Nr ćw. 120 |
17.10 1995
|
|
Wydział Elektryczny |
Semestr II |
Grupa wtorkowa godz.8.00 |
|
Przygotowanie |
Wykonanie |
Ocena ost. |
||
„Badanie rezonansu mechanicznego”
Wprowadzenie
Rezonans jest to przekazywanie energii z jednego układu drgającego do drugiego o tej samej lub bliskiej częstotliwości drgań własnych. W ćwiczeniu tym rozważać będziemy przypadek ruchu harmonicznego układu składającego się z tarczy wykonującej drgania torsyjne wokół stałej osi centralnej, prostopadłej do swojej płaszczyzny. Drgania te są hamowane przez moment siły tarcia proporcjonalny do prędkości kątowej tarczy.
Drgania swobodne układu nietłumionego odbywają się pod wpływem momentu siły proporcjonalnego do kąta skręcenia tarczy :
(1)
Współczynnik proporcjonalności nazywamy momentem kierującym. Na podstawie drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego ciała sztywnego moment siły możemy wyrazić wzorem:
Gdy ostatnie wyrażenie podstawimy do równania (1), otrzymamy równanie ruchu harmonicznego opisującego nietłumione lub proste drgania tarczy:
(2)
, gdzie I jest momentem bezwładności tarczy względem osi obrotu. Po wyprowadzeniu oznaczenia
(3)
otrzymamy równanie:
Rozwiązaniem którego jest funkcja:
,gdzie jest amplitudą, częstotliwością kołową drgań własnych, a ϕ fazą początkową lub przesunięciem fazowym.
Drgania swobodne układu tłumionego występują w przypadku istnienia momentu siły odpowiedzialnego za tłumienie. Można wykazać, że dla niewielkich prędkości kątowych moment ten wynosi:
, gdzie współczynnik określający tłumienie nazywamy współczynnikiem oporu. W takim przypadku równanie (2) dla ruchu tłumionego tarczy ma postać:
Po zastosowaniu oznaczenia (3) oraz wprowadzeniu nowego:
(3a)
w którym β nazywamy współczynnikiem tłumienia, a czasem relaksacji otrzymamy:
(4)
Równanie powyższe nosi nazwę równania ruchu harmonicznego tłumionego. Rozwiązanie ogólne tego równania w przypadku pierwiastków zespolonych równania charakterystycznego ma postać:
przy czym
(5)
i jest to częstotliwość drgań swobodnych układu tłumionego. Wyrażenie
jest amplitudą drgań malejących w czasie w sposób wykładniczy, która po czasie maleje do 1/e wartości początkowej. W przypadku drgań harmonicznych tłumionych wprowadza się pojęcie logarytmicznego dekrementu tłumienia , który jest zdefiniowany jako logarytm naturalny stosunku dwóch kolejnych amplitud:
stąd
(6)
Równanie ruchu wymuszonego otrzymamy, jeśli w równaniu (4) ruchu tłumionego uwzględnimy np. harmoniczny zewnętrzny moment wymuszający
Ogólne równanie różniczkowe tego ruchu po uwzględnieniu powyższego wyrażenia przyjmie postać:
Po wprowadzeniu do tego równania oznaczeń (3) i (3a) oraz:, otrzymamy, że:
Rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja
(6)
gdzie
(6a)
oraz
(7)
przy wyborze znaku minus w fazie rozwiązania.
Wyrażenie (6a) osiąga wartość maksymalną wówczas, gdy jego mianownik przyjmuje wartość minimalną. Oznacza to, że pochodna mianownika wyrażenia (6a) względem musi być równa zero.
Warunek ten jest spełniony dla
(8)
Zjawisko, podczas którego A przyjmuje największą wartość, nazywamy rezonansem. W warunkach rezonansu, gdy podstawimy wyrażenie (8) do równania (6a), otrzymamy:
Energia układu jest przekazywana bez strat do układu drgającego, gdy amplituda osiąga wartość maksymalną.
