Wyznaczanie współczynników w równaniach reakcji

Metoda algebraiczna

Jarosław Chojnacki

Metoda algebraiczna wykorzystuje układ równań złożony z bilansów napisanych dla poszczególnych
pierwiastków (oraz czasem ładunku elektrycznego). Dokładniej rzecz ujmując jesteśmy w stanie wyznaczyć
współczynniki dla układu reagentów, jeżeli istnieje jedna (i nie więcej niż jedna) reakcja chemiczna pomiędzy
tymi reagentami. Charakterystyczną cechą tej metody jest konieczność podania pełnego zestawu reagentów, a
więc zarówno substratów jak i produktów.
Jest to niewątpliwie metoda żmudna i długa, ale przy odpowiedniej biegłości w rachunkach daje dobre wyniki
niezależnie od posiadanej wiedzy chemicznej. W środowisku chemicznym jest to traktowane raczej jako wada
metody, gdyż umożliwia ona napisanie równania dla dowolnego układu reagentów z pominięciem chemizmu –
np. nie wiadomo co jest utleniaczem, a co reduktorem.
Z punktu widzenia sprawności rozwiązywania powstałego układu równań dobrze jest wszelkie działania
przeprowadzać na ułamkach zwykłych zamiast na ich równoważnikach z rozwinięciem dziesiętnym, gdyż
łatwiej jest gotowe rozwiązanie sprowadzić do postaci zawierającej liczby całkowite. Wystarczy wówczas tylko
wszystkie liczby pomnożyć przez największy mianownik ułamka (lub jeśli mieliśmy bardziej złożony przypadek
przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników). Poza tym przy obliczeniach w dziedzinie liczb
wymiernych unikamy błędów zaokrągleń.

Przykład 1
Wyznaczyć współczynniki w równaniu reakcji:
KNO

3

+ S + C = K

2

S + CO

2

+ N

2

Zakładamy współczynnik równy jeden dla pierwszego reagenta i wprowadzamy odpowiednią ilość zmiennych
(a, b, c ...) dla pozostałych współczynników. Założenie z góry, że współczynnik przy pierwszym reagencie
będzie jeden może się wydać nieuzasadnione, ale dokonujemy go aby zadanie było dobrze postawione od strony
matematycznej. Każde równanie chemiczne pomnożone przez liczbę całkowitą daje nadal prawidłowo
zbilansowany układ. Musimy więc jakoś zmniejszyć liczbę niewiadomych (jest to jeden ze sposobów). Punktem
startowym jest więc równanie:
1 KNO

3

+ a S + b C = c K

2

S + d CO

2

+ e N

2

Piszemy odpowiednie bilanse:
K: 1 = 2c
N: 1 = 2e
O: 3 = 2d
S: a = c
C: b = d
Stąd od razu mamy, że c=1/2, e=1/2, d=3/2, a=c=1/2, b=d=3/2. A więc:
1 KNO

3

+ 1/2 S + 3/2 C = 1/2 K

2

S + 3/2 CO

2

+ 1/2 N

2

Aby otrzymać liczby całkowite wystarczy wszystkie współczynniki pomnożyć przez dwa.
2 KNO

3

+ 1 S + 3 C = 1 K

2

S + 3 CO

2

+ 1 N

2

Przykład 2
Wyznaczyć współczynniki w równaniu reakcji:
C

2

O

4

2—

+ MnO

4

—

+ H

+

= CO

2

+ Mn

2+

+ H

2

O

Na początku definiujemy niewiadome:
1 C

2

O

4

2—

+ a MnO

4

—

+ b H

+

= c CO

2

+ d Mn

2+

+ e H

2

O

Następnie zapisujemy bilanse:
C: 2 = c
O: 4 + 4a = 2c + e
Mn: a = d
H: b = 2e
ładunek: -2 + (-1)a + b = +2d

Stąd mamy: c=2, eliminujemy tę zmienną:
4 + 4a = 4 + e, czyli 4a = e
a=d
b=2e
-2 –a + b = 2d,

eliminujemy e
a=d,
b=2e=8 a,
-2 –a +b = 2d
czyli b=8a; -2 –a + 8a = 2a -> -2 = -5a
Mamy więc: a=2/5, b=16/5, d=2/5, c=2, e=8/5.
Zatem:
1 C

2

O

4

2—

+ 2/5 MnO

4

—

+ 16/5 H

+

= 2 CO

2

+ 2/5 Mn

2+

+ 8/5 H

2

O

Ostatecznie, po usunięciu mianowników poprzez mnożenie przez pięć, znajdujemy końcowe rozwiązanie:

5 C

2

O

4

2—

+ 2 MnO

4

—

+ 16 H

+

= 10 CO

2

+ 2 Mn

2+

+ 8 H

2

O