n,) oznacza zawodność i-tego elementu.
W przypadku obiektu jednorodnego można napisać wzór
Qr=QrWQi=Q^=^-^}=Q^ 0.9)
Na podstawie wyrażeń (1.8) i (1.9) można napisać wzory na niezawodność -R,.
obiektu równoległego
^,=l-n(l--Ri) (1.10)
oraz
R,= 1-(1-.R)" (1.11)
Z podanych zależności wynika, że niezawodność obiektu równoległego wzra-
sta nie tylko ze wzrostem niezawodności jego elementów składowych (rys. 1.5),
ale również ze wzrostem liczby elementów.
Cechą charakterystyczną obiektu równolegiego jest to, że staje się on obiek-
tem praktycznie niezawodnym (.R,.""* l).)11^ P^y stosunkowo niewielkiej liczbie
elementów.
Dobrym modelem fizycznym, np. elektrycznym, obiektu równoległego może
być omawiana lampa elektryczna o konstrukcji mozaikowej (rys. 1.5) zawierają-
ca odpowiednią liczbę żarówek (elementów) połączonych równolegle (rys. 1.5).
W myśl rozważanego modelu iampę taką uznaje się za zdatną technicznie do
chwili, kiedy chociażby jedna żarówka będzie zdatna.
Obiekt o strukturze równoległej (rys. 1.5) można opisać również w katego-
riach trwałości. Przyjmuje się wówczas, że jest to obiekt, którego trwałość 7^ jest
zdeterminowana trwałością najmocniejszego (najtrwalszego) elementu
T, = max (T;) - max(Ti, ...,T,, ..., r„) (1.12)
przy czym T; oznacza trwałość i-tego elementu.
Tak jak dla obiektów szeregowych również i tu zjawia się problem celowości
budowy obiektów równoległych z elementami o jednakowej trwałości. Stosując
np. kryterium ciągłości pracy obiektu można wykazać, że budowa takich obiek-
tów jest zbędna.
W odniesieniu do obiektów biologicznych i biologiczno-technicznych mówi
się nie o trwałości, lecz odpowiednio o czasie życia obiektu (T,) oraz o czasie życia
t-tego elementu biologicznego. Sposób wyznaczania trwałości obiektu równole-
głego uwidoczniono na rys. 1.5.
1.6.3. Niezawodność obiektów szeregowo-równoiegiych
Mając opisane obiekty szeregowe i równoległe można przystąpić do opisu
i badania właściwości obiektów szeregowo-równolegrych oraz równoległo-szere-
gowych (patrz również 1.1 Poradnika). W tym celu potrzebne jest wprowadzenie
pojęcia zespołu albo — inaczej — podsystemu rozumianego jako podzbiór
pewnej liczby elementów o określonej strukturze niezawodnościowej.
Obiektem szeregowo-równoległym przyjęto nazywać każdy taki obiekt, któ-
ry funkcjonuje poprawnie wówczas, gdy wszystkie jego n zespoły o równoległym
połączeniu m elementów funkcjonują poprawnie (rys. 1.6). W ten sposób znając
niezawodność obiektu szeregowego i równoległego można wyznaczyć niezawod-
ność R^ obiektu szeregowo-równoległego mającego n zespołów o m równolegle
połączonych elementach
^r= n p-no-^l (i-i3)
J=iL 1=1 J
przy czym R^ oznacza niezawodność i-tego elementu znajdującego się w^-tym
zespole.
W przypadku gdy rozważany obiekt jest obiektem jednorodnym i regular-
nym, tj. obiektem o jednakowej liczbie elementów w poszczególnych zespołach,
można napisać wzór
R^. = [l-(l-R)"1]" (1.14)
Odpowiednio, zawodność rozważanego obiektu jednorodnego można wyra-
zić wzorami:
^-1-[(1-W (1.15)
oraz
&r =1-1:1-(l-.W (1.16)
Modelem fizycznym, np. elektrycznym, obiektu szeregowo-równo ległego
może być omawiana już lampa elektryczna o konstrukcji mozaikowej zbudowa-
na z; = l, .-., n segmentów (rys. 1.6} odznaczających się tym, że znajdujące się
w nich żarówki w liczbie ;' = l,..., m są połączone równolegle. Omawiana lampa
ma tę właściwoLsć, że uszkodzenie się któregokolwiek segmentu w wyniku przepa-
lenia się przynależnych mu żarówek jest traktowane jako uszkodzenie się (nie-
zdatność) całej lampy.
Obiekt szeregowo-równoiegły można również opisać w kategoriach trwa-
łości. Przyjmuje się wówczas, że jest to taki obiekt, którego trwałość 7^. jest
zdeterminowana trwałością 7}(/ — l, ..„ n) najsłabszego zespołu (podsystemu).
T„ = min (7}) -= mm(^, ,.,7}, ..,r„) (1.17)
przy czym trwałość każdego ;-tego zespołu (podsystemu) jest zdeterminowana
trwałością jego najmocniejszego elementu, to znaczy
7} = max (Ty) - max (7^,..., 7;,, ..„ TJ (1.18)
i
Zatem trwałość Tsp obiektu szeregowo-równoległego można zapisać wzorem
T„ == min [max (7^)3 ^
^ min [max (T„),.,., max (T^,..., max (T;„)] (1.19)
Sposób wyznaczania trwałość 7^ obiektu szeregowo-równoiegłego podano
na rys. 1.6.
