Politechnika Śląska Gliwice, 2006/2007

Wydział: Automatyki, Elektroniki i Informatyki Semestr: 6 (letni)

Kierunek: Automatyka i robotyka

Podstawy Automatyki

– laboratorium

Ćw 4. Metoda linii pierwiastkowych.

Data ćwiczeń laboratoryjnych: 14.03.2007

Grupa: 1

Sekcja: 3

Skład osobowy sekcji:

Zięba Andrzej

Bojko Marcin

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było przyswojenie analizy układów regulacji przy użyciu metody linii pierwiastkowych, oraz zbadanie wpływu wartości parametrów transmitancji na charakter układu regulacji. W ramach laboratorium należało również zbadać wpływ stosowania korektora PD na układ regulacji.

2. Program ćwiczenia:

1. Analiza układów regulacji z wykorzystaniem metody linii pierwiastkowych.

1.1. Wpływ położenia biegunów.

Dla układu regulacji przedstawionego na rys.1 składającego się z elementu III-go rzędu:

Rysunek 1. Schemat blokowy UR.

przebadaj zależność przebiegu linii pierwiastkowych od charakteru biegunów układu otwartego (zespolone, rzeczywiste, wielokrotne). Zaznacz kąt nachylenia asymptot oraz centroid. Obiekt (1) powinien być stabilny.

1.2. Wpływ położenia zera.

Wprowadź do obiektu (1) zero „z₁”:

a następnie przeanalizuj wpływ położenia zera transmitancji układu otwartego na przebieg linii pierwiastkowych.

1.3. Wpływ wzmocnienia w pętli sprzężenia zwrotnego.

W układzie z rys. 1 przyjmij transmitancję układu otwartego (stabilnego) w postaci:

Wyrysuj linie pierwiastkowe układu zamkniętego oraz dobierz wzmocnienie k tak aby:

a) odpowiedź stabilnego układu zamkniętego na skok jednostkowy była aperiodyczna,

b) odpowiedź układu zamkniętego na skok jednostkowy była oscylacyjna,

c) układ zamknięty znalazł się na granicy stabilności (k = k_gr),

d) układ zamknięty był niestabilny (k > k_gr).

Znajdź wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego przy wybranym wzmocnieniu. Narysuj charakterystykę amplitudowo-fazową układu oraz odpowiedź układu zamkniętego na skokową zmianę wartości zadanej w(t).

2. Korekcja układów regulacji automatycznej.

2.1. Układ bez korekcji.

Dla układu regulacji z rys.1 o transmitancji obiektu takiej jak w punkcie 1.3 wykreśl przebieg linii pierwiastkowych. Wybierz wzmocnienie:

• k₁ < k_gr – takie, że układ zamknięty nie spełnia wymagań przed nim stawianych, takich jak: stopień stabilności, stopień oscylacyjności;

• k₂ < k_gr – takie, że układ zamknięty spełnia powyższe wymagania.

Znajdź wszystkie pierwiastki odpowiadające danemu wzmocnieniu oraz zaznacz „obszar niedozwolony”. Wprowadź wyznaczone wzmocnienia do układu, a następnie wykreśl odpowiedź skokową układu zamkniętego.

2.2. Układ z korekcją.

Dobierz szeregowo dołączony człon korekcyjny typu PD (rys. 2) o transmitancji:

Rysunek 2. Schemat UR po korekcji.

poprawiający działanie układu. Dobierz jego parametry wykorzystując metodę „skreślania zer i biegunów”. Wyrysuj linie pierwiastkowe układu zamkniętego i wybierz wzmocnienie k tak aby układ spełniał wymagania z pkt.2.1. Zaznacz pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego dla tego wzmocnienia. Wykreśl odpowiedź skokową zamkniętego układu regulacji po korekcji i porównaj ją z odpowiedziami układu bez korektora (pkt.2.1).

