LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI

Ćwiczenie 3

Badanie stabilności liniowego układu regulacji

Badany układ

Podstawowy schemat układu regulacji jest przedstawiony na rys. 1.

Rys. 1

u(t) - sygnał wejściowy ( wymuszenie ) układu

e(t) - uchyb układu

y(t) - sygnał wyjściowy układu

H(s) - transmitancja układu otwartego

Transmitancję układu zamkniętego W(s) wyznaczamy ze wzoru:

Charakterystyki czasowe

Wnioski dotyczące właściwości układu możemy uzyskać badając charakterystyki czasowe układu. Najczęściej używaną charakterystyką czasową jest odpowiedź skokowa, czyli odpowiedź układu na wymuszenie skokiem jednostkowym ( rys. 2 ). Najważniejszymi parametrami odpowiedzi skokowej, na podstawie których wnioskujemy o jakości układu regulacji są: uchyb w stanie ustalonym, czas regulacji i współczynnik przeregulowania.

Uchyb w stanie ustalonym (uchyb ustalony) jest to różnica pomiędzy wartością wymuszenia a wartością sygnału wyjściowego po zakończeniu procesu przejściowego. Dla odpowiedzi na wymuszenie skokiem jednostkowym:

e_ust = 1 - y_ust.

Czas regulacji jest to czas, po którym sygnał wyjściowy nie różni się od wartości ustalonej więcej niż 5%.

Współczynnik przeregulowania obliczamy ze wzoru:

Rys. 2

Układy regulacji dzielimy na układy statyczne i astatyczne.

Układem statycznym nazywamy układ, w którym wartość uchybu w stanie ustalonym przy wymuszeniu skokowym jest różna od zera. Jest to możliwe, gdy transmitancja układu otwartego nie posiada biegunów zerowych (współczynnik a₀ wielomianu mianownika transmitancji nie równa się zeru).

Układem astatycznym nazywamy natomiast układ, w którym uchyb statyczny (uchyb ustalony przy wymuszeniu skokowym) jest równy zeru. To oznacza, że transmitancja układu otwartego ma biegun w zerze (współczynnik a₀ = 0) .

Modelowanie układu

Do modelowania układu wykorzystujemy interaktywne środowisko graficzne

SIMULINK z programu MATLAB. Model użyty do badania własności układu przedstawiony jest na rysunku 3.

Rys. 3

Budując model należy pamiętać o wprowadzeniu parametrów bloków: Step (generator skoku jednostkowego) i Transfer Fcn (model układu opisanego transmitancją).

Bloki Constant służą do narysowania linii pomocniczych ułatwiających zmierzenie czasu regulacji. Należy tu przypomnieć, że wartość ustalona w układzie statycznym

, gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia układu otwartego. Dla układu astatycznego
.

Ustawienie parametrów symulacji

Przed rozpoczęciem symulacji należy ustawić parametry symulacji (Simulation / Configuration parameters) (sposób ustawienia opisano w instrukcji ćwiczenia 6).

Pomiar parametrów odpowiedzi skokowej

Wykresy odpowiedzi układu uzyskane przy użyciu bloku Scope mają charakter pomocniczy. Aby pomierzyć parametry odpowiedzi skokowej należy wykonać wykres poleceniem plot, wykorzystując wprowadzone do przestrzeni MATLABA w trakcie symulacji wartości macierzy wyjściowej i wektora czasu (yout i tout - jeśli nie zmieniono wstępnych ustawień nazw). Zatem wykres otrzymuje się wykonując polecenie plot(tout,yout). Aby pomierzyć wartości w poszczególnych punktach wykresu należy wykorzystać polecenie ginput.

