Nr ćw. 104 |
24.10 1995
|
|
Wydział Elektryczny |
Semestr II |
Grupa nr wtorkowa godz.8.00 |
|
Przygotowanie |
Wykonanie |
Ocena ost. |
||
„Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu
metodą badania przesunięcia fazowego”
Wprowadzenie
Rozchodzenie się dźwięku odbywa się w postaci fali mechanicznej i może mieć miejsce tylko w ośrodku sprężystym.
Jeżeli pewien element ośrodka, którego cząstki są ze sobą wzajemnie związane, pobudzimy do drgań, wówczas energia drgań tego elementu będzie przekazywana do punktów sąsiednich i wywoła w nich drgania.
Proces rozchodzenia się drgań nazywamy falą . Charakter fali rozchodzącej się w ośrodku zależy od jego właściwości sprężystych.
Najczęściej spotykanym ruchem drgającym jest ruch harmoniczny, w którym wychylenie y zmienia się w czasie t wg. równania:
gdzie: A-amplituda, ω-częstość kołowa, - faza początkowa
Faza początkowa określa stan ruchu w chwili t=0 i jest obierana w dowolny sposób. Jeżeli fala biegnie w kierunku osi x , wówczas kolejne punkty ośrodka pobudzane są do drgań i osiągają tę samą fazę z pewnym opóźnieniem. Prędkość przesuwania się wychylenia(zaburzenia)o stałej fazie jest prędkością rozchodzenia się fali.
Wychylenie y dowolnej cząstki w chwili t, w odległości x od źródła drgań opisane jest funkcją falową :
gdzie: ω- częstość kołowa ; - liczba falowa, - długość fali, - faza w punkcie x=0 i w chwili t=0.
Równanie fali jest podwójnie okresowe: względem czasu i przestrzeni. Przy ustalonej wartości x opisuje ono drgania cząstki wokół położenia równowagi - drgania te są periodyczne z okresem T. Ustalając w poprzednim równaniu czas otrzymujemy zależność wychylenia cząstek od ich położenia w określonej chwili - zależność ta przedstawia kształt fali. Odległość między najbliższymi punktami posiadającymi tę samą fazę nazywamy długością fali.
Związek między długością i okresem jest prędkością fali:
Prędkość fali w powietrzu
Ogólne wyrażenie określające prędkość rozchodzenia się fal podłużnych w ośrodku ciągłym ma postać:
gdzie: E- moduł Younga ośrodka, - jego gęstość.
Przekształcając podstawową postać prawa Hook'a możemy napisać:
(1)
gdzie oznaczają odpowiednio różniczkowe zmiany ciśnienia i objętości gazu o objętości V
Drgania dźwiękowe zachodzą tak szybko, że ściskanie i rozrzedzanie gazu można uważać za procesy adiabatyczne, wobec czego zmiana stanu gazu zachodzi zgodnie ze wzorem Poissona:
gdzie - jest stosunkiem ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości.
Różniczkując powyższy wzór otrzymujemy:
Podstawiając uzyskaną wartość do równania (2), a następnie uwzględniając otrzymaną w ten sposób postać modułu Younga w równaniu (1), wyrażamy prędkość fali podłużnej wzorem:
Stosując równanie stanu gazu doskonałego we wzorze na gęstość otrzymamy:
gdzie: n - ilość moli gazu, R - stała gazowa, T - temperatura.
n można wyrazić jako stosunek całej masy gazu m do masy 1 mola μ : n = m / μ.