3. Wpływ stałej czasowej.

W układzie przedstawionym na rys. 1 przyjmij obiekt regulacji w postaci:

Przeprowadź analizę wpływu stałej czasowej T na własności układu zamkniętego. Wykorzystując metodę linii pierwiastkowych przedstaw rozkład pierwiastków równania charakterystycznego układu zamkniętego w zależności od wartości parametru T.

3. Realizacja zadań:

Ad 1. Analiza układów regulacji z wykorzystaniem metody linii pierwiastkowych.

Kod źródłowy programu:

close all;

clear all;

clc;

% Wprowadzenie transmitancji:

s=tf('s');

disp('Wprowadz transmitancje obiektu:');

Ko=minreal(input('K(s) = '))

% Wyrysowanie przebiegow linii pierwiastkowych:

figure;

rlocus(Ko,'k');

hold on;

xl=xlim;

yl=ylim;

xlim(xl);

ylim(yl);

% Wyznaczenie i wyrysowanie asymptot:

[Zera,Bieguny]=zpkdata(Ko,'v');

[L_Z]=size(Zera);

[L_B]=size(Bieguny);

L_Z=L_Z(1);

L_B=L_B(1);

sum_B=0;

sum_Z=0;

if L_B>0

v=0;

v(1: size(Bieguny))=1;

sum_B=Bieguny'*v';

end

if L_Z>0

v=0;

v(1: size(Zera))=1;

sum_Z=Zera'*v';

end

if L_B-L_Z>0

h=(sum_B-sum_Z)/(L_B-L_Z);

disp(['Punkt przeciecia asymptot: (',num2str(h),',0i)']);

disp(' ');

disp('Katy nachylenia asymptot:');

v=0;

for i=1: 2: L_B-L_Z

v((i+1)/2)=180*i/(L_B-L_Z);

disp(['+- ',num2str(v((i+1)/2)),' stopni']);

if v((i+1)/2)<90

plot([h xl(2)],[0 xl(2)-h]*tan(v((i+1)/2)*pi/180),':k');

plot([h xl(2)],[0 xl(2)-h]*tan(v((i+1)/2)*pi/180)*(-1),':k');

end

if v((i+1)/2)>90 && v((i+1)/2)~=180

plot([h xl(1)],[0 xl(1)-h]*tan(v((i+1)/2)*pi/180),':k');

plot([h xl(1)],[0 xl(1)-h]*tan(v((i+1)/2)*pi/180)*(-1),':k');

end

if v((i+1)/2)==90

plot([h h],yl,':k');

end

if v((i+1)/2)==180

plot([xl(1) h],[0 0],':k');

end

end

plot(h,0,'dk');

else

disp('Brak asymptot.');

end

title('Root Locus','Fontsize',14);

xlabel('Real Axis','Fontsize',12);

ylabel('Imaginary Axis','Fontsize',12);

% Wprowadzenie wzmocnienia do ukladu i zaznaczenie pierwiastkow dla danego wzm.:

disp(' ');

k=input('Podaj wzmocnienie: k = ');

rlocus(Ko,'pk',k);

% Wyznaczenie pierwiastkow rownania charakterystycznego ukladu zamknietego:

K=minreal(k*Ko/(1+k*Ko));

[ZERA,BIEGUNY]=zpkdata(K,'v');

disp(' ');

disp('Pierwiastki rownania charakterystycznego ukladu zamknietego:');

disp(num2str(BIEGUNY'));

% Wyrysowanie charakterystyki ampli.-faz. i odpowiedzi skokowej:

figure;

nyquist(k*Ko,'k');

title('Nyquist Diagram','Fontsize',14);

xlabel('Real Axis','Fontsize',12);

ylabel('Imaginary Axis','Fontsize',12);

figure;

step(K,'k');

hold on;

title('Step Response','Fontsize',14);

xlabel('Time','Fontsize',12);

ylabel('Amplitude','Fontsize',12);

Oznaczenia:

• pierwiastek równania charakterystycznego obiektu

• centroida (punkt przecięcia asymptot)

• pierwiastek równania charakterystycznego UR dla wzmocnienia k

Ad 1.1.

