Rozkład empiryczny:

1.Cechy skokowe-Cechy ciągłe:

a)wielomodalne(kilka maksimum)-jeśli dwa maksima to rozkład bimodalny

b)jednomodalne(jedno maksimum): *symetryczne-liczebności rozkłasdają się wokół liczebności największej(leptokurtyczne-wysmukły, normalne, platokurtyczne-spłaszczony), *umiarkowanie asymetryczne i skrajnie asymetryczne(ma jedno ramię, wyróżniamy także rozkład U lub siodłowy)-prostopadła do osi odciętych poprowadzona z punktu maksimum krzywej liczebności dzieli pow. pod krzywą na dwie nierówne części(prawoskośne, lewoskośne)

MIARY ŚREDNIE:

KLASYCZNE:

Średnia arytmetyczna:a)jako miara klasyczna jest wypadkową wszystkich wartości zmiennej i x_min<x^-<x_max, b)suma odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od średniej arytmetycznej jest równa zeru, c)jeżeli wszystkie wartości zmiennej powiększymy(pomniejszymy, podzielimy, pomnożymy_ o pewną stałą to śr. aryt. będzie równa sumie(różnicy, ilorazowi, iloczynowi), d)jeżeli liczebność poszczególnych wariantów cechy są jednakowe, to śr. aryt. można obliczyć jako iloraz sumy wartości wariantów i ich liczby, e)suma wartości zmiennej jest równa iloczynowi śr. aryt. i liczebności zbiorowości, f)na poziomie śr. aryt. silny wpływ wywierają wartości ekstremalne.

Średnia harmoniczna: jest odwrotnością śr. aryt. z odwrotności wartości zmiennych. Stosuje się ją kiedy wartości zmiennych podane są w jednostkach względnych, np. w km/h, wagi zaś w jednostkach liczników tych jednostek względnych

Średnia geometryczna: jest pierwiastkiem n-tego stopnia z iloczynu n wartości danej zmiennej. Badanie śr. tempa zjawisk.

POZYCYJNE:

Dominanta: wartość zmiennej, która wyst. najczęściej, jedynie z rozkładów jednomodalnych

Kwantyle:dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek, Kwartyle.

MIARY ZMIENNOŚCI:

MIARY POZYCYJNE:

Empiryczny obszar zmienności: R=x_max-x_min

Odchylenie ćwiartkowe (Q):mierzy poziom zróżnicowania części jednostek (pozostałej po odrzuceniu 25% jednostek o wartościach min i 25% max). Mierzy śr. rozpiętość w połowie obszaru zmienności Me-Q<x_typ<Me+Q.

MIARY KLASYCZNE:

Odchylenie przeciętne (d):określa o ile wszystkie jednostki zbiorowości różnią się średnio ze względu na wartość zmiennej od śr. aryt. tej zmiennej.

Wariancja (s²): to śr. aryt. z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od średniej arytmetycznej całej zbiorowości. Własności: a)jest różnicą między śr. aryt. kwadratów wartości zmiennej a kwadratem śr. aryt. tej zmiennej, b)jeśli zbiorowość podzielimy na k-grup, to wariancja da całej zbiorowości będzie sumą dwóch składników: śr. aryt. wewnątrzgrupowych wariancji wartości zmiennej oraz wariancji śr. grupowych wartości tej zmiennej, c)jest wielkością nieujemną i mianowaną, d)im zbiorowość bardziej zróżnicowana tym wariancja większa

