Odejmowanie liczb całkowitych.

Wczesną wiosną Tomek prowadził dziennik zmian temperatur w ciągu dnia. Mierzył i notował temperaturę dwukrotnie: o godzinie 7³⁰, przed wyjściem do szkoły, i o godzinie 14³⁰, zaraz po powrocie do domu. Obliczał także, o ile wzrosła lub zmalała temperatura w ciągu dnia. Wzrost temperatury oznaczał plusem, a jej spadek minusem. Oto tabela Tomka. 

Dzień miesiąca	15	16	17	18	19	20	21
Temperatura  o godzinie 7^30	2	4	-1	-3	-1	1	-4
Temperatura  o godzinie 14^30	3	3	2	-2	-3	3	-3
Zmiana	+1	-1	+3	?	?	?	?

Oblicz pozostałe zmiany temperatur. 

Którego dnia nastąpił największy wzrost temperatury? 

Którego dnia nastąpił największy spadek temperatury? 
Tomek przedstawił swoje pomiary na rysunku: 

• Które słupki przedstawiają temperatury z godziny 7³⁰, a które z godziny 14³⁰? 

• Odczytaj z wykresu, jakie były różnice temperatur między kolejnymi dniami o godzinie 7³⁰, a jakie o 14³⁰.

1 a. Przyjrzyjcie się poniższym działaniom. Jak myślicie, jakie będą wyniki ostatnich trzech działań?

5 - 1 = 4  5 - 2 = 3  5 - 3 = 2

5 - 4 = 1  5 - 5 = 0  5 - 6 = -1

5 - 7 = ?  5 - 8 = ?  5 - 9 = ?

Dopiszcie trzy następne działania. Jakie będą wyniki?
 b. Zaproponujcie podobne serie działań i podajcie ich wyniki.

2. Oblicz w pamięci.
 a. 5 - 7, 7 - 9, 4 - 6
 b. 5 - 9, 3 - 7, 21 - 25
 c. 3 - 6, 5 - 8, 11 - 14

  d. 1 - 8, 5 - 12, 8 - 15
 e. 40 - 50, 40 - 60, 40 - 70
 f. 30 - 55, 40 - 55, 50 -55

3. Jaką liczbę należy dodać:
 a. do 5, aby otrzymać -5,
 b. do 1, aby otrzymać -7,
 c. do 8, aby otrzymać -1,
 d. do 4, aby otrzymać -2?

4. Ile należy odjąć:
 a. od 5, aby otrzymać -5,
 b. od 1, aby otrzymać -7,
 c. od 8, aby otrzymać -1,
 d. od 4, aby otrzymać -2?

5 a. Przyjrzyjcie się poniższym działaniom. Jak myślicie, jakie będą wyniki ostatnich pięciu działań? Dlaczego?

7 - 3 = 4  7 - 2 = 5  7 - 1 = 6  7 - 0 = 7 7 - (-1) = ?

7 - (-2) = ?  7 - (-3) = ? 7 - (-4) = ? 7 - (-5) = ?

Dopiszcie trzy następne działania. Jakie będą ich wyniki?

Jak zmienia się w tych działaniach odjemnik? A jak zmienia się różnica?

b. A jakie będą wyniki tych działań?

(-8) - 3 = (-11)  (-8) - 2 = (-10)  (-8) - 1 = (-9)  (-8) - 0 = (-8)  (-8) - (-1) = ?

(-8) - (-2) = ? (-8) - (-3) = ?  (-8) - (-4) = ?  (-8) - (-5) = ?

6. Porównajcie wyniki działań.
 a. 7 - (-3) oraz 7 + 3
 b. 7 - (-7) oraz 7 + 7
 c. 8 - (-2) oraz 8 + 2
 d. 5 - (-4) oraz 5 + 4
Czy dostrzegacie jakąś prawidłowość? Spróbujcie opisać ją słowami. Zbadajcie ją na innych przykładach.

! Każde odejmowanie można zastąpić odpowiednim dodawaniem. 

(-8) - (-6) = (-8) + 6 = (-2) 
12 - (-3) = 12 + 3 = 15 
(-20) - 15 = (-20) + (-15) = (-35)
4 - 10 = 4 + (-10) = (-6)

Zamiast odejmować liczbę, można dodać liczbę do niej przeciwną.

7. Zamień na dodawanie i oblicz.
 a. 7 - (-5)
 b. 10 - (-8)
 c. 14 - (-22)
 d. (-3) - (-4)
 e. (-8) - (-12)
 f. (-12) - (-8)
 g. (-7) -5
 h. (-6) - 3

8. Oblicz. Tam, gdzie to wygodne, zamień na dodawanie.
 a. 4 - 7
 b. 7 - 15
 c. 12 - 16
 d. (-3) - 9

  e. (-8) - 12
 f. (-11) - 27
 g. 7 - (-5)
 h. 2 - (-9)

• Obszar położony poniżej poziomu morza nazywamy depresją. Najniżej położone tereny znajdują się wokół Morza Martwego -- jego tafla leży na poziomie -404 m. Kotlina Turfańska w Chinach leży na poziomie -154 m, a jezioro Assal w Etiopii o 4 m wyżej. Tafla Morza Kaspijskiego, które oddzielone jest od innych mórz i oceanów, położona jest 28 metrów poniżej poziomu morza. 25% powierzchni Holandii zajmują depresje. W Polsce depresje występują na Żuławach. Największa na poziomie -1,8 m znajduje się we wsi Raczki Elbląskie.

