HIPOTEZY KIERUNKOWE

Czasami interesujące może być odpowiadanie na pytania dotyczące nierówności zachodzących między dwiema średnimi. Na przykład chcemy zweryfikować hipotezę, że średnie dochody kobiet są większe niż średnie dochody mężczyzn. Jeśli wykonamy test t dla prób niezależnych do porównania średnich dochodów kobiet (pierwsza grupa) i mężczyzn (druga grupa), to o ile hipoteza zerowa jest prawdziwa, wynik testu powinien być dodatni, bo:

.

Jak skonstruować obszar krytyczny do weryfikowania tej hipotezy? Przypuśćmy, że chcemy poznać odpowiedź na zadane pytanie przy ustalonym poziomie istotności α = 0.05. Wobec tego należy znaleźć taki przedział wyników testu t, które stanowią najbardziej sprzeczne z hipotezą zerową wyniki i prawdopodobieństwo otrzymania wyników z tego obszaru przy prawdziwości hipotezy zerowej wynosi 0.05. Spójrzmy przez chwilę na wykres statystyki t:

Z wcześniejszych informacji na temat ogólnych własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa wiadomo już, że pole pod całą krzywą wynosi 1. Obszar krytyczny na poziomie istotności
jest przedziałem na osi zmienności nad którym pole pod wykresem zajmuje pole 0,05, a jednocześnie jest obszarem „największej sprzeczności” z weryfikowaną hipotezą. W przypadku hipotezy niekierunkowej (
) zgodny z hipotezą

był obszar znajdujący się blisko wartości
, a obszar krytyczny składał się z obserwacji leżących jak najdalej od
- w tamtym wypadku były to oba „ogony” rozkładu. Jeśli testujemy hipotezę kierunkową postaci
, to zgodne z hipotezą są obserwacje leżące na prawo od
(większe, jak postuluje hipoteza), sprzeczne zaś te, które leżą po lewej stronie. Im dalej w lewo (im mniejsze
), tym bardziej jest to sprzeczne z weryfikowaną hipotezą. Zatem obszar najbardziej sprzecznych z hipotezą wyników będzie stanowił lewy koniec osi zmiennej.

Odwrotna sytuacja będzie miała miejsce, jeśli testowana jest hipoteza
. Wówczas zgodne z hipotezą obserwacje to małe wartości, a im większe, tym bardziej jej przeczą. Wobec tego teraz obszarem krytycznym będzie prawy koniec osi zmiennej.

Poniżej znajduje się wykres rozkładu gęstości t Studenta wraz z naniesionymi pionowymi liniami oddzielającymi obszary krytyczne dla hipotez kierunkowych na poziomie istotności
.

na lewo od niebieskiej linii znajduje się obszar krytyczny dla hipotezy kierunkowej

na prawo od niebieskiej linii znajduje się obszar krytyczny dla hipotezy kierunkowej

Weryfikowanie hipotez kierunkowych przy użyciu pakietu SPSS

Podobnie, jak w przypadku hipotez niekierunkowych, SPSS nie daje odpowiedzi na pytanie, czy należy tę hipotezę przyjąć, czy też odrzucić, a jedynie wylicza wartość statystyki i podaje jej istotność dwustronną. To znaczy, że podawana jest suma pól pod wykresem gęstości statystyki t dla dwóch obszarów rozmieszczonych symetrycznie po obu stronach wartości średniej. W przypadku hipotez kierunkowych interesuje nas jedynie jedna pole jednej części. Ale uwaga - niezwykle ważny jest znak uzyskanej statystyki t! Jeśli testujemy hipotezę postaci
, to , jak napisano we wstępie, spodziewamy się dodatniego znaku statystyki t, a zatem do obszaru krytycznego mogą należeć wyłącznie ujemne wartości. Zatem jeśli otrzymana wartość testu t jest dodatnia, na pewno nie można odrzucić hipotezy zerowej. Dopiero jeśli wartość jest ujemna, ważna jest uzyskana istotność testu. Żeby ją wyznaczyć wystarczy wówczas podzielić otrzymaną istotność dwustronną przez 2 (wybieramy tylko jedną część obliczonego pola). Jeśli tak otrzymana istotność jednostronna będzie niższa niż założony poziom istotności, to można odrzucić hipotezę zerową.

Analogicznie w przypadku hipotezy postaci
. Wyniki zgodne z hipotezą powinny dawać wyniki ujemne, zatem jeśli otrzymany przez nas wynik jest ujemny, na pewno nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy. Jeśli natomiast jest dodatni, obliczamy istotność jednostronną i jedynie w przypadku, kiedy spada ona poniżej założonego poziomu istotności można odrzucić hipotezę.

Podsumowując, weryfikowanie hipotez kierunkowych można przedstawić następująco:

Dodatkowe uwagi:

W przypadku testu dla jednej próby, wynik w grupie jest traktowany jako pierwszy, stała, z którą jest porównywany jako drugi składnik w różnicy. Zatem, jeśli hipoteza zakłada, że średnia w grupie jest wyższa od pewnej stałej, to znak testu t dla jednej próby zgodny z hipotezą będzie dodatni.

Dla testu t dla prób zależnych kolejność, w jakiej zostały uwzględnione zmienne można odczytać z tabeli raportu, gdzie jest zaznaczone, od wyników której zmiennej zostały odejmowane wyniki drugiej z nich.

weryfikacja zgodności znaku testu z przewidywaniami na podstawie weryfikowanej hipotezy

znak testu zgodny z hipotezą

znak testu niezgodny z hipotezą

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

wyznaczanie istotności jednostronnej (dzielimy istotność dwustronną przez 2)

istotność większa od założonego poziomu istotności

istotność mniejsza od założonego poziomu istotności

są podstawy do odrzucenia hipotezy

---