1. Iloczynem kartezjańskim dwóch zbiorów nazywamy trzeci zbiór, złożony z par, których pierwszy element jest elementem pierwszego, a drugi – drugiego zbioru:

   

Na przykładzie wygląda to tak:

Relacja dwuargumentowa – dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów, która formalizuje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (dane dwa elementy pozostają w związku albo łączy je pewna zależność lub nie)

1. Funkcja - dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioruY

   Dziedziną funkcji nazywa się zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów danej funkcji

   Obraz – zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny.

   Iniekcja -  funkcja, której każdy element przeciwdziedziny przyjmowany jest co najwyżej raz.

   Surjekcja - funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny

   Bijekcja - funkcja będąca jednocześnie injekcją i surjekcją. Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

   Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

   Złożenie (superpozycja) funkcji (funkcja z funkcji) – funkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.

Parzysta - jeżeli spełnia równanie  (symetria względem zmiany znaku argumentu)

Nieparzysta, jeżeli spełnia równanie  (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji)

Mówimy, że funkcja y = f(x) jest funkcją okresową o okresie t, jeśli istnieje taka liczba t ≠ 0, która dodana do dowolnej dopuszczalnej wartości argumentu nie zmienia wartości funkcji, tzn. f(x + t) = f(x). 

Mówimy, że funkcja f jest monotoniczna w przedziale, jeśli posiada w nim jedną z czterech własności:
    - jest rosnąca, x₁ < x₂ ⇒  f(x₁) < f(x₂)
    - jest malejąca,  x₁ < x₂ ⇒  f(x₁) > f(x₂)
    - jest nierosnąca,  x₁ < x₂ ⇒  f(x₁) ≥ f(x₂)
    - jest niemalejąca,  x₁ < x₂ ⇒  f(x₁) ≤ f(x₂)

Wypukłość funkcji - własności funkcji mówiące o jej położeniu względem jej stycznej w danym punkcie. Jeśli krzywa znajduje się:

-nad styczną - mówimy, że jest wypukła w dół

.

-pod styczną - mówimy, że jest wypukła w górę

1. Funkcja uwikłana – funkcja jednej lub wielu zmiennych przedstawiona jako pewne równanie pomiędzy wieloma zmiennymi przedstawione jako

Wzór jawny – wzór matematyczny na wartość wyrazów ciągu lub wartości funkcji zależny bezpośrednio od numeru wyrazu ciągu, lub argumentów funkcji.

Równanie parametryczne - pojęcie matematyczne definiujące relację przy użyciu parametrów. 

Np. okrąg o promieniu a:

 

1. Dwumian Newtona

   

   Współczynnik dwumianowy

   

   Współczynnik rekurencyjnie

   

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Relację R ∈ XxX nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:

-zwrotna, tzn. dla dowolnych x ∈ X zachodzi

xRx

-symetryczna, tzn. dla dowolnych x, y ∈ X

xRy pociąga yRx,

-przechodnia, tzn. dla dowolnych x, y, z ∈ R zachodzi wynikanie

jeżeli xRy oraz yRz, to xRz.

Dwa elementy x, y ∈ R takie, że xRy nazywa się równoważnymi lub tożsamymi. Relacje równoważności oznacza się zwykle symbolami ,  lub podobnymi.

1. Wektor zaczepiony:

1. Euklidesowo – para punktów PQ, z których P to punkt zaczepienia, a Q to koniec wektora

2. Geometrycznie – czwórka (P,d,k,z), P –punkt zaczepienia, d – długość, k-kierunek, z-zwrot

3. Kartezjańsko – szóstka (P;Q) = (p1,p2,p3;q1,q2,q3), na którą składają się współrzędne kartezjańskie początku i końca wektora, to określenie istnieje w przestrzeni wyposażonej w układ współrzędnych

1. Iloczyn skalarny

   Geometryczny:

u * v =  |u| *  |v| * cosα

Analityczny:

u * v = u₁ * v₁ + u₂ * v₂ + u₃ * v₃

1. Iloczyn skalarny Rn

$$a*b = \sum_{k = 1}^{n}{a_{k}*b_{k}}$$

Cosunus kąta:

$$\cos{\left( a,b \right) = \frac{a*b}{\left| a \right|*\left| b \right|}}$$

Wektory są prostopadłe kiedy ich iloczyn zanika:

ab$\overset{\Leftrightarrow}{\ }a*b = 0$

1. Równania prostej i płaszczyzny w R3

   Płaszczyzna:

ax + by + cz + d = 0

Prosta:

P = (x_p, y_p, z_p)

$$\overrightarrow{k} = \left\lbrack m,n,p \right\rbrack$$

$$l:\ \frac{x - x_{p}}{m} = \frac{y - y_{p}}{n} = \frac{z - z_{p}}{p}$$

1. Iloczyn wektorowy

   Geometrycznie:

a X b =  |a| * |b| * sinα

Analitycznie(wyznacznik):

$$a\ X\ b = \ \begin{matrix} a_{2}b_{3}{- a}_{3}b_{2} \\ a_{3}b_{1}{- a}_{1}b_{3} \\ a_{1}b_{2}{- a}_{2}b_{1} \\ \end{matrix}$$