9 a. Na jakim poziomie położone jest jezioro Assal?
 b. Jaka jest różnica poziomów między taflą Morza Kaspijskiego a wsią Raczki Elbląskie?
 c. A między taflą Morza Martwego a Raczkami Elbląskimi?
 d. Jaka jest różnica poziomów między taflami Morza Martwego oraz Morza Kaspijskiego?

• Nie tylko depresje zapisuje się używając znaku minus. Czasami zapisuje się tak głębokości mórz.

10. Góry i doliny występują także w krajobrazie podmorskim. Najniżej położonym miejscem na ziemi jest Rów Mariański na Oceanie Spokojnym, którego dno jest na poziomie -11 022 m. Nieco płytsze są Ocean Atlantycki: Rów Puerto Rico ma "zaledwie" -9219 m oraz Ocean Indyjski: Rów Jawajski ma -7455 m. Jaka jest różnica poziomów między tymi rowami?

11. Z dna mórz wyrastają góry. Jedną z ciekawszych jest wygasły wulkan Mauna Kea na Hawajach., którego podnóże znajduje się na poziomie -5280 m, a szczyt na wysokości 4205 m n.p.m. Jaka jest całkowita wysokość tej góry? O ile jest ona wyższa od Mount Everestu (8848 m)?

12 a. Które z tych działań dają takie same wyniki?

I	7 + 6  (-7) + 6  7 - 6	6 - 7  (-6) + 7  6 - (-7)
II	(-8) + 43  (-8) - 43  8 - 43	43 - 8  (-43) + 8  (-8) + (-43)
III	27 + 35  (-27) + 35  27 - 35	35 - 27  (-35) + 27  35 - (-27)

 b. Spróbujcie wyjaśnić, dlaczego tak się dzieje.

13. Znajdźcie wynik pierwszego działania. Korzystając z niego, zapiszcie wyniki pozostałych działań.

a.	26 - 18 18 - 26  (-18) + 26	(-26) + 18  26 + (-18)
b.	51 - 62 62 - 51  (-62) + 51	(-51) - (-62)  (-62) - (-51)
c.	48 + 12 (-48) - 12  48 - (-12)	(-48) + (-12)  12 - (-48)

14. Liczbę 30 zapiszcie jako:
 a. sumę dwóch liczb o takich samych znakach,
 b. sumę dwóch liczb o różnych znakach,
 c. różnicę liczb o takich samych znakach,
 d. różnicę liczb o różnych znakach.

15. Liczbę -30 zapiszcie jako:
 a. sumę dwóch liczb o takich samych znakach,
 b. sumę dwóch liczb o różnych znakach,
 c. różnicę liczb o takich samych znakach,
 d. różnicę liczb o różnych znakach.

16. Oblicz.
 a. 5 - 25 + (-5)
 b. (-17) - 35 + (-3)
 c. 72 - 26 - (-28)
 d. (-12) + 95 - 48
 e. (-41) - 192 - 59

Zanim zaczniesz rachować, zastanów się, jak najprościej możesz to zrobić.

f. (-85) - (-124) + (-115)
 g. 29 - (-11) - 52 - (-12)
 h. (-79) - 34 - (-45) - (-34)
 i. (-63) - (-23) + 16
 j. 105 + (-202) + 35 + 15

17. W każdym z zapisów rozmieść nawiasy tak, aby otrzymać równość.
 a. 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = 1

  b. 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = (-9)
 c. 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = (-1)
 d. 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = (-7)

Oblicz: 

1 - (-3)

1 - (-3) - (-5)

1 - (-3) - (-5) - (-7)

Jak będą wyglądały trzy następne takie przykłady? Jakie będą ich wyniki? Czy dostrzegasz jakąś regułę? 

Czy dodawanie zawsze zwiększa, a odejmowanie zawsze zmniejsza? Dlaczego? 

Rano było -2° C. Do południa temperatura wzrosła o -2 stopnie. Ile stopni było w południe? 

Ile to jest 2 - ( - ( - ( - 1 )))? Wymyśl podobną zagadkę. 

• Suma jest o 12 większa od jednego ze składników i o 15 większa od drugiego. Ile wynosi ta suma? 

• Suma jest o 12 większa od jednego ze składników i o 15 mniejsza od drugiego. Ile wynosi ta suma? 

• Suma jest o 12 mniejsza od jednego ze składników i o 15 mniejsza od drugiego. Ile wynosi ta suma?

Czy można ułożyć podobne zagadki o różnicy? Spróbuj. 

Sprawdź Sam Siebie!

1. Oblicz. 
 a. 11 - 17 
 b. (-9) - 11 
 c. 6 - (-4) 
 d. (-8) - (-4) 

2. Oblicz. 
a. 253 - 578 
 b. (-168) - 198 
 c. 512 - (-1208) 
 d. (-763) - (-379) 

3. Jaką liczbę należy odjąć 
 a. od 150, aby otrzymać -258, 
 b. od -150, aby otrzymać -258? 

4. Oblicz, wybierając najprostszy sposób postępowania. 
 a. (-125) - 21 - (-7) - (-18) - 59 
 b. 179 - 25 - (-126) - 292 

Odpowiedzi:

1. a. -6
   b. -20 
   c. 10 
   d. -4 

2. a. -325
   b. -366 
   c. 1720 
   d. -384 

3. a. 408
   b. 108 

a. -180
b. -12

---