Metoda linii pierwiastkowych

Program ćwiczenia.

1. Analiza układów regulacji z wykorzystaniem metody linii pierwiastkowych.

1.1. Wpływ położenia biegunów.
Dla układu regulacji przedstawionego na rys.1 składającego się z elementu III-go rzędu:

( )

K s

k

w(t)

e(t)

y(t)

(

)(

)(

)

( )

s p

s p

s p

=

−

−

−

1

2

1

K s

(1)

3

przebadaj zależność przebiegu linii pierwiastkowych od charakteru
biegunów układu otwartego (zespolone, rzeczywiste, wielokrotne).
Zaznacz kąt nachylenia asymptot

a

ϕ

oraz centroid

a

σ

.

Obiekt (1) powinien być stabilny.

Rys.1. Schemat blokowy układu
regulacji.

1.2. Wpływ położenia zera.
Wprowadź do obiektu (1) zero „ ”:

1

z

(

)(

)(

)

1

1

2

( )

s z

K s

s p

s p

s p

3

−

=

−

−

−

, (2)

a następnie przeanalizuj wpływ położenia zera transmitancji układu otwartego na przebieg linii
pierwiastkowych.

1.3. Wpływ wzmocnienia w pętli sprzężenia zwrotnego.
W układzie z rys. 1 przyjmij transmitancję układu otwartego (stabilnego) w postaci:

(

)(

)

( )

.

K s

s s p

s p

=

−

−

1

2

1

(3)

Wyrysuj linie pierwiastkowe układu zamkniętego oraz dobierz wzmocnienie tak aby:

k

a) odpowiedź stabilnego układu zamkniętego na skok jednostkowy była aperiodyczna,
b) odpowiedź układu zamkniętego na skok jednostkowy była oscylacyjna,
c) układ zamknięty znalazł się na granicy stabilności Æ

gr

k k

=

,

d) układ zamknięty był niestabilny Æ

gr

k k

>

.

Znajdź wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego przy wybranym wzmocnieniu. Narysuj
charakterystykę amplitudowo-fazową układu oraz odpowiedź układu zamkniętego na skokową zmianę wartości
zadanej

.

( )

w t

2. Korekcja układów regulacji automatycznej.

2.1. Układ bez korekcji.
Dla układu regulacji z rys.1 o transmitancji obiektu takiej jak w punkcie 1.3 wykreśl przebieg linii

pierwiastkowych. Wybierz wzmocnienie:

•

gr

k

k

∗

<

1

- takie, że układ zamknięty nie spełnia wymagań przed nim stawianych (rys.3 - przed

korekcją), takich jak: stopień stabilności, stopień oscylacyjności (np.:

o

η η

> ,

o

µ µ

<

);

•

gr

k

k

∗

<

2

- takie, że układ zamknięty spełnia powyższe wymagania (jeśli jest to możliwe).

Znajdź wszystkie pierwiastki odpowiadające danemu wzmocnieniu k

i

∗

(

,

i

= 1 2) oraz zaznacz „obszar

niedozwolony”. Wprowadź wyznaczone wzmocnienie

i

k

∗

do układu, a następnie wykreśl odpowiedź skokową

układu zamkniętego.

Po korekcji

( )

K s

w(t)

e(t)

y(t)

k

∗

Korektor

Im s

i

Re s

i

Im s

i

Re s

i

- pierwiastki równania charakterystycznego

Przed korekcją

Po korekcji

1

k

∗

2

k

∗

, ,

Rys.2. Schemat układu regulacji

Rys.3. Przykład rozkładu pierwiastków

po korekcji.

równania charakterystycznego układu zamkniętego
z rys.2. przed korekcją i po korekcji.

2.2. Układ z korekcją.
Dobierz szeregowo dołączony człon korekcyjny typu PD (rys. 2) o transmitancji:

( )

1

,

1

1

k

k

k

sT

K s

s T

α

α

+

=

<

+

(4)

poprawiający działanie układu. Dobierz jego parametry wykorzystując metodę „skreślania zer i biegunów”.
Wyrysuj linie pierwiastkowe układu zamkniętego i wybierz wzmocnienie k tak aby układ spełniał
wymagania z pkt.2.1. Zaznacz pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego dla tego
wzmocnienia. Wykreśl odpowiedź skokową zamkniętego układu regulacji po korekcji i porównaj ją z
odpowiedziami układu bez korektora (pkt.2.1).

∗

3

3. Wpływ stałej czasowej.

W układzie przedstawionym na rys. 1 przyjmij obiekt regulacji w postaci:

( )

(

)(

)

1

1

1

o

sT

K s

s

s

sT

+

=

+

+

; , dane

o

k T

−

(5)

Przeprowadź analizę wpływu stałej czasowej T na własności układu zamkniętego. Wykorzystując metodę linii
pierwiastkowych przedstaw rozkład pierwiastków równania charakterystycznego układu zamkniętego
w zależności od wartości parametru T.

Wskazówka: Doprowadź równanie charakterystyczne układu zamkniętego do następującej postaci:

( )

TG s

1

0

+

=

(6)

4. Sprawozdanie.
Sprawozdanie powinno zawierać:

• teoretyczne wyliczenia wartości poszczególnych wielkości charakterystycznych linii pierwiastkowych:

kąty nachylenia asymptot, parametry środka ciężkości

• w pełni opisane rysunki z przebiegami linii pierwiastkowych (zaznaczone środki ciężkości, asymptoty) i

odpowiedzi skokowych

• poszukiwane wartości wzmocnień oraz odpowiadające im pierwiastki równania charakterystycznego

układu zamkniętego

• przebieg linii pierwiastkowych, odczytane wartości pierwiastków układu zamkniętego oraz odpowiedzi

skokowe układu przed oraz po korekcji

• analityczne przekształcenia dla wpływu stałej czasowej umożliwiające zastosowanie metody linii

pierwiastkowych

• szczegółowe omówienie uzyskanych rezultatów oraz wnioski

Polecenia Matlab’a:

rlocus(G,k) – zaznacza pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego dla wzmocnienia k.

Zadania kontrolne przed przystąpieniem do ćwiczenia:

narysować linie pierwiastkowe dla układu

przedstawionego na rys.1.
Przykładowe transmitancje obiektu

:

( )

K s

1)

(

)

(

) (

)(

)

2

4

( )

1

3

s

K s

s

s

s

+

=

2

+

+

+

2)

(

)(

)

(

)

2

3

( )

1

s

s

K s

s s

+

+

=

+

3)

(

)

(

)

2

4

( )

5

4

s

K s

s s

+

=





+

+





4)

(

)(

)

(

)

(

)

2

2

4

( )

2

2

3

s

s

K s

s

s

s

+

+

=

+

+

+