Rzuty Mongea

1.Niezmienniki rzutu równoległego:

a.)przynależność elementów: Jeżeli punkt leży na prostej, to rzut tego punktu leży na rzucie tej prostej.

b.)współliniowość punktów

c.)stosunek podziału odcinka AB/BC=A'B'/B'C'

d.)równoległość prostych

e.)metryka figur płaskich równoległych do rzutni: Figura płaska równoległa do rzutni i jej rzut są figurami przystającymi.

2. Płaszczyznę w rzutach możemy określić za pomocą jednej z poniższych możliwości:

-trzech niewspólniowych punktów a(A,B,C)

-punktu i prostej nie przynależnych do siebie a(A,a)

-dwóch prostych równoległych a(a,b), a || b

-dwóch prostych przecinających się a(a,b)

3. Niezmienniki dotyczące rzutu kąta prostego.

Kąt prosty o co najmniej jednym ramieniu równoległym do rzutni jest w rzucie prostokątnym zachowany.

4. Prosta prostopadła do płaszczyzny.

Prosta jest prostopadła do płaszczyzny jeśli jest prostopadła do dwóch prostych przecinających się tej płaszczyzny.

5. Prosta i płaszczyzna wzajemnie równoległe.

Prosta jest równoległa do płaszczyzny jeśli jest równoległa do jakiejś prostej tej płaszczyzny.

6. Dwie płaszczyzny wzajemnie równoległe.

Płaszczyzna β jest równoległa do płaszczyzny α jeśli zawiera co najmniej dwie proste przecinające się równoległe do płaszczyzny α.

7. Dwie płaszczyzny wzajemnie prostopadłe.

Płaszczyzna β jest prostopadła do płaszczyzny α jeśli zawiera prostą prostopadłą do płaszczyzny α.

Aksonometria- rzut równoległy

To odwzorowanie na płaszczyznę z wykorzystaniem prostokątnego układu osi.

1.Rzut aksonometryczny punktu

Punkt jest jednoznacznie określony, gdy dane są:

-jego rzut aksonometryczny,

-aksonometria chociaż jednego jego rzutu prostokątnego.

2.Podział aksonometrii ze względu na:

a.)kierunek rzutowania:

-aksonometria prostokątna-kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni

-aksonometria ukośna (kawalerska lub wojskowa)- kierunek rzutowania nie jest prostopadły do rzutni

b.)kierunek rzutowanych osi układu prostokątnego:

-izometria- wszystkie osie układu prostokątnego w przestrzeni tworzą jednakowy kąt z rzutnią i ich obrazy ulegają jednakowemu skrótowi- na rzutni powstaje obraz trzech osi tworzących pomiędzy sobą kąty po 120°

-dimetria- dwie z osi układu prostokątnego tworzą z rzutnią jednakowe kąty (najczęściej są do niej równoległe)

-anizometria- każda z osi układu prostokątnego tworzy z rzutnią inny kąt i podlega innemu skrótowi.

3.Własności aksonometrii:

Aksonometria jest rzutem równoległym, zatem obowiązują wszystkie niezmienniki tego rzutu.

Zatem:

-w aksonometrii obiekty trójwymiarowe zamieniają się na figury płaskie

-odcinek pozostaje odcinkiem co najwyżej zmieniając długość, lub zostaje zredukowany do punktu

-odcinki równoległe pozostają nadal równoległe i są one jednakowo skracane (lub wydłużane)

-okrąg zmienia się w elipsę lub pozostaje okręgiem jeśli leży w płaszczyźnie równoległej do rzutni.

4. Aksonometria prostokątna: kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni aksonometrycznej.

Trójkąt śladów aksonometrycznych ma szczególne własności: osie aksonometryczne są prostymi, na których leżą wysokości tego trójkąta.

Skróty aksonometryczne można wyznaczyć:

-gdy dane są osie i ich kąty z rzutnią

-dany jest trójkąt śladów aksonometrycznych

-za pomocą stosunku skróceń na poszczególnych osiach

Rzut cechowany- jest rzutem prostokątnym na jedną płaszczyznę- rzutnię.

1. Rzutem prostej jest prosta lub punkt, jeśli prosta jest prostopadła do rzutni.

na-nachylenie prostej

μa- moduł prostej (odwrotność nachylenia)

2. Płaszczyznę w rzucie najczęściej określamy prostymi poziomymi- warstwicami. Prostą prostopadłą do warstwic nazywamy linią spadu płaszczyzny.

Rzut środkowy

1.Elementy rzutu:

-rzutnia (tło)- płaszczyzna π

-środek rzutu S (oko)- punkt S nie należy do π

-Sπ- rzut prostokątny środka rzutu S na π

2.Rzutem punktu jest punkt będący punktem przebicia prostej, łączącej dany punkt ze środkiem rzutów, z rzutnią.

3.Rzutem prostej przechodzącej przez środek rzutów S jest punkt.

4.Punkty leżące na płaszczyźnie równoległej do rzutni i przechodzącej przez środek rzutów nie mają rzutów właściwych. Płaszczyznę tę nazywamy płaszczyzną zniknienia.

Odległość d(S, Sπ) nazywamy odległością obrazową lub odległością oddalenia.

5.Rzutem prostej nie przechodzącej przez środek rzutu S jest prosta.

6.Proste równoległe mają ten sam kierunek, zatem mają wspólny ślad zbiegu.

7.Niezmienniki rzutu środkowego:

-współliniowość punktów,

-kąty w płaszczyznach równoległych do tła,

-stosunek podziału na prostych równoległych do tła

-dwustosunek czwórki punktów.

8.Prosta równoległa do płaszczyzny

Tw. Prosta jest równoległa do danej płaszczyzny, jeśli jest równoległa do jakiejś prostej leżącej w tej płaszczyźnie.

9.Płaszczyzny równoległe.

Tw. Płaszczyzna jest równoległa do drugiej płaszczyzny , jeśli zawiera dwie proste przecinające się równolegle do tej płaszczyzny.

---