1.6.4. Niezawodność obiektów równoległo-szeregowych
Obiekty równoległo-szeregowe są obiektami strukturalnie dualnymi wzglę-
dem obiektów szeregowo-równoległych.
Obiektem równoległo-szeregowym przyjęto nazywać każdy taki obiekt, któ-
ry funkcjonuje poprawnie wówczas, gdy przynajmniej jeden spośród n jego
zespołów (podsystemów) funkcjonuje poprawnie (Fys-1.7-). Zatem niezawodność
Rys obiektu równoległo-szeregowego mającego n zespołów o m szeregowo połą-
czonych elementach można zapisać wzorem
^.=i-n(i-n-R„) (i.2o)
j=l \ i=l /
przy czym J?y oznacza niezawodność i-tego elementu znajdującego się w j-tym
zespole.
W przypadku gdy rozważany obiekt jest obiektem jednorodnym i regular-
nym, tj. obiektem o jednakowej liczbie elementów w poszczególnych zespołach,
można napisać wzór
-R„= l-(l-R"')" (1.21)
Odpowiednio, zawodność rozważanego obiektu jednorodnego można wyrazić
wzorami
a.-[i-(i-er]" (i-22)
oraz
e^ci-R'"]'1 (1.23)
Modelem fizycznym, np. elektrycznym, obiektu równoległo-szeregowego
może być lampa elektryczna o konstrukcji mozaikowej zbudowana z; = i, -..,
n segmentów (Tysrt:?.) odznaczających się tym, że znajdujące się w nich żarówki
w liczbie i — l,..., m są połączone szeregowo. Omawiana lampa ma tę właściwość,
że przepalenie się którejkolwiek żarówki w segmencie pociąga za sobą zgaśniecie
segmentu a uszkodzenie się lampy jest równoważne zgaśnięciu wszystkich jej
segmentów.
Obiekt równoległo-szeregowy można opisać w kategoriach trwałości. Przyj-
muje się wówczas, że jest to taki obiekt, którego trwałość T^ Jest zdeterminowana.
trwałością najsłabszego elementu w najtrwalszym zespole
r^ = mas [mm (T;,)] = max [min (7^), ..., min (^.),..., min (T;„)] (1.24).
przy czym Ty, (i = l, ..., m, j = l, ..., n,) oznacza trwałość (czas życia) i-tego
elementu w ./-tym zespole.
|l.7.3. Niezawodność obiektów progowych
W teorii i inżynierii niezawodności obiektami progowymi albo — inaczej
— obiektami typu „k z n", przyjęto nazywać obiekty, które funkcjonują popraw-
nie nawet wówczas, gdy chociażby k spośród n elementów (l < k < n) jest
zdatnych. Oznacza to, że dla obiektów progowych typu „k z n" dopuszcza się
uszkodzenie pewnej ustalonej z góry liczby elementów, w ilości (n—k), poniżej
której obiekt uznaje się jeszcze za zdatny.
Rozróżnia się dwa rodzaje obiektów progowych, a mianowicie: obiekty pro-
gowe typu Z (zdatności) oraz typu N (niezdatności). W pracy tej ograniczono się
wyłącznie do analizy obiektów typu Z.
Dla każdego obiektu progowego typu „k z n" można zdefiniować parametr p
Q ^ p == k < l (1.29)
który będziemy nazywać progiem obiektu.
Zależnie od wartości p obiekty progowe typu „k z n" można podzielić na:
1) obiekty mniejszościowe, kiedy O < p < 0,5;
2) obiekty równościowe, kiedy p = 0,5;
3) obiekty większościowe, kiedy 0,5 <p < 1.0.
Warto zauważyć, że omówione w pkcie 1.6 obiekty szeregowe i równoległe
są szczególnymi przypadkami obiektów progowych, a mianowicie: obiekt szere-
gowy jest obiektem progowym typu „n z n", natomiast obiekt równoległy jest
obiektem progowym typu „Iz n".
Obiekty progowe występują powszechnie w praktyce, zwłaszcza wtedy, kiedy
ich działanie jest oparte na iogice progowej. Jedną z osobliwości obiektów
progowych typu „k z n" jest ich duża efektywność niezawodnościowa umoż-
liwiająca budowę odpowiednio niezawodnych obiektów z elementów o małej
niezawodności (zob, pkt 1.2).
Przykład l. Dla zilustrowania omawianych obiektów rozpatrzono dwie funk-
cjonalnie równoważne lampy oświetleniowe o konstrukcji mozaikowej (rys-IrU).
Jeżeli jako kryterium poprawnego funkcjonowania każdej lampy przyjmie się
warunek, aby przynajmniej 66% żarówek było zdatnych, to rozważane lampy
oświetleniowe można traktować jako obiekty progowe typu „k z n", dla których
p — k/n — 2/3 •= const. W praktyce oznacza to, że lampę przedstawiona naTys.
