Ciążenie powszechne (grawitacja)

• Wzajemne przyciąganie się ciał jest źródłem jednej z podstawowych sił w fizyce - sił przyciągania, które podlegają prawu powszechnego ciążenia (grawitacji). Prawo to podał Isaac Newton (1687; pierwsze obserwacje już od 1655)

Między każdymi dwoma punktami materialnymi działa siła wzajemnego przyciągania, wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów (m₁ i m₂) a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości r między nimi.

• W postaci wektorowej prawo to można zapisać jako:

to siła, z jaką punkt „2” działa na punkt „1”,
to promień wodzący, łączący punkt drugi z pierwszym.

Ciążenie powszechne - c.d.¹

• Współczynnik
to stała grawitacji, wyznaczona po raz pierwszy doświadczalnie w 1797 r. przez Henry`ego Cavendisha przy użycie tzw. wagi skręceń.

(długie, cienkie włókno kwarcowe, ołowiane kule)

• Pomiar Richardsa z 1898r

Ciążenie powszechne - c.d.²

• Ciężar ciała (inaczej: siła ciążenia) - siła przyciągania, jaka działa na dane ciało ze strony innego ciała. W pobliżu Ziemi będzie ona równa:

gdzie
oznacza tzw. przyspieszenie ziemskie równe:

to masa Ziemi,
to jej promień.

• Ciężar pozorny to wskazanie wagi sprężynowej, na której ważymy ciało (miara siły, która na niego działa, a którą ono z kolei działa na wagę). W przypadku ciał poruszających się z pewnym przyspieszeniem, ciężar pozorny to wypadkowa suma sił wynikających z przyciągania przez inną masę (np. Ziemię) i sił bezwładności, wynikających z ruchu z tym przyspieszeniem.

• Ciężar fizjologiczny jest proporcjonalny do siły, jaką działa ciecz na zakończeniu nerwów w półkolistych kanałach ucha wewnętrznego... (ile wysiłku trzeba włożyć w uniesienie np. głowy lub ramienia).

Ciążenie powszechne - c.d.³

• Siła grawitacji jest proporcjonalna do masy ciała jako miary liczebności materii (np. liczby nukleonów w jądrze) i moglibyśmy ją wobec tego nazwać masą grawitacyjną. Czy jest to ta sama masa, która występuje w zasadach dynamiki, a którą nazwijmy masą bezwładną?

Oznaczmy masę grawitacyjną ciała przez
a jego masę bezwładną przez
. Wtedy masa bezwładna, spadająca swobodnie w pobliżu Ziemi osiągnie przyspieszenie
:

Podobne równanie możemy napisać dla innego ciała o masie
. Dzieląc równania stronami, otrzymamy:

Czyli: jeśli wszystkie ciała spadają z jednakowym przyspieszeniem, to oba pojęcia mas są równoważne (obie masy są równe).

Ciążenie powszechne - c.d.⁴

• Próby zbadania zależności między masą bewładną a grawitacyjną:

• Newton stwierdził równość przyspieszeń z dokładnością do 1/1000;

• 1901 r. Roland Eötvös stwierdził to z dokładnością do 10⁸;

• 1964 r. R. Dicke (University of Princeton, USA): 10³⁰⁰;

• Wyniki tych pomiarów sugerują, że dla wszystkich substancji masa grawitacyjna jest równa masie bezwładnej -> zasada równoważności - podstawowe prawo przyrody, opierające się na wynikach doświadczeń.

• Konsekwencją tej zasady jest niemożność rozróżnienia przyspieszenia grawitacyjnego od przyspieszenia np. całego laboratorium, w którym odbywałyby się pomiary - punkt wyjścia do ogólnej teorii względności Einsteina.

• Również kwestia wykładnika w potędze odległości (R^-2) jest zagadnieniem, które stanowi stały przedmiot pomiarów...