Uwzględniają powyższe w ostatnim równaniu wstawiamy do równania (3) i otrzymujemy wzór określający prędkość dźwięku w zależności od rodzaju gazu i temperatury:
Obliczenia
Aby obliczyć prędkość skorzystamy ze wzoru :
(3)
gdzie: λ - długość fali , f - jej częstotliwość
Częstotliwość odczytamy bezpośrednio z generatora akustycznego. Długość fali obliczymy dzięki zjawisku tzw. figur Lissajous obserwowanych na oscyloskopie, a których kształt zależy od stosunku częstotliwości różnicy faz drgań składowych. W tym ćwiczeniu częstotliwości obu drgań są równe, więc o kształcie figur decyduje różnica faz głośnika i mikrofonu. Kształt figury Lissajous'a jest periodyczną funkcją różnicy faz, stąd będzie on taki sam dla wszystkich położeń mikrofonu różniących się o całkowitą wielokrotność długości fali.
Wybieramy odpowiednią częstotliwość, a następnie przesuwając mikrofon w stosunku do głośnika znajdujemy położenia, w których obraz na ekranie oscyloskopu jest linią prostą o takim samym współczynniku nachylenia. Odnotowujemy położenia mikrofonu, następnie obliczamy długość fali jako różnicę pomiędzy takimi samymi obrazami, obliczamy średnią, a następnie prędkość dźwięku ze wzoru (3).
Tabele obliczeń:
|
f = 3.452 kHz |
f = 5.454 kHz |
f = 7.369 kHz |
f = 11.253 kHz |
|||||||||||||
Lp. |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
|||||
1 |
77.3 |
64.7 |
12.6 |
84.5 |
77.0 |
7.5 |
25.8 |
19.5 |
6.3 |
88.6 |
85.7 |
2.9 |
|||||
2 |
64.7 |
49.2 |
15.5 |
77.0 |
70.7 |
6.3 |
30.8 |
25.8 |
5.0 |
85.7 |
82.5 |
3.2 |
|||||
3 |
49.2 |
38.3 |
10.9 |
70.7 |
64.0 |
6.7 |
35.1 |
30.8 |
4.3 |
82.5 |
79.3 |
3.2 |
|||||
4 |
38.3 |
26.2 |
12.1 |
64.0 |
52.5 |
11.5 |
42.3 |
35.1 |
7.2 |
79.3 |
76.2 |
3.1 |
|||||
5 |
26.2 |
10.8 |
15.4 |
67.2 |
57.1 |
10.1 |
65.4 |
61.9 |
3.5 |
76.2 |
73.1 |
3.1 |
|||||
6 |
32.6 |
19.0 |
13.6 |
74.0 |
67.2 |
6.8 |
69.9 |
65.4 |
4.5 |
73.1 |
70.1 |
3.0 |
|||||
7 |
43.5 |
32.6 |
10.9 |
80.7 |
74.0 |
6.7 |
75.0 |
69.9 |
5.1 |
70.1 |
67.1 |
3.0 |
|||||
8 |
55.8 |
43.5 |
12.3 |
87.7 |
80.7 |
7.0 |
70.6 |
75.0 |
4.4 |
67.1 |
63.9 |
3.2 |
|||||
9 |
71.7 |
55.8 |
15.9 |
18.7 |
11.7 |
7.0 |
90.0 |
85.3 |
4.7 |
63.9 |
60.7 |
3.2 |
|||||
10 |
82.2 |
71.7 |
10.5 |
80.6 |
74.0 |
6.6 |
75.0 |
79.1 |
4.1 |
60.7 |
57.6 |
3.1 |
|||||
Średnia Δ l [cm] |
12.97 |
Średnia Δ l [cm] |
7.62 |
Średnia Δ l [cm] |
4.91 |
Średnia Δ l [cm] |
3.1 |
||||||||||
v = f Δ l [m / s] |
447.7 |
v = f Δ l [m / s] |
415.59 |
v = f Δ l [m / s] |
361.81 |
v = f Δ l [m / s] |
348.84 |
||||||||||
|
f = 15.075 kHz |
||
Lp. |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
1 |
86.6 |
84.2 |
2.4 |
2 |
84.2 |
81.9 |
2.3 |
3 |
81.9 |
79.6 |
2.3 |
4 |
79.6 |
77.4 |
2.2 |
5 |
77.4 |
74.8 |
2.6 |
6 |
74.8 |
72.6 |
2.2 |
7 |
72.6 |
70.3 |
2.3 |
8 |
33.0 |
30.6 |
2.4 |
9 |
35.4 |
33.0 |
2.4 |
10 |
29.5 |
27.2 |
2.3 |
Średnia Δ l [cm] |
2.34 |
||
v = f Δ l [m / s] |
352.75 |
||
Następnie obliczamy średnią prędkość wszystkich wyników:
średnia v = 385.33 [m / s]
odchylenie standardowe:
19.74
Ale w związku z tym, że posiadamy tylko 5 wielkości nasze odchylenie standardowe jest zaniżone. Aby znaleźć wartość odpowiadającą należy pomnożyć otrzymane odchylenie przez tzw. współczynnik Studenta - Fishera który dla 5 pomiarów wynosi t=1.2, więc otrzymamy:
23.69
Natomiast prędkość dźwięku obliczona na podstawie wzoru:
wynosi: v=
Jak widać z powyższego wynik eksperymentalny odbiega od wartości teoretycznej.
