Eksces sferyczny (nadmiar,przewyżka sferyczna)-nadwyżka sumy kątów trójkąta sferycznego ponad 180º. Eksces spełnia nierówność: 0<ε<2π. Wzór: ε=P/R^2. Wartość ekscesu jest potrzebna do kontroli zamknięć trójkątów w sieciach triangulacyjnych Linia geodezyjna (ortodroma powierz)- krzywa (na elipsoidzie krzywa przestrzenna) mająca tę własność, że normalna w każdym punkcie tej krzywej tzw. Normalna główna, jest jednocześnie normalną do powierzchni w tym punkcie. W ujęciu dynamicznym, linia geodezyjna jest to krzywa na powierzchni, po której poruszałby się punkt bez działania siły, gdyby musiał poruszać się po powierzchni. Wzory opisujące linię geodezyjna na powierzchni elipsoidy: r sin A=const. i a cos ψ sin A=const. Gdy punkt porusza się po linii geodezyjnej na powierzchni elipsoidy obrotowej, iloczyn odległości punktu od osi obrotu (r) i sinusa azymutu (sin A) jest wielkością stałą, a więc zmianie promienia równoleżnika (r) towarzyszy taka zmiana azymutu A ze r sina=const.
Odległość sferyczna-odległość miedzy dwoma punktami mierzona po łuku koła wielkiego na powierzchni kuli. Jeżeli odległość miedzy tymi punktami nie przekracza połowy obwodu koła wielkiego, jest to najkrótsza odległość punktów Odległość sferyczna obu biegunów to π
Przekroje główne-przekroje, których dwie płaszczyzny normalne zawieraja kąt prosty, a z otrzymanych krzywych na powierzchni, jedna ma krzywizne najewieksza druga zas najmniejsza. Jednym przekrojem głównym jest przekrój południka, drugim-przekrój płaszczyzną prostopadłą do tego południka. Krzywizna pierwszego jest najwieksza (tzn. promien krzywizny najmniejszy), drugiego najmniejsza (promien krzywizny największy) Reguła Nepera-dla trójkąta sferycznego prostokątnego-cosinus dowolnego elementu pieciokąta równa sie iloczynowi cotangensów elementów przyległych lub iloczynowi sinusów elementów przeciwległych
Trójkąt sferyczny-wyznaczaja go kąty wierzchołkowe A,B,C i boki a,b,c (odcinki kół wielkich) Długość boku trójkąta nie może być wieksza od połowy obwodu koła wielkiego, a wielkość kąta od π. Suma kątów trójkąta sferycznego zpełnia nierówność π<A+B+C<2π Właściwości: 1)naprzeciw większego boku lezy wiekszy kąt i na odwrót 2) naprzeciw równych boków leza rowne kąty 3) suma dwóch boków jest zawsze wieksza od boku trzeciego, a suma trzech katów jest zawsze wieksza od 180º 4)jeżeli suma dwoch bokow w trojkacie sferycznym jest wieksza, rowna, mniejsza od 180º to takze suma przeciwległych kątów jest wieksza, rowna lub mniejsza od 180º
Wzory cosinusowe: 1)cos a=cos b cos c+ sin b sin c sin A 2) cos b=cos c cos a+sin c sin a sin B 3)cos c=cos a cos b+sin a sin b sin C sinusowy: sin a/sin A=sin b/sin B=sin c/sin C=const.
Układy współrzędnych- 1)Współrzędne prostokątne (kartezjańskie) x,y,z określają położenie punktów na kuli w układzie osi współrzędnych przyjmując początek układu współrzędnych w środku kuli O i osiach x,y w płaszczyźn równika 2)współrzędne geograficzne-φ i λ: Szerokość geograficzna φ punktu P na kuli o promieniu R jest to kąt między normalną n do powierzchni kuli w tym punkcie i płaszczyzną równika. Kąt ten mierzy się od równika do pkt P. Dodatni na północ od równika, ujemny na południe Długość geograficzna λ pktu P na kuli o promieniu R to kąt dwuścienny między płaszczyzną południka zerowego a płaszczyzną południka pktu P 3)współrz azymutalne α i δ-odnoszą się do obranego nowego punktu początkowego(bieguna) od którego począwszy wyznacza się obie współrzędne. Jeśli mamy pkt początkowy to zgodnie z ruchem wskazówek zegara wyznacza się współrzędną azymutalna α pkt P (kąt dwuścienny) Odległością sferyczna punktu P jest druga współrzędna δ 4) współrzędne sferyczne prostokątne ξ(odcięta sferyczna) i η(rzędna) są sferycznymi odległościami pktu P od równika ξ, od południka obranego η 4)współrzędne geodezyjne B i L: Szerokość geodezyjna B- to kąt między płaszczyzną równika i normalną n do powierzchni elipsoidy w putcie P Długość geodezyjna L-kąt dwuścienny miedzy płaszczyznami południka początkowego i południka danego punktu P
Obliczanie (przeniesienie) współrzędnych geodezyjnych B,L i azymutu A W założonej sieci trójkątów obiera się jeden punkt P0 odpowiednio usytuowany np. na środku mierzonego obszaru. Punkt ten będzie pktem przyłożenia elipsoidy do geoidy. W pkt P0 należy wyznaczyć metodami astronomicznymi szerokość i długość astronomiczną oraz azymut boku np. P0P1. Szerokość astronomiczna w odróżnieniu od geodezyjnej, jest kątem pomiędzy kierunkiem pionu w danym putcie a płaszczyzna równika. Pomierzone współrzędne astronomiczne należy zredukowac do poziomu morza (na geoide) W ten sposób uzyskuje się warunki dla przyłożenia elipsoidy w pktcie