a) p₁ = -1, p₂ = -2, p₃ = -4.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = 1/(s+1)/(s+2)/(s+4)

Transfer function:

1

----------------------

s^3 + 7 s^2 + 14 s + 8

Punkt przeciecia asymptot: (-2.3333,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 60 stopni

+- 180 stopni

b) p₁ = -2, p₂ = -2, p₃ = -4.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = 1/(s+2)/(s+2)/(s+4)

Transfer function:

1

-----------------------

s^3 + 8 s^2 + 20 s + 16

Punkt przeciecia asymptot: (-2.6667,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 60 stopni

+- 180 stopni

c) p₁ = -2, p₂ = -2, p₃ = -2.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = 1/(s+2)/(s+2)/(s+2)

Transfer function:

1

----------------------

s^3 + 6 s^2 + 12 s + 8

Punkt przeciecia asymptot: (-2,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 60 stopni

+- 180 stopni

d) p₁ = -2, p₂ = -1 + 1i, p₃ = -1 - 1i.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = 1/(s+2)/(s^2+2*s+2)

Transfer function:

1

---------------------

s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4

Punkt przeciecia asymptot: (-1.3333,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 60 stopni

+- 180 stopni

Wnioski:

• Dla transmitancji obiektu określonej wzorem (1) kąty nachylenia asymptot są stałe i nie zależą od wartości przyjętych pierwiastków.

• Dla transmitancji obiektu określonej wzorem (1) położenie centroidy na osi liczb rzeczywistych jest uwarunkowane przez średnią arytmetyczną pierwiastków równania charakterystycznego obiektu.

• Tylko w przypadku kiedy pierwiastki równania charakterystycznego omawianej transmitancji obiektu są rzeczywiste możliwe jest dobranie wartości wzmocnienia k (dla k mniejszego od pewnej wartości zależnej od rozkładu tych pierwiastków), w taki sposób aby układ zamknięty był aperiodyczny. W pozostałych przypadkach układ zamknięty jest periodyczny.

• Dla tak przyjętej transmitancji obiektu zawsze istnieje pewna wartość graniczna wzmocnienia k_gr dla której układ zamknięty przestaje być stabilny.

Ad 1.2.

a) p₁ = -2, p₂ = -4, p₃ = -6, z₁ = -1.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = (s+1)/(s+2)/(s+4)/(s+6)

Transfer function:

s + 1

------------------------

s^3 + 12 s^2 + 44 s + 48

Punkt przeciecia asymptot: (-5.5,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 90 stopni

b) p₁ = -2, p₂ = -4, p₃ = -6, z₁ = -3.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = (s+3)/(s+2)/(s+4)/(s+6)

Transfer function:

s + 3

------------------------

s^3 + 12 s^2 + 44 s + 48

Punkt przeciecia asymptot: (-4.5,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 90 stopni

c) p₁ = -2, p₂ = -4, p₃ = -6, z₁ = -5.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = (s+5)/(s+2)/(s+4)/(s+6)

Transfer function:

s + 5

------------------------

s^3 + 12 s^2 + 44 s + 48

Punkt przeciecia asymptot: (-3.5,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 90 stopni

d) p₁ = -2, p₂ = -4, p₃ = -6, z₁ = -10.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = (s+10)/(s+2)/(s+4)/(s+6)

Transfer function:

s + 10

------------------------

s^3 + 12 s^2 + 44 s + 48

Punkt przeciecia asymptot: (-1,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 90 stopni

e) p₁ = -2, p₂ = -4, p₃ = -6, z₁ = -20.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = (s+20)/(s+2)/(s+4)/(s+6)

Transfer function:

s + 20

------------------------

s^3 + 12 s^2 + 44 s + 48

Punkt przeciecia asymptot: (4,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 90 stopni

f) p₁ = -2, p₂ = -4, p₃ = -6, z₁ = +1.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = (s-1)/(s+2)/(s+4)/(s+6)

Transfer function:

s - 1

------------------------

s^3 + 12 s^2 + 44 s + 48

Punkt przeciecia asymptot: (-6.5,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 90 stopni

g) p₁ = -1 + 1i, p₂ = -1 - 1i, p₃ = -2, z₁ = -0.5.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = (s+0.5)/(s^2+2*s+2)/(s+2)

Transfer function:

s + 0.5

---------------------

s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4

Punkt przeciecia asymptot: (-1.75,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 90 stopni

Wnioski:

• Dla transmitancji obiektu określonej wzorem (1) kąty nachylenia asymptot są stałe i nie zależą od wartości przyjętych pierwiastków ani zera.