Obliczenia
Okres swobodnych drgań tłumionych tarczy na podst. pomiaru czasu 10 wahnięć tarczy:
t=17.5 * 0.01 [s] ; T=t/10 [s]
T=1.75 [s]
natomiast częstotliwość ω= 2Π/T
ω= 3.5 [1/s]
Logarytmiczny dekrement tłumienia Λ jako średnia arytmetyczna wyników otrzymanych w wyniku amplitud jednostronnych, swobodnych ustalanych zawsze od identycznej amplitudy początkowej:
pomiar |
I |
II |
III |
IV |
V |
średnia |
amplituda |
3.1 |
3.1 |
3.3 |
3.5 |
3.3 |
3.26 |
Czyli Λ=3.26 ,zatem β wg. wzoru (6) wynosi: β=3.26/1.75=1.86
Na podstawie wzoru (5) obliczam - częstotliwość drgań własnych tarczy, wynosi ona:
=3.96 [1/s]
Tabela wartości uzyskanych podczas doświadczenia i obliczeń na nich dokonanych:
gdzie:
U-napięcie na silniku; t-czas 10 obrotów osi silnika; A-amplituda; -okresy drgań wymuszających; -współczynnik tłumienia; -częstotliwość drgań własnych tarczy; -częstotliwość drgań wymuszonych; - kąt przesunięcia fazowego pomiędzy drganiami tarczy, a drganiami wymuszającymi
U [V] |
t [s] |
A |
T [s] |
β |
ω |
ω` |
δ |
6.0 |
7.1 |
0.4 |
0.71 |
0.56 |
8.85 |
3.88 |
81.75' |
6.5 |
6.9 |
0.4 |
0.69 |
0.58 |
10.83 |
3.74 |
68.72' |
7.0 |
6.6 |
0.4 |
0.66 |
0.60 |
10.47 |
3.87 |
81.42' |
7.5 |
6.4 |
0.4 |
0.64 |
0.63 |
9.47 |
3.86 |
76.23' |
8.0 |
6.3 |
0.3 |
0.63 |
0.48 |
13.08 |
3.90 |
82.86' |
8.5 |
6.0 |
0.3 |
0.60 |
0.50 |
12.56 |
3.90 |
83.13' |
9.0 |
5.9 |
0.4 |
0.59 |
0.68 |
9.24 |
3.84 |
79.89' |
9.5 |
5.7 |
0.4 |
0.57 |
0.70 |
8.97 |
3.83 |
79.33' |
10.0 |
5.5 |
0.4 |
0.55 |
0.78 |
8.05 |
3.80 |
78.18' |
10.5 |
5.4 |
0.3 |
0.54 |
0.56 |
11.21 |
3.88 |
81.76' |
11.0 |
5.3 |
0.2 |
0.53 |
0.38 |
16.53 |
3.92 |
83.87' |
11.5 |
5.1 |
0.2 |
0.51 |
0.39 |
16.10 |
3.92 |
84.03' |
12.0 |
4.9 |
0.2 |
0.49 |
0.41 |
15.32 |
3.92 |
84.30' |
Dokładność pomiarów:
- pomiary czasu były dokonywane z dokładnością do 0.1[s]
nie uwzględniając metody, która była stosunkowo mało dokładna
- pomiary amplitudy:
trudno określić błąd odczytu ze względu na bardzo niedokładną skalę
a także sposób odczytu (jest całkiem możliwe, że błąd związany z odczytem amplitudy mógł przekroczyć * 50% wartości uzyskanej)
- ustawienie odpowiedniego napięcia z dokładnością 0.1[V]
Wykresy krzywych: rezonansu A(ω`) i fazowej rezonansu δ(ω`) na załączonej kartce.
Wnioski
Na podstawie otrzymanych wyników oraz krzywych możemy stwierdzić, że im większy współczynnik tłumienia ω` tym amplituda drgań mniejsza, a także kąt przesunięcia fazowego δ pomiędzy drganiami własnymi, a wymuszającymi większy.
Aby jednak dokładnie potwierdzić otrzymane wyniki należałoby wykorzystać w ćwiczeniu dokładniejsze przyrządy (w szczególności tarczę do pomiaru amplitudy z lepszą możliwości jej śledzenia i odczytywania, a także dokładniejszy pomiar trwania wychyleń tarczy, jak i obrotów osi silnika).