1. Iloczyn mieszany

[a,b,c] = a * (b X c)

1. Macierz – funkcja określona na iloczynie kartezjańskim skończonej liczby zbiorów skończonych

2. a_j, k – j-wiersz, k-kolumna

   Stopień macierzy – wymiar największego niezerowego minora kwadratowego, który można wybrać z tej macierzy

   Wyznacznik:

1. Def. Kombinatoryczna

$$\det\left( a \right) = \sum_{p}^{}{( - 1)}^{inv(p)}*a_{1_{p_{1}}}*a_{1_{p_{2}}}*\cdots*a_{n_{p_{n}}}$$

1. Laplace, wyznacznikiem macierzy jest:

   a_1, 1 dla n = 1

   $\sum_{j = 1}^{n}{{( - 1)}^{j + k}*a_{j,k}*det(a_{j,k}})$ dla n > 1

2. Własności:

1. det(A^T) = det(A)

2. Wyznacznik macierzy, która ma kolumnę(lub wiersz) zerową wynosi 0

3. Wyznacznik macierzy górno- lub dolnotrójkątnej jest równy iloczynowi jej elementów diagonalnych

4. Pomnożenie dowolnej kolumny (lub wiersza) macierzy przez skalar r sprawia że wyznacznik wynosi det(A) * r

5. Dodanie kolumny macierzy pomnożonej przez skalar do innej kolumny nie zmienia wyznacznika

6. Zmiana jednej kolumny macierzy z dowolną inną zmienia znak wyznacznika na przeciwny

Odwrotność macierzy

B * A = A * B = I

1. Cramer:

   A * x = b ma jedno rozwiązanie

$$x_{k} = \frac{det(A_{k})}{det(A)}$$

A_k – macierz A, której k-tą kolumnę zastępuje wektor b

Eliminacja Gaussa:

A * x = b

$\begin{matrix} A & |b \\ \end{matrix}$

Przekształcenie macierzy w macierz górnotrójkątną i rozpisanie układu równań

1. Rząd macierzy – największy stopień nieosobliwej podmacierzy macierzy

   Kroncecker-Capelli(uogólnienie Cramera):

   Ural A * x = b jest zgodny wtedy i tylko wtedy gdy rank(A) = rank ([A | B)]

   $A = \ \begin{bmatrix} N & E \\ W & S \\ \end{bmatrix},\ \ x = \begin{matrix} z \\ p \\ \end{matrix},\ \ b = \begin{matrix} c \\ q \\ \end{matrix}\ $

   N * z + E * p = c

   W * z + S * p = q

   Podukład kramerowski:

   N * z = c − E * p

2. Ciąg liczbowy, przykłady:

   -arytmetyczny a_k = a_k − 1 + r

   -geometryczny a_k = a₁q^k − 1

   -harmoniczy $a_{n} = \frac{1}{n}$

   -anharmoniczy $a_{n} = \left( - 1 \right)^{n + 1}*\frac{1}{n}$

3. Zbieżność ciągu

Ciągiem zbieżnym nazywamy ciąg, który jest rosnący lub malejący i jest ograniczony.

Definicja granicy

$$\begin{matrix} \forall \\ \varepsilon > 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ }\begin{matrix} \exists \\ N \\ \end{matrix}\text{\ \ }\begin{matrix} \forall \\ n > N \\ \end{matrix}\text{\ \ }\left| a_{n} - g \right| < \varepsilon$$

„dla każdego epsilon większego od zera istnieje taki numer wyrazu ciągu N, dla którego odległość wszystkich wyrazów ciągu o numerach większych jest mniejsza od epsilona”

1. Twierdzenie o 3 ciągach(zależność między ciągami zbieżnymi):

   Jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów zachodzi: a_n ≤ b_n ≤ c_n

   Oraz )=lim_n∞(c_n) = g

   To lim_n∞(b_n) = g

2. Granica:

   $\operatorname{}{\left( a^{\frac{1}{n}} \right) = \ }$1

3. Liczba e

$$\operatorname{}{(1 + \frac{1}{n})^{n}}$$

1. Funkcje elementarne???

sinc(x) = 1

$$\text{sinc}\left( x \right) = \ \frac{sin(x)}{x}$$

1. Szereg liczbowy – ciąg sum częściowych

$$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$$

Jest zbieżny jak istnieje skończona suma

1. Sąsiedztwo punktu to zbiór:

(x₀ − r; x₀)∪(x₀; x₀ + r)

Otoczenie to zbiór:

(x₀ − r, x₀ + r) o środku w punkcie Xo

Ciągłość funkcji w punkcie:

a)Definicja Heinego:

f(x) = f(x₀)

„Jeśli dla każdego ciągu (xn) liczb z M, który jest zbieżny do x, ciąg wartości f(xn) jest zbieżny do f(x)”

b)Definicja Cauchego

$\forall_{\varepsilon > 0}\ \exists_{\delta > 0}\ \forall_{y \in M}\text{\ \ \ \ }\left| x - y \right| < \delta\ \overset{\Rightarrow}{\ }\left| f\left( x \right) - f(y) \right| < \varepsilon$

Ciągłość funkcji w przedziale:

1. w przedziale otwartym – wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła każdym punkcie tego przedziału

2. w przedziale zamkniętym <a,b> – wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale (a,b) oraz jest prawostonnie ciągła w punkcie x0=a i lewostronnie ciągła w punkcie x0=b

1. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

   „Z każdego ciągu ograniczonego można wyrwać podciąg zbieżny, jeżeli ciąg jest nieograniczony to zawiera podciąg rozbieżny.”