Ciążenie powszechne - c.d.⁵

• Zagadnienie obliczenia sił wzajemnego przyciągania dwóch ciał o dowolnych rozmiarach i kształtach (o dowolnym rozkładzie masy):

• „rozbijamy” ciała na wielką liczbę cząsteczek tak małych, aby można je było potraktować jako punkty materialne;

• sumujemy (wektorowo!) wszystkie siły przyciągania, działające na dany punkt jednego ciała ze strony punktów drugiego ciała;

• sumujemy siły działające na każdy punkt danego ciała aby otrzymać wypadkową siłę, działającą na całe ciało.

W przypadku ciał o ciągłym rozkładzie masy, należy zastosować oczywiście całkowanie zamiast sumowania.

• Newton w swych rozważaniach zakładał, że Ziemię można potraktować tak, jakby cała masa była skupiona w jej środku, ale udowodnił to dopiero 20 lat później (stąd rozbieżności w podawanych datach odkrycia prawa powszechnego ciążenia i stąd opracowanie przez niego podstaw rachunku całkowego!).

Ciążenie powszechne - c.d.⁶

• Pole grawitacyjne to próba opisu wzajemnego oddziaływania ciał (na wskutek istnienia sił wzajemnego przyciągania) poprzez pewną wielkość wektorową, „niezależną” od ciała, które to pole wytwarza. Jest to inaczej przyspieszenie grawitacyjne w funkcji położenia. Można wtedy obliczyć siłę
, działającą na daną masę
, jako:

gdzie
jest natężeniem pola grawitacyjnego, charakteryzującym siły pola grawitacyjnego.

• Pole nazywamy jednorodnym, jeśli natężenie we wszystkich jego punktach jest jednakowe.

• Pole nazywamy centralnym, jeżeli we wszystkich jego punktach wektory natężenia skierowane są wzdłuż prostych, przecinających się w jednym punkcie, nieruchomym względem dowolnego układu inercjalnego (punkt ten nazywamy środkiem sił).

• Pole centralne nazywamy kulisto-symetrycznym, jeśli liczbowa wartość wektora natężenia pola zależy tylko od odległości od środka sił.

Ciążenie powszechne - c.d.⁷

• Zasada superpozycji pól (nakładania się pól): przy nałożeniu się kilku pól (np. ciążenia), natężenie pola wypadkowego równa się sumie wektorowej natężeń wszystkich tych pól.

• Pola charakteryzuje się również pewną wielkością skalarną, zwaną potencjałem pola. Równy jest on stosunkowi energii potencjalnej punktu materialnego do jego masy:

W przypadku pola grawitacyjnego pojedynczego punktu materialnego o masie
, potencjał tego pola wyraża się wzorem:

• Związek pomiędzy natężeniem pola i jego potencjałem:

Ciążenie powszechne - c.d.⁷

• Pole grawitacyjne wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej kuli:

- pole grawitacyjne na zewnątrz pustej czaszy kulistej (bądź pełnej kuli) o masie
i promieniu
:

- pole wewnątrz tejże czaszy:

• pole wewnątrz jednorodnej kuli o gęstości
  :

Przykład: pole grawitacyjne Ziemi (rys. po prawej).

Prawa Keplera

• Nauki Arystotelesa i Ptolemeusza: wszystkie planety i gwiazdy poruszają się wokół Ziemi po skomplikowanych torach (będących superpozycjami ruchów po okręgach);

• Mikołaj Kopernik (1540): planety krążą wokół Słońca, Księżyc wokół Ziemi.

• Giordano Bruno - zwolennik teorii heliocentrycznej Kopernika -> stos (1600).

• Galileusz (również przełom XVI i XVII wieku): odwołał publicznie swoje teorie w obawie przed stosem.

• Johannes Kepler (korzystając z obserwacji Tycho de Brache) podał wyprowadzone empirycznie prawa ruchu planet - prawa te można wyprowadzić z prawa powszechnego ciążenia Newtona.

Prawa Keplera - c.d.¹

• Pierwsze prawo Keplera:

Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.

• Drugie prawo Keplera (prawo równych pól):

Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu.

