Elementy logiki matematycznej

 

Zdaniem w matematyce nazywamy takie zdanie w sensie gramatycznym, o którym można jednoznacznie orzec, czy jest prawdziwe czy fałszywe. Wartość logiczną zdania prawdziwego oznaczamy przez 1, zdanie fałszywe ma wartość logiczną 0. Zdania na ogół oznaczamy literami: p, q, r,….

Funkcją zdaniową (formą zdaniową) nazywamy wyrażenie, które po wstawieniu w miejsce zawierające zmienną x dowolnego elementu należącego do dziedziny staje się zdaniem logicznym.

 

Negacja (zaprzeczenie) zdania p - zdanie „nieprawda, że p” oznaczamy: 

 

p	~ p
1 0	0 1

 

 

Koniunkcja zdań p i q - zdanie „p i q” oznaczamy:

Alternatywa zdań p i q - zdanie „p lub q” oznaczamy

 

Implikacja (wynikanie) zdań p i q - zdanie „jeżeli p, to q” oznaczamy:

Równoważność zdań p i q - zdanie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q” oznaczamy:

 

PRAWA RACHUNKU ZDAŃ - TAUTOLOGIE

 

Zdanie logiczne nazywamy tautologia, jeśli jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zmiennych zdaniowych w nim występujących.

 

KWANTYFIKATORY

Kwantyfikator ogólny

- zwrot „dla każdego x należącego do….”

 

Kwantyfikator szczegółowy

 - zwrot „istnieje takie x należące do…”

Prawa de'Morgana dla kwantyfikatorów:

 

SYMBOLIKA

DZIAŁANIA NA ZBIORACH

Suma zbiorów

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów należących do zbioru A lub do zbioru B. Sumę zbiorów oznaczamy symbolem A B

Różnica zbiorów

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z elementów należących do zbioru A i nie należących do zbioru B. Różnicę zbiorów zapisujemy w postaci A \ B

Iloczyn zbiorów

Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów należących jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Iloczyn zbiorów zapisujemy symbolem A B

Dopełnienie zbioru do przestrzeni

Jeżeli jest ustalonym zbiorem i A jest podzbiorem właściwym zbioru to różnicę zbiorów i A nazywamy dopełnieniem zbioru A względem zbioru . Dopełnienie zbioru A oznacza się symbolem A'.

A A' =       A' = \ A