Zadania przygotowawcze do egzaminu
Matematyka IŚ 2010
1. Rozwiązać układ równań 3 x − y + z = 0 , 2 y + 5 z = 1 , 6 x − 4 y − 3 z = − 1
2. Przedstawić wektor (2 , 1 , 1) jako kombinację liniową wektorów (3 , 2 , 3) , (2 , 5 , 4) , (1 , 3 , 2) .
3. Który z podanych podzbiorów jest podprzestrzenią liniową przestrzeni 3
R :
{( x, y, z) ∈
3
3
R ; x + y − z = 1 }, {( x, y, z) ∈ R ; x − 2 y − 3 z = 0 }.
W przypadku odpowiedzi pozytywnej podać bazą tej przestrzeni i uzasadnić że jest to baza.
3 − 2 5
1
4. Rozwiązać równania macierzowe
− 6
4 3 X = − 2
9 − 6 2
3
3 − 2 5
h
i
5. Rozwiązać równania macierzowe X
− 6
4 3 =
1 − 2 3
9 − 6 2
6. Znaleźć punkt przecięcia płaszczyzny wyznaczonej przez punkty (1 , 1 , 0) , (2 , 1 , 1) , (0 , 3 , 1) z prostą wyznaczoną przez (4 , 2 , 1) , (2 , 0 , 3).
7. Znaleźć punkt symetryczny do (0 , 2 , − 1) względem prostej wyznaczonej przez punkty ( − 1 , 3 , 2), (0 , 4 , 3)
8. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach (3 , 2 , 1) , (1 , 1 , 1) , (1 , 2 , 3).
9. Podać dziedziny i obliczyć pochodne cząstkowe rzędu 1 funkcji x
q
f ( x, y) = sin
;
g( x, y) =
2 x − y
;
h( x, y) = cos2(4 xy 2)
x 2 + y 2
10. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f ( x, y) = x 3 − xy + y 3.
1
1
11. Podać dziedzinę funkcji f ( x, y) = 8 xy −
−
i znaleźć jej ekstrema lokalne.
x
y
12. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej figury ograniczonej przez linie y = x 2 − 1, y = 0.
ZZ
13. Obliczyć całkę podwójną
x dxdy gdzie V = {( x, y) ∈
2
R ; x ¬ 0 , y 0 , |x| ¬ |y|, x 2 + y 2 ¬ 4 }.
V
14. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej płytki ograniczonej liniami: y = x 2 , y = 0 , x = 1.
15. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej płytki P = {( x, y); x 2 + y 2 ¬ 4 ; 0 ¬ y ¬ x}.
16. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej płytki ograniczonej liniami: y = x 2 , y = 0 , x = 1.
ZZ
17. Obliczyć całkę podwójną
x dxdy gdzie V = {( x, y) ∈
2
R ; x ¬ 0 , y 0 , |x| ¬ |y|, x 2 + y 2 ¬ 4 }.
V
ZZ
18. Obliczyć całkę
( x + y) dxdy,
gdzie D = {( x, y) : 4 ¬ x 2 + y 2 ¬ 9 , 0 ¬ x ¬ −y}.
D
19. Liczebność kolonii bakterii x( t) wzrasta proporcjonalnie do aktualnej ilości tzn. spełnia równanie różniczkowe x0 = λx. W chwili początkowej było x(0) = 1mln. Po minucie liczba ta wzrosła do 1 , 2mln . Znależć funkcję x( t). Kiedy ilość bakterii wzrośnie do 2mln?
20. Ilość substancji pomieniotwórczej x( t) maleje z prędkością proporcjonalną do aktualnej ilości tzn.
spełnie równanie różniczkowe x0 = −λx. W chwili początkowej było x(0) = 1gram. Po roku ilość ta 1
zmalała do 0 , 7grama . Znależć funkcję x( t). Kiedy ilość substancji spadnie do do grama?
2
21. Temperatura ustabilizowała się na − 30 Co. W chwili awarii ogrzewania temperatura w budynku wynosiła +20 Co i po dwu godzinach spadła do 15 C 0. Kiedy temperatura w budynku spadnie do zera?