   Twierdzenie Weierstrassa

   „Jeśli f  : [a,b] → R jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja f

   osiąga swoje kresy”

2. Twierdzenie Bolzano-Cauchy’ego

   Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b>, i f(a) * f(b) < 0, to istnieje punkt c ∈ (a,b), dla którego f(c) = 0

3. Pochodna

$$f^{'}\left( x_{0} \right) = \operatorname{}\frac{f\left( x \right) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$$

$$f^{'}\left( x_{0} \right) = \operatorname{}\frac{f\left( x_{0} + x \right) - f(x_{0})}{x}$$

Interpretacja geometryczna:

$f^{'}\left( x \right) = \frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \tan\alpha$

1. Pochodna iloczynu:

(f(x)g(x))^′ = f^′(x)g(x) + f(x)g^′(x)

Pochodna ilorazu:

$${(\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)})}^{'} = \frac{f^{'}\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g'(x)}{g^{2}(x)}$$

Pochodna złożenia:

(f(g(x)))^′ = g^′(x) * f′(g(x))

Pochodna funkcji odwrotnej:

$$\left( f^{- 1}\left( x \right) \right)^{'} = \frac{1}{f'(x)}$$

1. Sieczna – prosta przecinająca krzywą w co najmniej dwóch punktach. Dla punktów (x₀, y₀)i(x₁, y₁):

(y₁−y₀)(x−x₀) − (x₁−x₀)(y−y₀) = 0

Styczna – miejsce gdzie sieczne nachodzą na siebie (oba pkt. w tym samym miejscu)

y − y₀ = f′(x₀)(x − x₀)

1. Warunek konieczny różniczkowalności funkcji

   „Funkcja jest różniczkowalna w przedziale, gdy w każdym punkcie tego przedziału istnieje pochodna tej funkcji i ma ona skończoną wartość”

   „Funkcja różniczkowalna w punkcie jest w tym punkcie ciągła”

2. Twierdzenie Rolle’a (uogólnienie Lagrange)

   Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a,b] i różniczkowalna w przedziale (a,b) i f(a) = f(b), to istnieje punkt c należący do przedziału (a,b), że:

   f^′(c) = 0

   Twierdzenie Lagrange’a

   Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a,b] i różniczkowalna w przedziale (a,b), to istnieje taki punkt c należący do przedziału (a, b), że:

   $f^{'}\left( c \right) = \frac{f\left( b \right) - f(a)}{b - a}$

   Twierdzenie Cauchy’ego

   Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedziale [a,b] oraz różniczkowalne w przedziale (a,b) to istnieje taki punkt c należący do przedziału (a, b), że:

   g^′(c) * [f(b)−f(a)] = f^′(c) * [g(b) − g(a)]

3. Kryteria różniczkowe monotoniczności:

   -jeśli f^′(x) = 0 dla każdego x ∈ (a,b), to funkcja f jest stała w przedziale (a,b)

   -jeśli f^′(x) > 0 dla każdego x ∈ (a,b), to funkcja f jest rosnąca w przedziale (a,b)

   -jeśli f^′(x) < 0 dla każdego x ∈ (a,b), to funkcja f jest malejąca w przedziale (a,b)

   Kryteria różniczkowe wypukłości:

   -jeśli f^″(x) > 0 to funkcja jest wypukła

   -jeśli f^″(x) < 0 to funkcja jest wklęsła

   Twierdzenie Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremum)

   Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie i ma pochodną w tym punkcie to pochodna w tym punkcie wynosi 0.

4. Asymptota pionowa:

1. x₀ ∈ D_f

2. $\operatorname{}{f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} + \infty \\ - \infty \\ \end{matrix} \right.\ }$

Asymptota ukośna:

Prosta y = ax + b jest asymptotą jeżeli:

$a = \operatorname{}\frac{f(x)}{x}$ b = (f(x) − ax) jeżeli: $a = 0\overset{\Rightarrow}{\ }$as. Pozioma

1. Symbole nieoznaczone:

   $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty},\infty - \infty,0*\infty,0^{0},1^{\infty},\infty^{0}$

   Reguła de l’Hospitala:

   Dla: $\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}$

   $\operatorname{}\frac{f(x)}{g(x)} =_{H}\operatorname{}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Dla reszty symboli należy przekształcić symbol nieoznaczony na $\frac{0}{0}\text{lub}\frac{\infty}{\infty}$ (najczęsciej poprzez sprowadzenie do wspólnego mianownika, czasem wyciąganie przed nawias).