Odchylenie standardowe(s): określa o ile wszystkie jednostki danej zbiorowości różnią się średnio od śr. aryt. badanej zmiennej. W x_typ mieści się około 2/3 badanej zbiorowości

x^—s<x_typ<x^-+s, relacjs pomiędzy Q, d, s wynosi Q<d<s. Właściwości: a)obliczane na podst. wszystkich obserwacji w danym szeregu, b)jego wartość nie zmieni się, jeśli liczebność szeregu wyrazimy w liczbach względnych (%) dostatecznie dokładnie ustalonych, c)jego wartość nie zmieni się jeśli do wszystkich wartości zmiennej w szeregu dodamy pewną stałą liczbę, d)jeżeli wszystkie wartości szeregu pomnożymy przez pewną stałą liczbę większą od 0 to odchylenie standardowe będzie tylokrotnie większe, e)reguła trzech sigm-w przypadku rozkładu normalnego 31,73% wszystkich obserwacji wartości zmiennej różni się od śr. aryt. o więcej niż +-s, ok. jedna na 20 obserwacji przekracza tę średnią o +-2s, a jedna na 370 obserwacji przekracza średnią o +-3s

Współczynnik zmienności (V)- jest ilorazem bezwzględnej miary dyspersji i odpowiednich wartości średnich, jest wyrażony w %. Informuje o sile dyspersji, jest też pozycyjny

MIARY ASYMETRII:

1.Porównanie Me, Do, x-, w rozkładach symetrycznych są sobie równe. Jeżeli x->Me>Do- asymetria prawostronna, x-<Me<Do- asymetria lewostronna

2.Wskaźnik asymetrii określony wzorem W_s=x- -Do, gdy W_s=0-symetryczny, W_s>0-prawostronna, W_s<0-lewostronna

3.Za pomocą kwartyli: (Q₃-Q₂)-(Q_2-Q₁) {=0-symetr., <0-lewostr., >0-prawostr.). Wskaźniki określają tylko kierunek asymetrii.

4.Współczynnik asymetrii- miara niemianowana i unormowana- umożliwaia porównywanie asymetrii różnych rozkładów. Wzory: As=(x-Do)\s, As=(x-Do)\d,

As=(Q₃+Q₁-2Me)\2Q-pozycyjny. -1<=As<=1. Im wieksza wartość tym silniejsza asymetria.

5.Moment centralny rzędu trzeciego m₃=(suma(x_i-x-)³n_i)\N, As=m₃\s³- moment standaryzowanym trzeciego rzędu

ZMIENNE LOSOWE:

Przez zmienną losową to zmienna, która w wyniku doświadczenia może przyjąć wartość z pewnego zbioru liczb rzeczywistych i to z określonym prawdopodobieństwem.

Zmienną losową nazywamy każdą funkcję mierzalną określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i przybierającą wartość ze zbioru liczb rzeczywistych. Zmienną losową, której zbiór różnych wartości jest przeliczalny albo skończony, nazywamy zmienną losową skokową lub dyskretną. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) zmiennej rzeczywistej x określoną wzorem F(x)=P(X<x) dla każdego x∈R. Dla zmiennej skokowej dystrybuanta określona jest wzorem F(x)=∑p_i dla x_i<x (i=1,2,...).

Własności dystrybuanty: a)przyjmuje wartości z przedziału <0,1>, tzn. 0≤F(x)≤1 dla

x∈(-∞;+∞), b)jest funkcją niemalejącą, tzn dla x₁<x₂ zawsze F(x₁)≤f(x₂), c)jest funkcją lewostronnie ciągłą, d)F(-∞)=0, F(∞)=1, e)P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)

Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X typu skokowego nazywamy liczbę oznaczoną symbolem E(X) i określoną wzorem E(X)=∑x_ip_i (od i=1 do n), jeżeli zmienne losowe przyjmują nieskończoną liczbę wartości to E(X)=∑x_ip_i (od i=1 do ∞).

Właściwości wartości oczekiwanej: a)E(C)=C, b)E(X+Y)=E(X)+E(Y), c)E(XY)=E(X)E(Y), d)E(CX)=E(C)E(X=CE(X).