Sposób postępowania jest następujący:

1. nazwa=ginput nacisnąć Enter;

(nazwa - przyjęta przez użytkownika nazwa zmiennej, pod którą

zostaną zapamiętane współrzędne zaznaczonych punktów wykresu)

2. na wykresie pojawia się znacznik w postaci przecinających się linii;

3. zaznaczyć lewym przyciskiem myszy punkty wykresu;

4. nacisnąć Enter;

5. efekt: zostaje wyświetlona macierz nazwa, której wiersze zawierają

współrzędne zaznaczonych punktów.

Zadanie domowe

a/ Studenta przystępującego do ćwiczenia laboratoryjnego obowiązuje znajomość

pojęć:

- układu statycznego i astatycznego,

- parametrów odpowiedzi skokowej,

- stabilności układu,

- granicznego współczynnika wzmocnienia,

- kryteriów stabilności.

b/ Studenta obowiazuje znajomość poleceń pakietu MATLAB/SIMULINK

wykorzystywanych w ćwiczeniu

Zadanie laboratoryjne

1. Układ statyczny

Transmitancja układu otwartego ma postać:

1. Należy zbudować model badanego układu, jako wymuszenie

zastosować generator skoku jednostkowego.

2. Zmieniając wartość k współczynnika wzmocnienia układu otwartego należy znaleźć współczynnik wzmocnienia granicznego k_gr. Jest to wartość wzmocnienia, przy której w odpowiedzi skokowej układu zamkniętego występują niegasnące drgania.

3. Zmieniając k od ok. 0.1k_gr do k_gr zmierzyć:

- wartość ustaloną sygnału wyjściowego y_ust,

- wartość maksymalną sygnału wyjściowego y_max,

- czas regulacji t_r.

4. Dla wartości k z punktu 1.3 wyznaczyć bieguny transmitancji

układu zamkniętego.

2. Układ astatyczny

Transmitancja układu otwartego ma postać:

2.1 Należy zbudować model badanego układu. Jako wymuszenie

zastosować generator skoku jednostkowego.

1. Zmieniając wartość współczynnika wzmocnienia k układu otwartego należy znaleźć współczynnik wzmocnienia granicznego k_gr.

2. Zmieniając k od ok. 0.1k_gr do k_gr zmierzyć:

- czas regulacji t_r,

- wartość maksymalną sygnału wyjściowego y_max.

2.4 Zmienić wymuszenie na liniowo rosnące. Zmierzyć uchyb

ustalony dla wartości k z punktu 2.3.

Uwaga: W celu uzyskania wymuszenia liniowo rosnącego należy zastosować

blok Ramp z biblioteki Sources. Aby zmierzyć uchyb ustalony, blok Out

lub To Workspace należy podłączyć za węzeł sumacyjny.

1. Dla wartości k z punktu 2.3 wyznaczyć bieguny transmitancji

układu zamkniętego.

Sprawozdanie

W sprawozdaniu należy zamieścić:

1. Dane.

2. Schemat modelu układu.

3. Dla układu statycznego:

3.1 wartość granicznego współczynnika wzmocnienia,

3.2 wykres odpowiedzi skokowej układu dla wybranej wartości k

(na wykresie należy zaznaczyć parametry odpowiedzi skokowej),

3.3 tabelę wyników ( y_ust, e_ust, t_r,
),

3.4 zależności e_ust(k), t_r(k),
(k) na wspólnym wykresie,

3.5 wykres położenia biegunów transmitancji układu zamkniętego.

4. Dla układu astatycznego:

4.1 wartość granicznego współczynnika wzmocnienia,

4.2 wykres odpowiedzi skokowej układu dla wybranej wartości k,

4.3 tabelę wyników (t_r,
, e_ust),

4.4 zależności t_r(k),
(k), e_ust(k) na wspólnym wykresie,

4.5 wykres położenia biegunów transmitancji układu zamkniętego.

5. Omówić wpływ współczynnika wzmocnienia układu otwartego na parametry charakterystyk czasowych, oraz związek pomiędzy czasem

regulacji, przeregulowaniem, uchybem ustalonym a położeniem biegunów

układu zamkniętego.

1

y(t)

e(t)

u(t)

H(s

---