ZASADY ZAPISU WYNIKU I BŁĘDU POMIARU

Wyniki pomiarów są liczbami przybliżonymi. Sposób prezentacji tych wyników powinien odpowiadać dokładności ich otrzymania.

Obliczenia błędów pomiarów, na podstawie wzorów właściwych użytym przyrządom, przeprowadzane są z użyciem kalkulatorów elektronicznych. Najczęściej popełnianą wtedy nieprawidłowością jest podawanie wyniku pomiaru z precyzją - wyrażaną liczbą cyfr znaczących - na jaką pozwala kalkulator. Tymczasem wyjściowymi danymi do obliczeń są znormalizowane błędy przyrządów, podawane za pomocą jednej lub dwóch cyfr znaczących. Wskutek tego i w końcowej wartości błędu pomiaru powinna być zachowana jedna lub dwie cyfry znaczące.

Prowadzenia dokumentacji wyników pomiarów nie można nauczyć się w sposób „teoretyczny”. Proces ten jest ściśle związany z pracą w laboratorium, podczas której należy przestrzegać pewnych, ustalonych praktyką, zasad.

Liczba cyfr znaczących

Dokładność liczby przybliżonej określa liczba cyfr znaczących. Cyfrą znaczącą jest każda cyfra z wyjątkiem zer na początku liczby dziesiętnej. I tak na przykład:

• liczba 632,02 ma 5 cyfr znaczących,

• liczba 0,324 ma 3 cyfry znaczące,

• liczba 2,530 ma 4 cyfry znaczące.

Zera na końcu liczby są cyframi znaczącymi, należy o tym pamiętać przy zapisie na przykład liczby 8000. Liczbę tę odczytujemy jako liczbę z czterema cyframi znaczącymi Jeżeli chcemy zaznaczyć, że liczba ta ma mniejszą liczbę cyfr znaczących stosujemy zapis z mnożnikiem, 10ⁿ np.:

• liczba o zapisie 800∗10 ma 3 cyfry znaczące,

• liczba o zapisie 80∗10² ma 2 cyfry znaczące.

Zaokrąglanie liczb

Liczbę przybliżoną zaokrągla się tak, aby zawierała tyle cyfr znaczących, że tylko cyfra na ostatniej pozycji jest cyfrą niepewną, a błąd może wynosić nie więcej niż 5 jednostek następnego nieujawnionego miejsca, tzn.:

• jeśli pierwsza odrzucana cyfra jest mniejsza od 5 to zaokrąglamy „w dół” (43,284 ≈ 43,28),

• jeśli pierwsza odrzucana cyfra jest większa od 5 to zaokrąglamy „w górę” (32746 ≈ 3274∗10),

• jeśli pierwsza odrzucana cyfra jest równa 5 i następne cyfry po prawej stronie nie są zerami to zaokrąglamy „w górę” (536,252 ≈ 536,3),

• jeśli pierwsza odrzucana cyfra jest równa 5 a następne cyfry z prawej jej strony są zerami to zaokrąglamy „w górę” lub „w dół” tak aby ostatnia pozostawiona cyfra była cyfrą parzystą (738,250 ≈ 738,2).

W zapisie obliczeń wyników pomiarów wielkości fizycznych zaleca się zaokrąglanie i zapis z zastosowaniem przedrostków (kilo-, mega-, mili-, mikro- itp.) tak aby błędami obarczone były jedynie miejsca dziesiętne i setne. Przykładowo:

2453nF ≈ 2,45 μF;

43,284mA ≈ 43,3mA;

4250W = 4,25kW;

237465Ω ≈ 237,46kΩ.

Reguły te należy zachować przy zapisie wyników pomiarów. W metrologii wynik pomiaru przedstawia się za pomocą pary liczb przybliżonych: pierwsza liczba przybliżona jest wynikiem pomiaru, a druga charakteryzuje dokładność tej pierwszej. Obie liczby są zapisywane w nawiasie, a nawias jest połączony iloczynem z symbolem jednostki:

(Wynik pomiaru ± Błąd pomiaru) ∗ [Symbol jednostki].