Wariancja zmiennej losowej X typu skokowego D²(X)=∑[x_i-E(X)]²p_i=E[X-E(X)]²

Własności wariancji: a)D²(C)=0, b)D²(CX)=D²(X)+D²(Y), c)D²(X+-Y)=D²(X)+D²(Y), gdy X i Y są niezależne

Rozkład Poissona: jeżeli jej rozkład jest określony wzorem P(X=k)=(λ^k\k!)*e^-λ, k=0,1,2,...,

zachodzi gdy prawdopodobieństwo p-sukcesów jest małe, a liczba relacji „n” na tyle duża, że iloczyn np.=λ jest wielkością stałą. Stosuje się gdy n>100, a p<0,2. E(X)=D²(x)=λ. Jest rozkładem prawostronnie skośnym i wraz ze wzrostem λ zbliża się do rozkładu symetrycznego, jest rozkładem jednoparametrycznym, bo zależy tylko od parametru λ.

Zmienną losową nazywamy ciągłą, jeśli zbiór jej możliwych realizacji jest mocy continum (nieskończony i nieprzeliczalny), np. wzrost.

Nie jest możliwe przypisanie wszystkim jej wartością dodatnich prawdopodobieństw sumujących się do jedności. Możliwe jest przyporządkowanie takich prawdopodobieństw przedziałom liczbowym, np. przedziałowi P(x<X<x+∆x), gdzie ∆x jest długością pewnego krótkiego przedziału o początku w punkcie x. Jeżeli przy ∆x zmierza do 0 istnieje granica f(x) o postaci: lim_∆x—0(P(x<X<x+∆x))\∆x=f(x) to granicę nazywamy funkcją gęstości porawdopodobieństwa zmiennej losowej X (gęstością prawdopodobieństwa)

P(a<=X<=b)=P(a<X<=b)=P(a<=X<b)=P(a<X<b)=∫_a^bf(x)dx.

Jeżeli zmienna losowa X przybiera wartości z przedziału nieskończonego (-∞;+∞) lub skończonego (a;b) to funkcja gęstości jest funkcją spełniającą warunki: f(x)=>0, ∫_-∞^∞f(x)dx=1 lub ∫_a^bf(x)dx=1.

P(X=a)=lim _b→aP(a<=X<=b)=∫_a^af(x)dx=0- zdarzenie mało prawdopodobne

Dystrybuantą zmiennej los. typu ciągłego X o gęstości f(x) nazywamy funkcję o postaci:

F(x)=P(X<x)=∫_-∞^x f(u)du z tego wynika: f(x)=dF(x)\dx=F'(x)- jeśli F(x) różniczkowalna

Wartość oczekiwana zmiennej los. ciągłej: E(X)=∫_-∞^∞ xf(x)dx, jeśli ta całka jest bezwzględnie zbierzna, tzn: ∫_-∞^∞|x|f(x)dx<∞. Jeżeli P(a<=X<=b)=1 to E(X)=∫_a^bxf(x)dx

Warjancja: D²(X)=∫_-∞^∞[X-E(X)]²f(x)dx, własności takie same jak dla zmiennej skokowej.

Rozkład normalny: funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma wzór:

f(x)=[1\σ(2П)^0,5]e^{-(x-m)(x-m)\2(sigma kwadrat)}, x należy do R, m=E(X), σ=D(X)

Własności wykresu krzywych normalnych: a)jest krzywą w kształcie dzwonu, symetryczną względem prostej x =m, b)funkcja f(x) ma jedno maksimum w punkcie x =m, które jest równe 1\σ(2Π)^0,5, jest to jednocześnie wartość oczekiwana, mediana i dominanta rozkładu,

c)krzywa ma dwa punkty przegięcia o wsp. P₁(m-σ, 1\σ(2Πe)^0,5) i P₂(m+σ, 1\σ(2Πe)^0,5)

d)lewe i prawe ramię krzywej zbliża się asymptotycznie do osi odciętych, przy czym dla x<m-3σ oraz dla x>m+3σ rzędne niewiele różnią się od 0. Standaryzacja U=(X-m)\σ

---