P0 do geoidy, które polegają na założeniu, że normalna do elipsoidy w pkt P0 jest jednoczenie kierunkiem pionu w tym pkt (zredukowana szerokość astronomiczna=zredukowanej szerokości geodezyjnej) Pokrycie normalniej z linia pionu nie zapewniaja jeszcze prawidłowego ustawienia dwóch powierzchni-elipsoidy i geoidy. Elipsoida będzie zorientowana względem geoidy, gdy -przy zachowaniu styczności obu powierzchni-elipsoida obróci się dokoła normalnej i kierunku pionu, a południk elipsoidy pkt P0 pokryje się z południkiem astronomicznym tego pktu. Na podstawie danych w punkcie wyjściowym P0 na elipsoidzie oraz boków i kątów w trójkątach sieci, oblicza się współrzędne geodezyjne kolejnych pktów sieci Dwa typy zadań do obliczania współrzędnych:
1)zadanie zwykłe (wprost)- polega na obliczeniu B2,L2 A(21) na podstawie danych: B1,L1, A(12) S(12) 2)zadanie odwrotne (drugie)- oblicza się: S(12) A(12) A(21) majac dane B1, L1, B2, L2
Odwzorowania kartograficzne zdefiniowane geometrycznie W teorii odwzorowań często korzysta się z pośrednictwa powierzchni stożkowych lub walcowych, które po rozcięciu wzdłuż dowolnej tworzącej dadzą się rozwinąć na płaszczyzne. W geometrycznym podziale odwzorowań wymienia się trzy zasadnicze grupy: odwzorowanie azymutalne (płaszczyznowe), walcowe, stożkowe. Położenie rzutni w stosunku do kuli (elipsoidy) może być styczne lub sieczne. W położeniu normalnym biegun jest punktem styczności płaszczyzny lub oś obrotu walca(stożka) przebija powierzchnie kuli (elipsoidy) w biegunach. W położeniu poprzecznym punkt styczności lub oś obrotu walca (stożka) leży na równiku elipsoidy (kuli). Pośrednie położenie pkt styczności płaszczyzny lub pkt przebica osi walca (stozka) określa grupę odwzorowań ukośnych.
Odwzorowanie azymutalne-południki odwzorowują się jako promieniście wychodzące z bieguna półproste, równoleżniki jako koła koncentrycznie przecinające ortogonalnie obrazy południków. γ=λ, ρ=ρ(p) Odwzorowania walcowe- siatka jest ortogonalna. Odstępy południków są równe odległościa odstępów na równiku. x=x(φ) y=Rλ Odwzorowanie stożkowe normalne-po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka na płaszczyźnie otrzymuje się wycinek kołowy, oparty na kącie środkowym β. W odwzorowaniach stozkowych obrazami południków są półproste wychodzące z jednego punktu. Kąty między południkami zostają w tym rzucie w stosunku stałym n=β/2π. Obrazami równoleżników są łuki kołowe koncetrycxzne, o środku w punkcie przecięcia się obrazów południków. Siatka jest ortogonalna. Podział odwzorowań wg kryterium analityczneg: 1)równopol - warunek ab=1 2)z niewielkimi zniekształceniami pól 3) równoodległościowe-jeżeli wzdłuż jednego z kierunków głównych zachow jest skala długości tzn spełniony jest warunek a=1 lub b=1 4)z niewielkimi zniekształcen kątów 5) równokątne-w każdym pkt obszaru spełniony jest warunek a=b
Twierdzenia Tissota: 1) Przy dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej regularnej powierzchni na drugą musi istnieć co najmniej jedna siatka krzywych, która jest ortogonalna i odwzorowuje się na drugiej powierzchni jako siatka ortogonalna; kierunki tej siatki nazywają się głównymi.
2) Obrazem graficznym skal długości we wszystkich kierunkach wychodzących z jednego punktu powierzchni jest elipsa, której półosie sa równe skalom długości w kierunkach głównych.
Z pierwszego twierdzenia wynika, ze siatka kartograficzna, jako obraz na mapie siatki geograficznej, nie musi być ortogonalna. W rzutach ukośnych, np. azymutalnych kuli, siatke taka stanowi siatka złożona z obrazów kół horyzontalnych i kół głównych. Kierunkami głównymi nie są wówczas kierunki południków i równoleżników, ale własnie kierunki kół horyzontalnych i kół głównych
Drugie twierdzenie Tissota stwarza możliwość określenia skali poszczególnej mapy w danym punkcie i w danym kierunku, gdy znana jest skala liniowa w tym punkcie w obu kierunkach główn
Odwzorowanie Mercatora-skala długości w danym pkt mapy nie zalezy od kierunku, a jej wartość zmienia się od 0 dla rownika przez 2 dla równoleżnika 60º do nieskończoności dla bieguna. Skala pól jest kwadratem skali długości, a wiec rosnie wraz z szerokością geograficzna. Mapy sporządzone w odwzorowaniu Mercatora znalazły zastosowanie w nawigacji morskiej.
Przy opracowywaniu siatek map wielko- i średnioskalowych w położeniach ukośnych stosuje się dwa etapy odwzorowania- elipsoide odwzorowuje się na kule a nastepnie kule na płaszczyznę (stozek, walec). Daje to efekt znacznego uproszczenia obliczen.
Odwzorowanie Gaussa-Kruegera- jest równokątne, a współrzędne obrazu punktu są współrzędn prostokątnym, dzieki czemu zapewnione sa dobre warunki przy wielu obliczeniach geodezyjno-kartograficznych. Południk środkowy każdego pasa odwzorowuje się jako odcinek prostoliniowy, obrazy innych południków jako krzywe, symetryczne względem południka środkowego. Równoleżniki odwzorowują się jako krzywe, przecinające ortogonalne obrazy południków.