(liczba przybliżona) (liczba przybliżona)

Należy przy tym pamiętać, że liczbę cyfr znaczących determinuje najmniejsza jednostka pomiarowa, wynikająca z rozdzielczości zastosowanego przyrządu.

Działania na liczbach przybliżonych wykonujemy z taką liczbą cyfr znaczących, aby w sposób istotny nie zwiększały błędu wyników obliczeń. Należy przy tym pamiętać, że nie wolno zwiększać liczby cyfr znaczących przez zmianę jednostek miar czy, na przykład, mnożenie przez liczbę π. Przyjmuje się, że przy dzieleniu, mnożeniu , potęgowaniu wystarczy zachować względny poziom dokładności taki sam jaki ma liczba najmniej dokładna. Względny poziom dokładności zapisu oznacza, że stosunek jednostki na najmniej znaczącej pozycji do całej liczby przybliżonej jest mniej więcej taki sam. Przy dodawaniu i odejmowaniu regułą może być pozostawienie w wyniku cyfry na tej pozycji, na której była cyfra w liczbie najmniej dokładnej.

Zapis wyniku i błędu pomiaru

W metrologii dokładność jest pojęciem o podstawowym znaczeniu i stanowi najważniejszą cechę wyników metrologicznych działań. Błędy pomiarów bezpośrednich są obliczane na podstawie wzorów właściwych dla używanych przyrządów pomiarowych.

W obliczeniach posługujemy się kalkulatorami, które dostarczają wyników obliczeń z dużą liczbą cyfr znaczących. Tymczasem wyjściowymi danymi do obliczeń są znormalizowane wartości błędów używanych przyrządów pomiarowych, w postaci ich klasy dokładności, którą podaje się za pomocą 1-ej lub 2-ch cyfr znaczących. Wskutek tego i w ostatecznej postaci obliczanego błędu pomiaru należy zostawić tylko pierwsze: 1-ą lub 2-ie cyfry znaczące.

Należy przy tym zwracać uwagę na następujące problemy:

• jeżeli uzyskany wynik zaczyna się cyframi 1 lub 2 to odrzucenie drugiej cyfry prowadzi do dużych błędów zaokrągleń co nie zawsze jest dopuszczalne,

• jeżeli natomiast otrzymany wynik zaczyna się np. od cyfry 9 to zachowanie drugiej cyfry (np. 0,94 zamiast 0,9 może być mylące ponieważ wyjściowe dane mogą nie gwarantować takiej dokładności.

Biorąc powyższe pod uwagę ustalono następujące zasady:

1. jeżeli otrzymana liczba zaczyna się od cyfry równej lub większej od
   to zachowywana jest w niej jedna cyfra znacząca,

2. jeżeli zaś otrzymana liczba zaczyna się od cyfry mniejszej od 3, tj. od 1 lub 2 to w niej zachowywane są dwie cyfry znaczące.

W zawiązku z tą zasadą ustalono wartości błędów (klasy dokładności) przyrządów pomiarowych w postaci liczb: 1,5; 2,5- gdzie zachowuje się dwie cyfry- lub liczb 0,5; 5- gdzie zachowuje się jedną cyfrę

Można więc sformułować następujące trzy zasady zaokrąglania obliczonej wartości błędu i uzyskanego w eksperymencie wyniku pomiaru:

1. Względny błąd wyniku podaje się za pomocą dwóch cyfr znaczących jeśli pierwszą z nich jest 1 lub 2 oraz jednej cyfry gdy pierwsza z nich jest większa lub równa 3.

2. Wynik pomiaru zaokrąglany jest do tej wartości dziesiętnej, którą kończy się zaokrąglenie bezwzględnego błędu pomiaru.

3. Zaokrąglenie przeprowadza się dopiero w końcowym wyniku, a wszystkie wcześniejsze obliczenia przeprowadza się z taką liczbą cyfr na jaką pozwala kalkulator. Przy obliczeniach ręcznych zachowuje się 1-ą lub 2-e cyfry zbędne.

Przykład Nr 1

Z woltomierza klasy 2,5 odczytano, na zakresie U_zakr = 300V, wskazywane napięcie
U_x = 267,5V. Obliczenia niepewności pomiaru przyprowadza się korzystając z wzorów () i ( ) w następującej kolejności:

najpierw obliczamy bezwzględny błąd pomiaru

,

następnie błąd względny pomiaru

.