• Trzecie prawo Keplera:

Sześciany półosi wielkich orbit jakichkolwiek dwóch planet maja się tak do siebie, jak kwadraty ich okresów obiegu:

Prawa Keplera - c.d.²

• Rozpatrzmy ruch ciała w polu sił centralnych:

Moment siły
względem środka pola jest równy zeru:

,

dlatego moment pędu tego ciała względem środka pola jest zachowany:

Stąd z kolei wynika, że w centralnym polu sił tor ruchu tego ciała jest krzywą płaską (płaszczyzna, zawierająca wektory położenia
i prędkości
nie zmienia swej orientacji względem środka pola).

Prawa Keplera - c.d.³

• Skoro krzywa ruchu jest krzywą płaską, położenie punktu w przestrzeni określimy we współrzędnych biegunowych
i
, a prędkość rozłożymy na prostopadłe składowe: radialną
i transwersalną (poprzeczną)
:

gdzie:
i

Moment pędu układu zależy tylko od prędkości poprzecznej:

• Wartość momentu pędu jest równa:

Prawa Keplera - c.d.⁴

• Promień wodzący
zakreśla przy swoim obrocie o mały kąt
w czasie
wycinek kołowy, którego pole
jest równe:

stąd wielkość
:

nazywamy prędkością polową (wycinkową).

• Biorąc pod uwagę powyższą definicję i zasadę zachowania momentu pędu, otrzymujemy:

przy ruchu ciała w polu siły centralnej jego prędkość polowa (rozumiana jako pole zakreślane przez promień wodzący w jednostce czasu) jest stała. (II prawo Keplera)

Prawa Keplera - c.d.⁵

• Aby wyprowadzić I i III prawo Keplera, skorzystajmy z zasady zachowania momentu pędu (była) i zasady zachowania energii (będzie...):

skąd otrzymujemy:

a ponieważ:

więc ostatecznie:

Prawa Keplera - c.d.⁶

• Aby rozwiązać podane równanie trajektorii ruchu, musimy podstawić konkretne wyrażenie na energię potencjalną, która w przypadku pola grawitacyjnego ma postać:

gdzie:

• Ostateczne rozwiązanie można przedstawić w postaci:

gdzie:

i

• Tor ruchu (orbita), jest więc krzywą drugiego stopnia, przy czym
jest jej parametrem ogniskowym a
- mimośrodem;

Prawa Keplera - c.d.⁷

• W zależności od tego, jaka jest energia całkowita
ciała, możliwe są następujące rozwiązania równania toru (trajektorii):

• dla E<0 (czyli e<1) jest to orbita eliptyczna;

• dla E=0 (e=1) jest to orbita paraboliczna;

• dla E>0 (e>1) jest to orbita hiperboliczna;

• dla K=0 (e=1, p=0) jest to tor prostoliniowy, przechodzący przez środek pola.

• Dla planet, poruszających się w polu grawitacyjnym Słońca:

a więc torami ruchu planet są elipsy (I prawo Keplera).

Wtedy również można wyprowadzić wzór na okres
obiegu planety po tej elipsie:

gdzie
jest dużą osią elipsy. Stąd otrzymujemy III prawo Keplera.

Prędkości kosmiczne

• Pierwszą prędkością kosmiczną (prędkością kołową) dla Ziemi nazywamy prędkość, którą powinien mieć satelita Ziemi, obiegający ją po orbicie kołowej.

Znajdziemy ją z zasady zachowania energii:

- całkowita energia satelity na orbicie kołowej (e=0, p=r):

- energia kinetyczna satelity:

- energia potencjalna satelity:

(
) a stąd:

Przy powierzchni Ziemi:

Prędkości kosmiczne - c.d.

• Drugą prędkością kosmiczną (prędkością paraboliczną) dla Ziemi nazywamy prędkość, którą trzeba nadać ciału, aby jego orbita w polu grawitacyjnym stała się paraboliczna - to znaczy, aby ciało mogło pokonać przyciąganie Ziemie i stać się satelitą Słońca (lot na inne planety).

Znajdziemy ją z zasady zachowania energii:

- całkowita energia satelity na orbicie kołowej (e=1):

- energia kinetyczna i potencjalna: jak poprzednio,

a stąd:

Przy powierzchni Ziemi:

(Podczas obliczeń nie uwzględniliśmy oporów powietrza...).

19

m₁

m₂

r₁₂

F₁₂

---