• Jeżeli wprowadzone do układu otwartego zero zawiera się w przedziale to zamknięty układ regulacji jest stabilny dla dowolnego wzmocnienia. W przeciwnym razie istnieje pewne wzmocnienie graniczne k_gr poniżej którego układ jest stabilny.

• Powyżej pewnej wartości wzmocnienia dla której występuje para sprzężonych pierwiastków równania charakterystycznego dla układu zamkniętego ze wzrostem wzmocnienia można wyróżnić dwie sytuacje. Gdy pierwiastek rzeczywisty przesuwa się w lewo to zespolone w prawo, a gdy pierwiastek rzeczywisty przesuwa się w prawo to zespolone w lewo.

Ad 1.3.

a) p₁ = -4, p₂ = -5, k = 12.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = 1/s/(s+4)/(s+5)

Transfer function:

1

------------------

s^3 + 9 s^2 + 20 s

Punkt przeciecia asymptot: (-3,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 60 stopni

+- 180 stopni

Podaj wzmocnienie: k = 12

Pierwiastki rownania charakterystycznego ukladu zamknietego:

-6

-2

-1

b) p₁ = -4, p₂ = -5, k = 100.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = 1/s/(s+4)/(s+5)

Transfer function:

1

------------------

s^3 + 9 s^2 + 20 s

Punkt przeciecia asymptot: (-3,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 60 stopni

+- 180 stopni

Podaj wzmocnienie: k = 100

Pierwiastki rownania charakterystycznego ukladu zamknietego:

-8.0581

-0.47096-3.4911i

-0.47096+3.4911i

c) p₁ = -4, p₂ = -5, k = 180.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = 1/s/(s+4)/(s+5)

Transfer function:

1

------------------

s^3 + 9 s^2 + 20 s

Punkt przeciecia asymptot: (-3,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 60 stopni

+- 180 stopni

Podaj wzmocnienie: k = 180

Pierwiastki rownania charakterystycznego ukladu zamknietego:

-9

-5.218e-015-4.4721i

-5.218e-015+4.4721i

d) p₁ = -4, p₂ = -5, k = 500.

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = 1/s/(s+4)/(s+5)

Transfer function:

1

------------------

s^3 + 9 s^2 + 20 s

Punkt przeciecia asymptot: (-3,0i)

Katy nachylenia asymptot:

+- 60 stopni

+- 180 stopni

Podaj wzmocnienie: k = 500

Pierwiastki rownania charakterystycznego ukladu zamknietego:

-11.2002

1.10008-6.5903i

1.10008+6.5903i

Wnioski:

• Ze wzrostem wzmocnienia do pewnej granicy polepsza się jakość regulacji następnie w momencie pojawienia się oscylacji maleje, aż do utraty stabilności układu.

Ad 2. Korekcja układów regulacji automatycznej.

Kod źródłowy programu:

close all;

clear all;

clc;

% Wprowadzenie transmitancji:

s=tf('s');

disp('Wprowadz transmitancje obiektu:');

Ko=minreal(input('K(s) = '))

% Wyrysowanie przebiegow linii pierwiastkowych:

rlocus(Ko,'k');

hold on;

xl=xlim;

yl=ylim;

xlim(xl);

ylim(yl);

title('Root Locus','Fontsize',14);

xlabel('Real Axis','Fontsize',12);

ylabel('Imaginary Axis','Fontsize',12);

% Wprowadzenie wymagan:

disp('Wprowadz wymagania:');

st_stab=input('Stopien stabilnosci: ');

st_oscy=input('Stopien oscylacyjnosci: ');

% Zaznaczenie obszaru niespelniajacego wymagan:

fill([xl(1) -st_stab -st_stab xl(1) xl(2) xl(2)],...

