Opracował: dr in

ż

. Mariusz Leus

- 1 -

T: Wyznaczanie odkształce

ń

belek zginanych. Równanie ró

ż

niczkowe linii ugi

ę

cia

belki – metoda Clebscha

Zadanie 1.

Dla belki podpartej i obci

ąż

onej jak na rys. wyznaczy

ć

ugi

ę

cie w punkcie C i k

ą

t obrotu w punkcie D.

Dane: a, q, M = qa

2

, P = 2qa, EJ = const

Szukane:

?

=

C

y

;

?

=

Θ

D

1. Równania równowagi

1)

0

=

∑

A

M

;

0

3

2

2

1

2

=

⋅

+

⋅

−

+

a

P

a

R

M

qa

B

;

0

3

2

2

2

1

2

2

=

⋅

+

⋅

−

+

a

qa

a

R

qa

qa

B

;

2

2

15

2

qa

a

R

B

=

⋅

;

qa

R

B

4

3

3

=

2)

0

=

∑

B

M

;

0

2

2

3

2

=

⋅

+

⋅

+

+

−

a

P

a

R

M

qa

A

;

0

2

2

2

3

2

2

=

⋅

+

⋅

+

+

−

a

qa

a

R

qa

qa

A

;

2

2

3

2

qa

a

R

A

−

=

⋅

;

qa

R

A

4

3

−

=

Sprawdzenie:

0

2

4

3

3

4

3

=

−

−

+

−

=

−

−

+

=

∑

qa

qa

qa

qa

P

qa

R

R

F

B

A

y

2. Momenty gn

ą

ce w poszczególnych przedziałach

1) Przedział I:

a

x

≤

≤

1

0

( )

2

2

1

1

1

x

q

x

R

M

A

x

g

⋅

−

⋅

=

2) Przedział II:

a

x

a

2

2

≤

≤

( )

(

)

(

)

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a

x

M

a

x

q

x

q

x

R

M

A

x

g

−

+

−

+

⋅

−

⋅

=

Opracował: dr in

ż

. Mariusz Leus

- 2 -

3) Przedział III:

a

x

a

3

2

3

≤

≤

( )

(

)

(

)

(

)

a

x

R

a

x

M

a

x

q

x

q

x

R

M

B

A

x

g

2

2

2

3

0

3

2

3

2

3

3

3

−

+

−

+

−

+

⋅

−

⋅

=

3. Równania ró

ż

niczkowe dla poszczególnych przedziałów

Przedział I:

1)

2

2

1

1

2

1

1

2

x

q

x

R

EJ

dx

y

d

A

⋅

+

⋅

−

=

⋅

2)

C

x

q

x

R

EJ

dx

dy

A

+

⋅

+

⋅

−

=

⋅

6

2

3

1

2

1

1

1

3)

D

x

C

x

q

x

R

EJ

y

A

+

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

⋅

1

4

1

3

1

24

6

1

Przedział II:

4)

(

)

(

)

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a

x

M

a

x

q

x

q

x

R

EJ

dx

y

d

A

−

−

−

−

⋅

+

⋅

−

=

⋅

5)

(

)

(

)

C

a

x

M

a

x

q

x

q

x

R

EJ

dx

dy

A

+

−

−

−

−

⋅

+

⋅

−

=

⋅

2

3

2

3

2

2

2

2

2

6

6

2

6)

(

)

(

)

D

x

C

a

x

M

a

x

q

x

q

x

R

EJ

y

A

+

⋅

+

−

−

−

−

⋅

+

⋅

−

=

⋅

2

2

2

4

2

4

2

3

2

2

2

24

24

6

Przedział II:

7)

(

)

(

)

(

)

a

x

R

a

x

M

a

x

q

x

q

x

R

EJ

dx

y

d

B

A

2

2

2

3

0

3

2

3

2

3

3

2

3

3

2

−

−

−

−

−

−

⋅

+

⋅

−

=

⋅

8)

(

)

(

)

(

)

C

a

x

R

a

x

M

a

x

q

x

q

x

R

EJ

dx

dy

B

A

+

−

−

−

−

−

−

⋅

+

⋅

−

=

⋅

2

2

6

6

2

2

3

3

3

3

3

3

2

3

3

3

9)

(

)

(

)

(

)

D

x

C

a

x

R

a

x

M

a

x

q

x

q

x

R

EJ

y

B

A

+

⋅

+

−

−

−

−

−

−

⋅

+

⋅

−

=

⋅

3

3

3

2

3

4

3

4

3

3

3

3

6

2

2

24

24

6

4. Wyznaczenie stałych całkowania

dla x

1

= 0

→

y

1

= 0 z równania nr 3 otrzymujemy: D = 0

dla x

2

= 2a

→

y

2

= 0 z równania nr 6 otrzymujemy

( )

( )

(

)

(

)

0

2

2

2

24

2

24

2

6

2

4

3

0

2

2

4

4

3

+

⋅

+

−

−

−

−

+

⋅













−

−

=

a

C

a

a

qa

a

a

q

a

q

a

qa

a

C

qa

qa

qa

qa

2

2

1

24

1

24

16

24

24

0

4

4

4

4

⋅

+

−

−

+

=

4

24

27

2

qa

a

C

−

=

⋅

3

16

9

qa

C

−

=

5. Wyznaczenie ugi

ę

cia w punkcie C (y

C

)

dla x

1

= a

→

z równania nr 3 otrzymujemy

1

y

y

C

=

D

x

C

x

q

x

R

EJ

y

A

C

+

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

⋅

1

4

1

3

24

6

1

Opracował: dr in

ż

. Mariusz Leus

- 3 -

0

16

9

24

6

4

3

3

4

3

+

⋅













−

+

⋅

+

⋅













−

−

=

⋅

a

qa

a

q

a

qa

EJ

y

C

4

4

4

16

9

24

1

24

3

qa

qa

qa

EJ

y

C

−

+

=

⋅

4

4

4

48

27

48

2

48

6

qa

qa

qa

EJ

y

C

−

+

=

⋅

EJ

qa

y

C

48

19

4

−

=

6. Wyznaczenie k

ą

ta obrotu w punkcie D (

D

Θ

)

dla x

3

= 3a

→

z równania nr 8 otrzymujemy

3

3

dx

dy

D

=

Θ

(

)

(

)

(

)

C

a

x

R

a

x

M

a

x

q

x

q

x

R

EJ

C

A

D

+

−

−

−

−

−

−

⋅

+

⋅

−

=

⋅

Θ

2

2

6

6

2

2

3

3

3

3

3

3

2

3

( )

( )

(

)

(

)

(

)

3

2

2

3

3

2

16

9

2

2

3

4

3

3

3

6

3

6

3

2

3

4

3

qa

a

a

qa

a

a

qa

a

a

q

a

q

a

qa

EJ

D

−

−

⋅

−

−

⋅

−

−

−

⋅

+

⋅













−

−

=

⋅

Θ

3

3

2

3

3

3

16

9

8

15

2

6

8

6

27

8

27

qa

qa

qa

qa

qa

qa

EJ

D

−

−

−

−

+

=

⋅

Θ

3

3

2

3

3

3

48

27

48

90

2

48

64

48

216

48

162

qa

qa

qa

qa

qa

qa

EJ

D

−

−

−

−

+

=

⋅

Θ

EJ

qa

D

48

101

3

=

Θ