Zadania przygotowawcze do egzaminu
Matematyka IŚ 2010
1. Rozwiązać układ równań 3x − y + z = 0, 2y + 5z = 1, 6x − 4y − 3z = −1
2. Przedstawić wektor (2, 1, 1) jako kombinację liniową wektorów (3, 2, 3) , (2, 5, 4) , (1, 3, 2).
3. Który z podanych podzbiorów jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R
3
:
{(x, y, z) ∈ R
3
; x + y − z = 1}, {(x, y, z) ∈ R
3
; x − 2y − 3z = 0}.
W przypadku odpowiedzi pozytywnej podać bazą tej przestrzeni i uzasadnić że jest to baza.
4. Rozwiązać równania macierzowe
3 −2 5
−6
4 3
9 −6 2
X =
1
−2
3
5. Rozwiązać równania macierzowe X
3 −2 5
−6
4 3
9 −6 2
=
h
1 −2 3
i
6. Znaleźć punkt przecięcia płaszczyzny wyznaczonej przez punkty (1, 1, 0) , (2, 1, 1) , (0, 3, 1) z prostą
wyznaczoną przez (4, 2, 1) , (2, 0, 3).
7. Znaleźć punkt symetryczny do (0, 2, −1) względem prostej wyznaczonej przez punkty (−1, 3, 2),
(0, 4, 3)
8. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach (3, 2, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 3).
9. Podać dziedziny i obliczyć pochodne cząstkowe rzędu 1 funkcji
f (x, y) = sin
x
x
2
+ y
2
;
g(x, y) =
q
2x − y
;
h(x, y) = cos
2
(4xy
2
)
10. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x
3
− xy + y
3
.
11. Podać dziedzinę funkcji f (x, y) = 8xy −
1
x
−
1
y
i znaleźć jej ekstrema lokalne.
12. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej figury ograniczonej przez linie y = x
2
− 1, y = 0.
13. Obliczyć całkę podwójną
ZZ
V
x dxdy gdzie V = {(x, y) ∈ R
2
; x ¬ 0, y 0, |x| ¬ |y|, x
2
+ y
2
¬ 4}.
14. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej płytki ograniczonej liniami: y = x
2
, y = 0 , x = 1.
15. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej płytki P = {(x, y); x
2
+ y
2
¬ 4 ; 0 ¬ y ¬ x}.
16. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej płytki ograniczonej liniami: y = x
2
, y = 0 , x = 1.
17. Obliczyć całkę podwójną
ZZ
V
x dxdy gdzie V = {(x, y) ∈ R
2
; x ¬ 0, y 0, |x| ¬ |y|, x
2
+ y
2
¬ 4}.
18. Obliczyć całkę
ZZ
D
(x + y)dxdy,
gdzie D = {(x, y) : 4 ¬ x
2
+ y
2
¬ 9, 0 ¬ x ¬ −y}.
19. Liczebność kolonii bakterii x(t) wzrasta proporcjonalnie do aktualnej ilości tzn. spełnia równanie
różniczkowe x
0
= λx. W chwili początkowej było x(0) = 1mln. Po minucie liczba ta wzrosła do
1, 2mln. Znależć funkcję x(t). Kiedy ilość bakterii wzrośnie do 2mln?
