Met. Legendre'a- każdy z kątów trojk sfer jest o 1/3E wiekszy od odpowiedniego kąta trojk płaskiego o tych samych dł boków: A-A'=1/3E+(S/R)⁴; B-B'=1/3E+(S/R)⁴; C-C'=1/3E+(S/R)⁴. Po wyznaczeniu A,B i C oraz E wyznaczamy A', B', C', a następnie obliczamy długości boków z tw. sinusów: a/sinA'=b/sinB'=c/sinC'.

Met additamentów liniowych: w tej met zmieniamy dł boków. a³/6R²=δa, b³/6R²=δb, c³/6R²=δc.

Met trygon sferycznej: Jest to met ścisła. Opiera się na rozw trojk elipsoidalnego: E=F/Q_s*(1+m²/8*Q_s); Q_s=√M*N=R; gdzie: Q_s-śr geom promienia kuli wpisanego w elipsoide.

Ae-A'=E/3+Ek/60*(m²-a²)+E/12*(K_A-K)/K+[(S/R)⁶]; Be-B'=E/3+Ek/60*(m²-b²)+E/12*(K_B-K)/K+[(S/R)⁶; Ce-C'=E/3+Ek/60*(m²-c²)+E/12*(K_C-K)/K+[(S/R)⁶. gdzie: k-sr wart krzywizny w pk A,B,C.; K=1/3(K_A+ K_B+ K_C); m=1/3(a²+b²+c²)^1/2 ; K=1/Q²; Bs=1/3(B_A+B_B+B_C) B=szer geodezyjna.

GEOM ELIPSOIDY:

Przekroje normalne elipsoidy: Jeżeli w dowolnym pk na pow elipsoidy poprow prostą norm (prostop do płaszczyzny stycznej do pow zakrzywionej) to przez tą prostą normalną możemy poprowadzić nieskończoną ilość płaszczyzn. Płaszczyzny zaw normalne to płaszczyzny normalne, a przekrój zawierający normalną to przekrój normalny. Przekroje mają krzywizne: K=1/R_i². Występują dwa charakterystyczne przekroje, mianowicie są to dwa głowne przekroje normalne, kt są usytuowane wzglądem siebie pod kątem prostym (tzw przekroje o najw-południkowy i najmniejszej- poprzeczny krzywiźnie). Krzywizna przekroju poludnikowego:M=[a(1-e²)]/[(1-e²sin²B)^3/2]; krzyw przekr poprzeczn: M=r/cosB=a/[(1-e²sin²B)^3/2]; gdzie r-promień równoleżnika pk P. K=1/M*N

Długość łuku południka: Normalne nie są skośne wzgl siebie, gdyż leżą na jednej płaszczyźnie (pł południka). M₁=P₁O₁ ; M₂=P₂O₂; ds=MdB; S_1-i=a(Bi-B₁)*{1-[1/4+3/4cos(2Bsr)e²]}; Bśr=(B₁+B₂)/2;

S_1-i=1/6*∆B(M₁+4Mśr+Mi) ; Mśr=[a/1-e²)]/[1-e²sin²Bśr]^3/2; Jeżeli ∆B<1^o to S=M∆B (łuk eliptyczny przyjmujemy jako łuk kulisty. Długość łuku równoleżnika: P₁O_N=P₂O_N=N; B₁=B₂; L=r*∆L; r=NcosB₁= NcosB₂; L= NcosB∆L; L=[a*cosB]/[(1-e²sin²B)^1/2]* ∆L;Długość łuku dowolnego przekroju: t₁=tgB₁; δ=S_1-2/N₁*[1+(n₁²+ S_1-2²cos²A_1-2)/6N₁; S_1-2=N₁δ*(1-1/6η₁²δ²cos²A_1-2); η=e²tg²B₁; Jeżeli δ=1^o, S_1-2~100km; A_1-2=0^o, B~52^o .Wyznaczenie stałych elipsoidy a,e: S=a(1-e²)całka[(dB)/M->f(a,e)]=M*∆B.

Snellius zaprpopnował wyznaczenie S poprzez sieć trójk wzdłuż południka. L₁≠L_K; L₁=L_K'; B_K'=B_k+L²/Q²*tgB_k; Q=√MN; ∆B=B_k'-B₁; układ równań: i(X_i, Y_i) oraz Y=0; S=∑∆S.

