1) Zbadać zbieżność całki niewłaściwej

1∫0 [(arctg² x)/(x² * √x)]*dx

f(x)= (arctg² x)/(x²√x) g(x)=1/√x

lim x→0 [(arctg x) ²/(x²√x)]* √x=

=lim x→0 [(arctg x)²/(x²)=1

1∫0 1/√x ←zb. 1/x^p =>p <1

2) Dla jakich wartości parametru aεR

funkcja jest określona wzorem:

f(x,y)=⌠{ a*(√x²+y²) dla x²+y² <=4

{8-(x²+y²) dla x²+y²>4 ⌡

jest ciągła ??

u=x²+y² ; f(u)=a√u ;

lim u→4⁺ a√u=2a ; lim u→4^- 8-u=4

3) Określić dziedzinę funkcji f(x,y)=

ln(2-x²-y²). Zbadać czy jest ona zbiorem

otwartym, domkniętym ograniczonym.

Naszkicować poziomice wykresu funkcji f.

f(x)-ln (2-x²-y²) ; 2-x²-y²>0 ; x²+y²<2

Df={(x,y) εR² : x²+y²<2

-zb. Otwarty

-zb. Ograniczony

n=1

1 = ln(2-x²-y²); ln e=ln(2-x²-y²); e=2-x²-y²;

2-e = x²+y² ;

n=0

0=ln(2-x²-y²); 1 ln 1=ln(2-x²-y²);

1=2-x²-y² ; x²+y²=1

n=n_o

n_o -ln(2-x²-y²); ln e ^no=ln (2-x²-y²);

2- e ^no = x²-y² ;

4) Zbadać zbieżność szeregu warunkowa.

∞∑n=2 (-1)ⁿ *[(n-1)/(n²+5)]

∞∑n=2 |(-1)ⁿ *[(n-1)/(n²+5)] |=

= ∞∑n=2 (n-1)/(n²+5)

z kr. Ilorazowego

a_n=(n-1)/(n²+5); b_n=1/n

lim n→∞ (a_n)/( b_n) = lim n→∞ (n²-n)/(n²-5)=

lim n→∞ (1-1/n)/(1+5/n)=1 ;

a_n= (n-1)/(n²+5); lim n→∞(n-1)/(n²+5)=

= lim n→∞ (1/n-1/n²)/(1+5/n²)=0

a_n+1 - a_n = (n)/(n²+2n+6) - (n-1)/(n²+5) =

=[n³+5n-(n-1)(n2+2n+6)]/[(n²+2n+6)(n²+5)]=

=[n³+5n-n³-2n²-6n+n²+2n+6]/[(n²+2n+6)(n²+5)]=

=[(-n²+n+6)]/[(n²+2n+6)(n²+5)] ;

-n2+n+6<0; ∆=1+24=25; √∆=5, x₁=3 ; x₂=-2 zbieżny

5) Korzystając z definicji obliczyć całkę niewłaściwa

3∫3/2 (dx)/(√(9-x²))= lim A→3^- 3/2∫A (dx)/(√(9-x²))=

= lim A→3^- arc sin (x/3) |^A_3/2=

= lim A→3^-(arc sin (A/3)-arc sin (½))=

=arc sin 1 - arc sin ½ =π/2 - π/6= π/3

6) Korzystajac z kr. Cauchy'ego zbadac zbieznosc szeregu

∞∑n=1 (4ⁿ)/2ⁿ+5ⁿ)

lim n→∞ ⁿ√ [(4n)/(2n+5n)]= lim ⁿ√((4/5)ⁿ) *

* ⁿ√ [(1)/((2/5)ⁿ+1)]= 4/5*1= 4/5 >1 zbiezny

---