U.1'1. złożoną z trzech żarówek (dużej mocy) uznaje się za zdatnąJeżeli przynaj-
mniej dwie z nich będą zdatne, natomiast iampę z.r.ys.-l.-l 1-b zbudowaną z n = 91
żarówek (matej mocy), uznaje się za zdatną w przypadku zdatności przynajmniej
k se 60 żarówek. Mówiąc inaczej, dla lampy pierwszej dopuszcza się uszkodzenie
tylko jednej żarówki, natomiast dla lampy drugiej uszkodzenie aż trzydziestu
żarówek. Uszkodzenie większej liczby żarówek fdia lampy pierwszej np. dwóch
żarówek) powoduje przejście lampy do stanu niezdatności Jakkolwiek w dalszym
ciągu może ona częściowo spełniać swoje funkcje^
Do wyznaczania niezawodności Rp = R^„ obiektów progowych typu „k z n",
zbudowanych z małej liczby elementów, można zastosować znaną już metodę
dekompozycji prostej. Niezawodność Rp = R.i,in obiektu progowego można wów-
czas wyrazić następującym wzorem rekurencyjnym:
R, = R^ = R,R^+(1-R,)R-^ - R^-i^-„+(l--R,)^-i) (1.30)
przy czym R, oznacza niezawodność i-tego elementu, natomiast
Rp = ^In = ^/»(^1- - ^ - Ku) (1-31)
oznacza niezawodność obiektu progowego typu „k z ń".
Odpowiednio wyrażenie
R, = ^-i,/<„-i) = -r(,-i)/,.-i)(^i, -, -R, = l, -, Rn) (1.32)
oznacza niezawodność obiektu (n— l)-elemen.towego typu „(^.—l) z (n—l)" o war-
tości progu
p^^, 0^p<l (1.33)
— n— l ~
obliczoną dla przypadku, gdy ;-ty element rozważanego obiektu n-elementowe-
go jest absolutnie niezawodny (R, = l), natomiast wyrażenie
^ = ^<„-i) = -r./(„-i)(^ ..., R, = O, ..., -R„) . (1.34)
oznacza niezawodność obiektu (n — l ^elementowego typu „fe z (n— l)" o wartości
progu
p-—— O^p^l (1.35) ,
obliczoną dla przypadku, gdy i-ty element rozważanego obiektu n-elementowe-
go jest absolutnie zawodny (r( -= 0).
Interpretację geometryczną podanych zależności oraz sposób obliczania nie-
zawodności obiektów progowych typu „k z n" przedstawiono na rys. l.lig.
Przykład 2. Dla zilustrowania podanych zależności wyznaczmy niezawod-
ność najprostszego obiektu progowego typu „fe z o", tzn. niezawodność obiektu
typu „2 z 3" (rys. 1.12a). Przykładem takiego obiektu może być omawiana już
lampa elektryczna zbudowana z trzech żarówek, której strukturę niezawodnoś-
ciową podano na rys. 1.12a. Zadanie sprowadza się do wyznaczenia niezawo-
dności lampy ^3/3 na podstawie znajomości niezawodności jej żarówek, tzn.
wartości R^, R^, R^. Zgodnie ze wzorem (1.30) niezawodność lampy można
wyrazić zależnością
^p = ^0,66 = ^2/3 = ^1^1/2+t^~^l)-^2/2
przy czym
^1/2 = ^2+J^3—^2^3' ^2/2 = ^2^3
z czego otrzymuje się wzór
Rp = Ko.66 = ^ = -Ri(^2+^3-.R2^3)+(l--Rl)^2^3 =
= R^ + R^ + R^ - IR^R^
W przypadku gdy rozważana lampa jest zbudowana z żarówek jednorod-
nych {R^ = R^ == R^ = R), Jej niezawodność można wyrazić wzorem
-Kp = -^0,66 = ^2/3 = ^2/W = 3^-2.R3
Otrzymane wyrażenie przedstawiono w postaci wykresu na rys. 1.12a. Widać
z niego, że niezawodność 3-żarówkowej lampy progowej jest większa niż nieza-
wodność odpowiadającej jej pod względem si-ty światła lampy 1-żarówkoweJ dla
R > 0,5 i mniejsza dla -R < 0,5. Oznacza to, że budowa progowych systemów
oświetleniowych typu „2 z 3"" jest Jeśli chodzi o niezawodność, sensowna jedynie
wówczas, gdy niezawodność użytych żarówek wynosi R > 0,5.
Obliczanie niezawodności obiektów typu „k z n" zawierających dużą liczbę
elementów jest bardzo uciążliwe i wymaga zastosowania elektronicznych ma-
szyn cyfrowych lub odpowiednich tablic [32]- W przypadku obiektów zbudo-
wanych z elementów jednorodnych niezawodność R^ obiektu progowego typu
,,k z n" można wyrazić wzorami:
Rp=^=i(n\]^-R)'"i (1.36)
i-fcW
lub
^-^-^.i^-^i^"^1"^"^ ^
przy czym i = k, k-i-1,..., n—l, n, natomiast