Reguły konstrukcji linii pierwiastkowych

1. Położenie zer układu zamkniętego jest niezależne od wzmocnienia k. Zera UO= zera UZ: K( s)

L( s)

G( s) =

=

1+ K( s)

L( s) + M( s) 2. Położenie biegunów układu zamkniętego wynika z warunku fazy oraz amplitudy.

3. Linie pierwiastkowe mają n-gałęzi, odpowiadających n biegunom układu zamkniętego.

4. Gałęzie linii pierwiastkowych zaczynają się w biegunach układu otwartego (k=0).

5. m gałęzi linii dąży do zer układu otwartego, (n-m) dąży do nieskończoności wzdłuż asymptot ( k → ∞) .

6. Kąty nachylenia asymptot wynoszą: π + l( −

α =

)

1 2π l = ,1 ,2..., n − m l

n − m

Punkt przecięcia asymptot leży na osi liczb rzeczywistych w punkcie o współrzędnej: n

m

∑ s − ∑ z

i

i

q = 1

1

n − m

7. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych.

8. Do linii pierwiastkowej należą te fragmenty osi l. rzeczywistych, na prawo od których leży nieparzysta liczba zer i biegunów (z uwzględnieniem ich krotności) układu otwartego.

9. Punkty dojścia i odejścia od osi l. rzeczywistych spełniają równanie: dk s

n

m

( ) =

1

1

0 lub ∑

− ∑

= 0

ds

s

1

− s

s

1

− z

i

j

M( s)

gdzie: k( s) = −

L( s)

10. Jeżeli ( n-m)>=2 suma biegunów układu otwartego równa się sumie biegunów układu zamkniętego (reguła sumowania).

11. Jeżeli układ otwarty ma zero w początku układu współrzędnych ( z i=0) iloczyn biegunów układu otwartego równa się iloczynowi biegunów układu zamkniętego (reguła mnożenia).

12. Wzmocnienie k dla danego punktu linii pierwiastkowej s ’i (biegun układu zamkniętego) można wyznaczyć z warunku modułu:

n

∏| s' − s |

i

i

k = 1

m

∏| s' − z |

i

i

1

13. Pełne wzmocnienie układu, dla danego k można wyznaczyć ze wzoru: m

∏| z | i

k = k 1

0

n

∏| s | i

1

14. Współrzędne przecięcia linii pierwiastkowych z osią l. urojonych (utrata stabilności) można wyznaczyć wstawiając do warunku modułu s=jω . Dodatkowo można również wyznaczyć wartość wzmocnienia granicznego.

15. Kąty dojścia i odejścia linii pierwiastkowych do/od osi liczb rzeczywistych dla wielokrotnych biegunów są określone tak jak kąty w pkt.6.