W powyższym doświadczeniu odległości l obliczałem dla różnych przesunięć przy tej samej częstotliwości.
Niniejsza tabela przedstawia wyniki otrzymane z mierzenia w następujący sposób. Nastawiam wybraną częstotliwość, przesuwam mikrofon względem głośnika tak, aby otrzymać linię prostą na oscyloskopie, zapisuję położenie, następnie przesuwam mikrofon tak by powtórzył się obraz uzyskany wcześniej, zapisuję położenie. Teraz cofam mikrofon w pobliże poprzedniego pomiaru, tak by znów otrzymać linię prostą na oscyloskopie. Powtarzam czynność pięciokrotnie.
Następnie obliczamy różnicę Δl i prędkość dźwięku v.
|
f = 9.051 kHz |
f = 11.115 kHz |
f = 13.085 kHz |
f = 15.095 |
||||||||
Lp. |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
1 |
69.3 |
65.3 |
4.0 |
84.0 |
80.8 |
3.2 |
67.3 |
64.8 |
2.5 |
48.7 |
46.3 |
2.4 |
2 |
69.2 |
65.4 |
3.8 |
84.1 |
80.9 |
3.2 |
67.4 |
64.9 |
2.5 |
48.6 |
46.1 |
2.5 |
3 |
69.3 |
65.3 |
4.0 |
84.1 |
80.8 |
3.3 |
67.4 |
64.9 |
2.5 |
48.6 |
46.2 |
2.4 |
4 |
69.4 |
65.2 |
4.2 |
84.1 |
80.7 |
3.4 |
67.3 |
65.0 |
2.3 |
48.5 |
46.2 |
2.3 |
5 |
69.3 |
65.3 |
4.0 |
83.9 |
80.8 |
3.1 |
67.4 |
65.0 |
2.4 |
48.7 |
46.2 |
2.5 |
Średnia Δ l [cm] |
4.0 |
Średnia Δ l [cm] |
3.24 |
Średnia Δ l [cm] |
2.44 |
Średnia Δ l [cm] |
2.42 |
|||||
v = f Δ l [m / s] |
362.04 |
v = f Δ l [m / s] |
360.12 |
v = f Δ l [m / s] |
319.27 |
v = f Δ l [m / s] |
365.29 |
|||||
|
f = 16.674 kHz |
||
Lp. |
l 1 |
l 2 |
Δ l |
1 |
78.4 |
76.0 |
2.4 |
2 |
78.3 |
76.1 |
2.0 |
3 |
78.4 |
76.3 |
2.1 |
4 |
78.1 |
76.2 |
1.9 |
5 |
78.3 |
76.2 |
2.1 |
Średnia Δ l [cm] |
2.1 |
||
v = f Δ l [m / s] |
350.15 |
||
średnia wartość wyników prędkości dźwięku wynosi:
v = 351.33 [m / s]