[-xl(1)*st_oscy st_stab*st_oscy -st_stab*st_oscy xl(1)*st_oscy yl(1) yl(2)],'k',...

'EdgeColor',[0.9 0.9 0.9],'FaceColor',[0.9 0.9 0.9]);

plot(xl,[0 0],':k',[0 0],yl,':k');

rlocus(Ko,'k');

set(gca,'Layer','top');

% Wprowadzenie wzmocnien do ukladu:

disp(' ');

disp('Wprowadz wzmocnienia:');

k1=input('Wprowadz wzmocnienie niespelniajace wymagan: k1 = ');

k2=input('Wprowadz wzmocnienie spelniajace wymagania: k2 = ');

% Wyrysowanie rozkladu pierwiastkow dla wprowadzonych wzmocnien:

rlocus(Ko,'sk',k1);

rlocus(Ko,'pk',k2);

% Wyznaczenie pierwiastkow r. char. ukl. zamknietego i wyrysowanie

% przebiegow odpowiedzi skokowej dla danych wzmocnien:

K1=minreal(k1*Ko/(1+k1*Ko));

K2=minreal(k2*Ko/(1+k2*Ko));

[ZERA1,BIEGUNY1]=zpkdata(K1,'v');

[ZERA2,BIEGUNY2]=zpkdata(K2,'v');

disp(' ');

disp('Pierwiastki row. char. dla k1:');

disp(num2str(BIEGUNY1));

disp('Pierwiastki row. char. dla k2:');

disp(num2str(BIEGUNY2));

figure;

step(K1);

title('Step Response for k1','Fontsize',14);

xlabel('Time','Fontsize',12);

ylabel('Amplitude','Fontsize',12);

figure;

step(K2);

title('Step Response for k2','Fontsize',14);

xlabel('Time','Fontsize',12);

ylabel('Amplitude','Fontsize',12);

% Wprowadzenie transmitancji korektora:

disp(' ');

disp('Wprowadz transmitancje korektora:');

Kk=minreal(input('Kk(s) = '))

Kok=minreal(Kk*Ko);

% Wyrysowanie rozkladu pierwiastkow po korekcji:

figure;

rlocus(Kok,'k');

title('Root Locus','Fontsize',14);

xlabel('Real Axis','Fontsize',12);

ylabel('Imaginary Axis','Fontsize',12);

hold on;

fill([xl(1) -st_stab -st_stab xl(1) xl(2) xl(2)],...

[-xl(1)*st_oscy st_stab*st_oscy -st_stab*st_oscy xl(1)*st_oscy yl(1) yl(2)],'k',...

'EdgeColor',[0.9 0.9 0.9],'FaceColor',[0.9 0.9 0.9]);

xlim(xl);

ylim(yl);

plot(xl,[0 0],':k',[0 0],yl,':k');

rlocus(Kok,'k');

set(gca,'Layer','top');

% Wyrysowanie rozkladu pierwiastkow dla wprowadzonych wzmocnien:

rlocus(Kok,'sk',k1);

rlocus(Kok,'pk',k2);

% Wyznaczenie pierwiastkow r. char. ukl. zamknietego i wyrysowanie

% przebiegow odpowiedzi skokowej dla danych wzmocnien:

K1k=minreal(k1*Kok/(1+k1*Kok));

K2k=minreal(k2*Kok/(1+k2*Kok));

[ZERA1k,BIEGUNY1k]=zpkdata(K1k,'v');

[ZERA2k,BIEGUNY2k]=zpkdata(K2k,'v');

disp(' ');

disp('Pierwiastki row. char. dla k1:');

disp(num2str(BIEGUNY1k));

disp('Pierwiastki row. char. dla k2:');

disp(num2str(BIEGUNY2k));

figure;

step(K1k);

title('Step Response for k1','Fontsize',14);

xlabel('Time','Fontsize',12);

ylabel('Amplitude','Fontsize',12);

figure;

step(K2k);

title('Step Response for k2','Fontsize',14);

xlabel('Time','Fontsize',12);

ylabel('Amplitude','Fontsize',12);

W przykładzie tym korektorem poprawiono jakość regulacji dla obu wartości wzmocnień z punktu 2.1. czyli dla wzmocnienia przy którym spełnione są narzucone wymagania oraz dla wzmocnienia przy którym te wymagania nie są spełnione.