Ponieważ pierwsza znacząca cyfra błędu bezwzględnego (7,5V) jest większa od 3, to wartość błędu powinna być zaokrąglona zgodnie z zasadami omówionymi wyżej, tzn. do 8V. W wartości błędu względnego (2,81)% pierwsza znacząca cyfra jest równa 2, a wiec jest mniejsza od 3 dlatego powinny być zachowane dwie cyfry znaczące, tzn. 2,8%.

Uzyskany wynik 267,5V zaokrąglamy do tej wartości dziesiętnej, którą kończy się zaokrąglenie błędu bezwzględnego, tj. do całkowitych wartości wolta . Tak więc odpowiedź eksperymentatora powinna brzmieć:

Pomiar wykonano z błędem względnym 2,8%.

Wartość mierzona
lub

.

Wynik pomiaru można też zapisać w postaci:
lub
.

Zapis
nie jest sensowny, choć praktykowany.

Przykład 2

Woltomierz 6
-cyfrowy o zakresie 10 V wskazał napięcie 11,65435 V (możliwość 20% przekroczenia zakresu). Obliczyć bezwzględny i względny błąd pomiaru oraz zapisać jego wynik z uwzględnieniem zasad zaokrąglania błędów i wyniku. Dokładność woltomierza jest podana w postaci: ±( 0,0015% of reading + 0,0004% of range).

Obliczamy bezwzględny i względny błąd pomiaru z liczbą cyfr znaczących na jaką pozwala kalkulator:

Ponieważ pierwsza znacząca cyfra błędu bezwzględnego jest mniejsza od 3 to w wartości błędu zachowujemy dwie cyfry znaczące, a więc przy stosowaniu zasad zaokrąglania stosowanych w matematyce otrzymujemy:

.

Również z tego samego powodu w wyrażeniu błędu względnego powinny być zachowane dwie znaczące cyfry, czyli

.

Uzyskany wynik pomiaru (11,65435 V) zaokrąglamy do tej wartości dziesiętnej, którą kończy się zaokrąglenie błędu bezwzględnego. W rozważanym przypadku wskazanie woltomierza pozostawiamy bez zmian.

Tak więc odpowiedź eksperymentatora powinna brzmieć: pomiar napięcia wykonano z błędem względnym γ = 0,0018%; napięcie mierzone ma wartość

lub

.

Przykład 3

Podręczny multimetr 4
-cyfrowy (50000 jednostek), którego znormalizowana dokładność ma postać:
±( 0,2% of reding +2 digits ) na zakresie 5,0000V wskazał napięcie U_x = 2,5642 V. Obliczyć bezwzględny
i względny błąd pomiaru oraz zapisać jego wynik z uwzględnieniem zasad zaokrąglania błędów i wyniku.

Najpierw ustalamy wagę najmniej znaczącej cyfry multimetru;w tym wypadku wynosi ono 0,1mV. Następnie obliczamy bezwzględny i względny błąd pomiaru z liczbą cyfr znaczących na jaką pozwala kalkulator

Ponieważ pierwsza znacząca cyfra błędu bezwzględnego jest większa od 3 to w wartości błędu zachowujemy jedną cyfrę znaczącą, a więc przy uwzględnieniu zasad zaokrąglania stosowanych w matematyce otrzymujemy:

W wartości błędu względnego pierwsza znacząca cyfra wynosi 2, a więc jest mniejsza od 3 i dlatego tu powinny być zachowane dwie cyfry znaczące. Stosując reguły zaokrąglania otrzymujemy, że błąd względny :

.

Uzyskany wynik pomiaru (2,5642V) zaokrąglamy do tej wartości dziesiętnej, którą kończy się zaokrąglenie błędu bezwzględnego. W rozważanym przypadku

Tak więc odpowiedź eksperymentatora powinna brzmieć: pomiar napięcia wykonano z błędem względnym
γ =0,21%;

napięcie mierzone ma wartość:
lub

.

4

J.R. Jasik 5.12. 2011 r.

---