Reguły konstrukcji linii pierwiastkowych
Położenie zer układu zamkniętego jest niezależne od wzmocnienia k. Zera UO= zera UZ:
Położenie biegunów układu zamkniętego wynika z warunku fazy oraz amplitudy.
Linie pierwiastkowe mają n-gałęzi, odpowiadających n biegunom układu zamkniętego.
Gałęzie linii pierwiastkowych zaczynają się w biegunach układu otwartego (k=0).
m gałęzi linii dąży do zer układu otwartego, (n-m) dąży do nieskończoności wzdłuż asymptot
.
Kąty nachylenia asymptot wynoszą:
Punkt przecięcia asymptot leży na osi liczb rzeczywistych w punkcie o współrzędnej:
Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych.
Do linii pierwiastkowej należą te fragmenty osi l. rzeczywistych, na prawo od których leży nieparzysta liczba zer i biegunów (z uwzględnieniem ich krotności) układu otwartego.
Punkty dojścia i odejścia od osi l. rzeczywistych spełniają równanie:
gdzie:
Jeżeli (n-m)>=2 suma biegunów układu otwartego równa się sumie biegunów układu zamkniętego (reguła sumowania).
Jeżeli układ otwarty ma zero w początku układu współrzędnych (zi=0) iloczyn biegunów układu otwartego równa się iloczynowi biegunów układu zamkniętego (reguła mnożenia).
Wzmocnienie k dla danego punktu linii pierwiastkowej si' (biegun układu zamkniętego) można wyznaczyć z warunku modułu:
Pełne wzmocnienie układu, dla danego k można wyznaczyć ze wzoru:
Współrzędne przecięcia linii pierwiastkowych z osią l. urojonych (utrata stabilności) można wyznaczyć wstawiając do warunku modułu s=jω. Dodatkowo można również wyznaczyć wartość wzmocnienia granicznego.
Kąty dojścia i odejścia linii pierwiastkowych do/od osi liczb rzeczywistych dla wielokrotnych biegunów są określone tak jak kąty w pkt.6.