Zadania przygotowawcze do egzaminu

Matematyka IŚ 2010

1. Rozwiązać układ równań 3x − y + z = 0, 2y + 5z = 1, 6x − 4y − 3z = −1

2. Przedstawić wektor (2, 1, 1) jako kombinację liniową wektorów (3, 2, 3) , (2, 5, 4) , (1, 3, 2).

3. Który z podanych podzbiorów jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R

3

:

{(x, y, z) ∈ R

3

; x + y − z = 1}, {(x, y, z) ∈ R

3

; x − 2y − 3z = 0}.

W przypadku odpowiedzi pozytywnej podać bazą tej przestrzeni i uzasadnić że jest to baza.

4. Rozwiązać równania macierzowe







3 −2 5

−6

4 3

9 −6 2







X =







1

−2

3







5. Rozwiązać równania macierzowe X







3 −2 5

−6

4 3

9 −6 2







=

h

1 −2 3

i

6. Znaleźć punkt przecięcia płaszczyzny wyznaczonej przez punkty (1, 1, 0) , (2, 1, 1) , (0, 3, 1) z prostą

wyznaczoną przez (4, 2, 1) , (2, 0, 3).

7. Znaleźć punkt symetryczny do (0, 2, −1) względem prostej wyznaczonej przez punkty (−1, 3, 2),

(0, 4, 3)

8. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach (3, 2, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 3).

9. Podać dziedziny i obliczyć pochodne cząstkowe rzędu 1 funkcji

f (x, y) = sin

x

x

2

+ y

2

;

g(x, y) =

q

2x − y

;

h(x, y) = cos

2

(4xy

2

)

10. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x

3

− xy + y

3

.

11. Podać dziedzinę funkcji f (x, y) = 8xy −

1

x

−

1

y

i znaleźć jej ekstrema lokalne.

12. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej figury ograniczonej przez linie y = x

2

− 1, y = 0.

13. Obliczyć całkę podwójną

ZZ

V

x dxdy gdzie V = {(x, y) ∈ R

2

; x ¬ 0, y ­ 0, |x| ¬ |y|, x

2

+ y

2

¬ 4}.

14. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej płytki ograniczonej liniami: y = x

2

, y = 0 , x = 1.

15. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej płytki P = {(x, y); x

2

+ y

2

¬ 4 ; 0 ¬ y ¬ x}.

16. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej płytki ograniczonej liniami: y = x

2

, y = 0 , x = 1.

17. Obliczyć całkę podwójną

ZZ

V

x dxdy gdzie V = {(x, y) ∈ R

2

; x ¬ 0, y ­ 0, |x| ¬ |y|, x

2

+ y

2

¬ 4}.

18. Obliczyć całkę

ZZ

D

(x + y)dxdy,

gdzie D = {(x, y) : 4 ¬ x

2

+ y

2

¬ 9, 0 ¬ x ¬ −y}.

19. Liczebność kolonii bakterii x(t) wzrasta proporcjonalnie do aktualnej ilości tzn. spełnia równanie

różniczkowe x

0

= λx. W chwili początkowej było x(0) = 1mln. Po minucie liczba ta wzrosła do

1, 2mln. Znależć funkcję x(t). Kiedy ilość bakterii wzrośnie do 2mln?

20. Ilość substancji pomieniotwórczej x(t) maleje z prędkością proporcjonalną do aktualnej ilości tzn.

spełnie równanie różniczkowe x

0

= −λx. W chwili początkowej było x(0) = 1gram. Po roku ilość ta

zmalała do 0, 7grama. Znależć funkcję x(t). Kiedy ilość substancji spadnie do do

1

2

grama?

21. Temperatura ustabilizowała się na −30C

o

. W chwili awarii ogrzewania temperatura w budynku

wynosiła +20C

o

i po dwu godzinach spadła do 15C

0

. Kiedy temperatura w budynku spadnie do

zera?