Dopiero pomiary satelitarne dały własciwą elipsoidę GRS 1980 a=6378137±3m, f=298.257^-2±5*10^-6

LINIA GEODEZYJNA: Ortodroma- krzywa łącząca dwa najbliższe pkty położone na pow zakrzywionej (elipsoida). W każdym pkcie krzywej istnieje tylko jedna styczna, a prosta prostop do stycznej nazywa się normalną. Wszystkie normalne leżą w płaszczyźnie normalnej, prostopadłej do stycznej. Graniczne poł tej płaszczyzny to płaszczyzna oskulacyjna (ściśle styczna). W płaszczyźnie ściśle stycznej wśród wielu normalnych dla pk A jest normalna głowna- jest ona prostopadla do stycznej w pkcie A. Normalna prostop do stycznej i do normalnej głównej nazywa sie binormalna. Jeśli tym wektorom nadamy wektory jednostkowe to utworzymy trojscian Freneta.

Przez pkt A na pewnej regularnej pow przechodzi niesk wiele krzywych i każda z nich posiada tylko jedną styczną. Styczne te tworzą tylko jedną płaszczyzne styczną do pow w tym pk. Prosta prostop do pow w tym pk nazywa sie normalną do pow. Więc każdy pk na pow ma tylko jedną normalną, za wyjątkiem pktów osobliwych.

Jeśli na danej pow istnieje linia przestrzenna o tej własności, że w każdym jej pkcie normalna główna tej krzywej jest zarazem normalną do pow w tym pkcie, to krzywą tą nazywamy linią geodezyjną na tej pow.

Linia geod jest to krzywa na pow, po kt poruszałby sie pkt bez jakijkolwiek siły, gdyby miał się poruszać.

Równanie linii geod: F(x,y,z)=x²+y²+f(x)=0; x=r cosL; y=r sinL; podst równanie linii geod: x*(d²y/ds²)-y*(d²x/ds²)=0;. TW Clairauta: Jeśli pkt porusza się po linii geod na pow obrotowej, to iloczyn promienia równoleżnika tego pktu (odl od osi obrotu) raz sin azymutu jest wielkością stałą: cosψ₁sinA₁=cosψ₂sinA₂=...=k

Met. Legendre'a- każdy z kątów trojk sfer jest o 1/3E wiekszy od odpowiedniego kąta trojk płaskiego o tych samych dł boków: A-A'=1/3E+(S/R)⁴; B-B'=1/3E+(S/R)⁴; C-C'=1/3E+(S/R)⁴. Po wyznaczeniu A,B i C oraz E wyznaczamy A', B', C', a następnie obliczamy długości boków z tw. sinusów: a/sinA'=b/sinB'=c/sinC'.

Met additamentów liniowych: w tej met zmieniamy dł boków. a³/6R²=δa, b³/6R²=δb, c³/6R²=δc.

Met trygon sferycznej: Jest to met ścisła. Opiera się na rozw trojk elipsoidalnego: E=F/Q_s*(1+m²/8*Q_s); Q_s=√M*N=R; gdzie: Q_s-śr geom promienia kuli wpisanego w elipsoide.

Ae-A'=E/3+Ek/60*(m²-a²)+E/12*(K_A-K)/K+[(S/R)⁶]; Be-B'=E/3+Ek/60*(m²-b²)+E/12*(K_B-K)/K+[(S/R)⁶; Ce-C'=E/3+Ek/60*(m²-c²)+E/12*(K_C-K)/K+[(S/R)⁶. gdzie: k-sr wart krzywizny w pk A,B,C.; K=1/3(K_A+ K_B+ K_C); m=1/3(a²+b²+c²)^1/2 ; K=1/Q²; Bs=1/3(B_A+B_B+B_C) B=szer geodezyjna.

