• zapisz symbolicznie ( macierzowo) trzy postaci równań Hooke'a

1.postać:  

ε_ij = [(1 + ν) σ_ij − ν σ_kk δ_ij] / E,

2. postać:

  σ_ij = 2G ε_ij + λ ε_kk δ_ij,

3. postać:

σ_ij - σ_mδ_ij = 2G (ε_ij - ε_mδ_ij)   (prawo zmiany postaci)

  σ_m = 3 K ε_m   (prawo zmiany objętości)

• Uzasadni nazwy : prawo zmiany postaci, prawo zmiany objętości

Prawo zmiany postaci: (jedna z postaci prawa Hooke'a) związek pomiędzy dewiatorami naprężenia i odkształcenia (5 niezależnych równań):

Dσ = 2G Dε,

D - dewiatory, G - moduł odkształcenia postaciowego

Prawo zmiany objętości: (jedna z postaci prawa Hooke'a) związek pomiędzy aksjatorami naprężenia i odkształcenia (jedno równanie):

Aσ = 3K Aε,

A - aksjatory, K - moduł ściśliwości objętościowej

• O czym mówi zasada de Saint-Venanta?

Zasada mówi, że jeśli na sprężyste ciało działa układ sił statycznych przyłożonych na powierzchni małej w stosunku do powierzchni całego ciała i zastąpimy ten układ sił dowolnym innym układem - jednak statycznie mu równoważnym (o równej sumie układu i sumie momentów sił układu względem dowolnego punktu) - to istnieje taki przekrój tego ciała, dostatecznie odległy od miejsca przyłożenia sił, że różnice w naprężeniach, odkształceniach i przemieszczeniach, pochodzących od obu przypadków obciążenia, są dowolnie małe (tzn. wpływ działających sił uśrednia się).


Ilustracją zasady jest rysunek. Pokazuje on pręt rozciągany przez siły przyłożone punktowo w środku ciężkości przekroju na obu końcach. W bezpośredniej bliskości końców stan naprężenia odpowiada rzeczywistemu stanowi obciążenia. W dostatecznej odległości od końców uśrednia się i równy jest sumie sił podzielonej przez pole przekroju pręta.

• Rozciąganie - przedstaw interpretację modułu Younga i liczby Poissona v

Moduł sprężystości podłużnej (Younga):

Stała materiałowa- wielkość określająca sprężystość materiału. Wyraża ona, charakterystyczną dla danego materiału, zależność względnego odkształcenia liniowego ε materiału od naprężenia σ, jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych (tangens kąta nachylenia wykresu odkształcenia w funkcji naprężenia na prostoliniowej części wykresu rozciągania - dla statycznej próby rozciągania);

Jednostką modułu Younga jest paskal, czyli N/m2, dla stali ok. 210 GPa

Moduł Younga jest hipotetycznym naprężeniem, które wystąpiłoby przy dwukrotnym wydłużeniu próbki materiału, przy założeniu, że jej przekrój nie ulegnie zmianie (założenie to spełnione jest dla hipotetycznego materiału o współczynniku Poissona υ = 0).

W przypadku materiału izotropowego moduł Younga powiązany jest z innymi stałymi materiałowymi:

gdzie:

G - moduł Kirchhoffa,

υ - współczynnik Poissona,

B - moduł Helmholtza,

λ i μ - stałe Lamégo.

Liczba Poissona:

bezwymiarowa stała materiałowa, określająca stosunek (bezwzględną wartość stosunku) odkształceń poprzecznych (przekroju poprzecznego) do odkształcenia podłużnego (osi pręta) dla rozciągania.

Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową i nie określa sprężystości materiału, a jedynie sposób w jaki się on odkształca.

Jeżeli w przypadku materiału izotropowego w rozpatrywanym punkcie ciała wyróżnimy kierunek m i jeżeli w tym punkcie jedynie naprężenie σm ≠ 0 (zaś pozostałe składowe naprężenia są równe zero), to współczynnik Poissona:

gdzie: ε - odkształcenie, n - dowolny kierunek prostopadły do m

Dla realnych materiałów waha się w granicach od 0 do 0.5 (0 - korek, 0.5 - guma), stal ok. 0.27, beton ok. 0.16

• Wymień dwa podstawowe typy warunków projektowania:

1.Warunek obliczeniowy w stanie granicznym nośności:

N_max ≤ N_R → N_max / N_R ≤ 1

N_R - nośność przekroju porzecznego pręta rozciąganego N_R = A ∙ f_d

2. Warunek obliczeniowy w stanie granicznym użytkowania:

u_max ≤ u_dop

(N ∙ L)/ (E ∙ A) ≤ u_dop (dopuszczalna wartość wydłużenia)

• Zginanie ukośne - jak się ma kierunek osi obojętnej do kierunku wypadkowego momentu zginającego ?

relacja między położeniem osi obojętnej i równaniem prostej działania wektora momentu:

założenie: I_y > I_z

oś obojętna z_O = - A_y ; A= (I_y ∙ M_z) / (I_z ∙ M_y)

prosta wektora momentu z_M = - B_y ; B= M_z / M_y

Wnioski ( A > B ):

1. oś obojętna odchyla się od kierunku wektora momentu zawsze w stronę tej osi bezwładności,

względem której moment bezwładności jest mniejszy

2. oś obojętna pokrywa się z kierunkiem wektora momentu wtedy gdy I_y = I_z

• Zginanie ukośne - jak najprościej określić naprężenie normalne w dowolnym punkcie przekroju

Przypadek A : zginanie w płaszczyźnie (x,z)

σ _x = - (M_y/I_y) z

Przypadek B : zginanie w płaszczyźnie (x,y)

σ _x = - (M_z/I_z) y

Zginanie w płaszczyźnie π

σ _x = - (M_y/I_y) z - (M_z/I_z) y

---