Parametry obiektu: p₁ = -4, p₂ = -5.

Parametry korektora: T_k = 0.2, α = 0.05.

Wybrane wzmocnienia: k₁ = 50, k₂ = 20.

Oznaczenia:

• pierwiastek równania charakterystycznego obiektu

• pierwiastek równania charakterystycznego UR dla wzmocnienia k1

• pierwiastek równania charakterystycznego UR dla wzmocnienia k2

Wynik działania programu:

Wprowadz transmitancje obiektu:

K(s) = 1/s/(s+4)/(s+5)

Transfer function:

1

------------------

s^3 + 9 s^2 + 20 s

Wprowadz wymagania:

Stopien stabilnosci: 1

Stopien oscylacyjnosci: 1

Wprowadz wzmocnienia:

Wprowadz wzmocnienie niespelniajace wymagan: k1 = 50

Wprowadz wzmocnienie spelniajace wymagania: k2 = 20

Przed korekcjia:

Pierwiastki row. char. dla k1:

-7.185

-0.90752+2.477i

-0.90752-2.477i

Pierwiastki row. char. dla k2:

-6.3445

-1.3277+1.1787i

-1.3277-1.1787i

Wprowadz transmitancje korektora:

Kk(s) = (0.2*s+1)/(0.2*0.05*s+1)

Transfer function:

20 s + 100

----------

s + 100

Po korekcji:

Pierwiastki row. char. dla k1:

-100.1039

-1.948027+2.488937i

-1.948027-2.488937i

Pierwiastki row. char. dla k2:

-100.0416

-1.979184+0.2848942i

-1.979184-0.2848942i

Przed korekcją: Po korekcji:

Wnioski:

• Jak widać na załączonych wyżej wykresach zastosowanie filtra korekcyjnego PD o odpowiednio dobranych parametrach w znacznym stopniu poprawia jakość regulacji.

• Czas ustalania się przebiegów odpowiedzi skokowych (dla zadanego otoczenia) jest krótszy w układzie regulacji z korektorem o odpowiednio dobranych parametrach.

• Oscylacje w układzie regulacji z korektorem znacznie szybciej zanikają.

• Wzmocnienie k_gr powyżej którego układ zamknięty przestaje być stabilny jest znacznie wyższe po zastosowaniu korektora.

• W niektórych warunkach możliwe jest dobranie korektora w taki sposób, że dla danego wzmocnienia k, układ regulacji niespełniający wymagań przed nim stawianych w połączeniu z korektorem będzie je spełniał.

Ad 3. Wpływ stałej czasowej.

Wykorzystano kod źródłowy użyty w punkcie 1.

Oznaczenia:

• biegun równania charakterystycznego obiektu

• centroida (punkt przecięcia asymptot)

• zero równania charakterystycznego obiektu

Analityczne wyznaczenie transmitancji G(s) w celu zaobserwowania za pomocą linii pierwiastkowych wpływu stałej czasowej na rozkład pierwiastków:

Równanie charakterystyczne:

Po podstawieniu wartości liczbowych:

Wizualizacja wpływu stałej czasowej:

Wnioski:

• Ze wzrostem stałej czasowej T zespolone pierwiastki równania charakterystycznego przesuwają się w lewo, natomiast pierwiastek rzeczywisty w prawo.

• W ogólnym przypadku zbyt mała wartość stałej czasowej T sprawia że układ zamknięty jest niestabilny, jednakże można dobrać parametry w taki sposób by układ regulacji był stabilny w całym zakresie zmian T.