GEOM ELIPSOIDY:

Przekroje normalne elipsoidy: Jeżeli w dowolnym pk na pow elipsoidy poprow prostą norm (prostop do płaszczyzny stycznej do pow zakrzywionej) to przez tą prostą normalną możemy poprowadzić nieskończoną ilość płaszczyzn. Płaszczyzny zaw normalne to płaszczyzny normalne, a przekrój zawierający normalną to przekrój normalny. Przekroje mają krzywizne: K=1/R_i². Występują dwa charakterystyczne przekroje, mianowicie są to dwa głowne przekroje normalne, kt są usytuowane wzglądem siebie pod kątem prostym (tzw przekroje o najw-południkowy i najmniejszej- poprzeczny krzywiźnie). Krzywizna przekroju poludnikowego:M=[a(1-e²)]/[(1-e²sin²B)^3/2]; krzyw przekr poprzeczn: M=r/cosB=a/[(1-e²sin²B)^3/2]; gdzie r-promień równoleżnika pk P. K=1/M*N

Długość łuku południka: Normalne nie są skośne wzgl siebie, gdyż leżą na jednej płaszczyźnie (pł południka). M₁=P₁O₁ ; M₂=P₂O₂; ds=MdB; S_1-i=a(Bi-B₁)*{1-[1/4+3/4cos(2Bsr)e²]}; Bśr=(B₁+B₂)/2;

S_1-i=1/6*∆B(M₁+4Mśr+Mi) ; Mśr=[a/1-e²)]/[1-e²sin²Bśr]^3/2; Jeżeli ∆B<1^o to S=M∆B (łuk eliptyczny przyjmujemy jako łuk kulisty.

Długość łuku równoleżnika: P₁O_N=P₂O_N=N; B₁=B₂; L=r*∆L; r=NcosB₁= NcosB₂; L= NcosB∆L;

L=[a*cosB]/[(1-e²sin²B)^1/2]* ∆L;

Długość łuku dowolnego: t₁=tgB₁; δ=S_1-2/N₁*[1+(n₁²+ S_1-2²cos²A_1-2)/6N₁; S_1-2=N₁δ*(1-1/6η₁²δ²cos²A_1-2);

Jeżeli δ=1^o, S_1-2~100km; A_1-2=0^o, B~52^o

Wyznaczenie stałych elipsoidy a,e: S=a(1-e²)całka[(dB)/M->f(a,e)]=M*∆B.

Snellius zaprpopnował wyznaczenie S poprzez sieć trójk wzdłuż południka. L₁≠L_K; L₁=L_K'; B_K'=B_k+L²/Q²*tgB_k; Q=√MN; ∆B=B_k'-B₁; układ równań: i(X_i, Y_i) oraz Y=0; S=∑∆S.

Dopiero pomiary satelitarne dały własniwą elipsoidę GRS 1980 a=6378137±3m, f=298.257^-2±5*10^-6

LINIA GEODEZYJNA: Ortodroma- krzywa łącząca dwa najbliższe pkty położone na pow zakrzywionej (elipsoida). W każdym pkcie krzywej istnieje tylko jedna styczna, a prosta prostop do stycznej nazywa się normalną. Wszystkie normalne leżą w płaszczyźnie normalnej, prostopadłej do stycznej. Graniczne poł tej płaszczyzny to płaszczyzna oskulacyjna (ściśle styczna). W płaszczyźnie ściśle stycznej wśród wielu normalnych dla pk A jest normalna głowna- jest ona prostopadla do stycznej w pkcie A. Normalna prostop do stycznej i do normalnej głównej nazywa sie binormalna. Jeśli tym wektorom nadamy wektory jednostkowe to utworzymy trojscian Freneta.

Przez pkt A na pewnej regularnej pow przechodzi niesk wiele krzywych i każda z nich posiada tylko jedną styczną. Styczne te tworzą tylko jedną płaszczyzne styczną do pow w tym pk. Prosta prostop do pow w tym pk nazywa sie normalną do pow. Więc każdy pk na pow ma tylko jedną normalną, za wyjątkiem pktów osobliwych.

Jeśli na danej pow istnieje linia przestrzenna o tej własności, że w każdym jej pkcie normalna główna tej krzywej jest zarazem normalną do pow w tym pkcie, to krzywą tą nazywamy linią geodezyjną na tej pow.

Linia geod jest to krzywa na pow, po kt poruszałby sie pkt bez jakijkolwiek siły, gdyby miał się poruszać.

Równanie linii geod: F(x,y,z)=x²+y²+f(x)=0; x=r cosL; y=r sinL; podst równanie linii geod: x*(d²y/ds²)-y*(d²x/ds²)=0;. TW Clairauta: Jeśli pkt porusza się po linii geod na pow obrotowej, to iloczyn promienia równoleżnika tego pktu (odl od osi obrotu) raz sin azymutu jest wielkością stałą: cosψ₁sinA₁=cosψ₂sinA₂=...=k

---