Trajektorię można sobie wyobrazić jako pewną linię skierowaną w n-wymiarowej przestrzeni stanów, zaczynającą się od stanu początkowego x(0), a w kolejnych chwilach czasu t określoną aktualnymi współrzędnymi wektora stanu x(t). w geometrycznej interpretacji wektora stanu trajektoria jest linią zakreśloną przez koniec wektora stanu w trakcie `ruchu' układu, przy czym czas t jest parametrem trajektorii.
Metoda płaszczyzny fazowej stosuje się do układów drugiego rzędu, których zmienne stanu x1 I x2 określają współrzędne prostokątne punktu na płaszczyźnie; ponadto x1 I x2 są współrzędnymi fazowymi tzn. x1= x2. Wobec tego met płaszcz faz stosuje się do układów opisanych równaniami stanu
x1 = x2
x2 = f(x1, x2)
metoda ta wykorzystuje szczególną łatwość określania I interpretacji trajektorii fazowej, czyli trajektorii stanu w tych szczególnych współrzędnych. Trajektoria jest tu bowiem zwykłą linią (krzywą) na płaszczyźnie I jej cechy geometryczne można bardzo łatwo określić. W szczególności z określenia współrzędnych fazowych wynika, że wartość zmiennej x1 przy x2>o powinna wzrastać, przy x2<0 - maleć, a przy x2 = 0 - osiągać lokalne ekstremum. Tak więc trajektorie fazowe przebiegają w górnej półpłaszczyźnie w prawo, w dolnej 0półpłaszczyźnie w lewo, oś x1 mogą przecinać, ale ze styczną prostopadłą do tej osi. Przyczyny stosowania płaszcz faz
układy drugiego rzędu I pierwszego wyczerpują w zasadzie podstawowe typy dynamiki układów w szczególności obejmują człon oscylacyjny wykazujący największą różnorodność zjawisk.
Portret fazowy - jest to rodzina trajektorii fazowych przy różnych warunkach początkowych. Pojedyncza trajektoria zawiera niewiele informacji o układzie. Metoda płaszcz faz ujawnia swoje największe zalety wtedy, gdy można przedstawić wiele trajektorii faz przy różnych warunkach początkowych. Jeśli tak utworzona rodzina trajektorii pokryje dość gęsto całą płaszczyzną, to otrzymujemy wtedy obraz wszystkich potencjalnych rozwiązań przy dowolnych warunkach początkowych. Oczywiście każdy punkt na płaszczyźnie fazowej może być warunkiem początkowym, strzałki na trajektoriach wskazują kierunek upływu czasu. W tej sytuacji portret fazowy faktycznie dostarcza pełnej informacji o właściwościach układu. Przez dany punkt płaszczyzny fazowej może przechodzić tylko jedna trajektoria - trajektorie nie mogą się przecinać. Wyjątkiem od tej zasady są tzw. Punkty osobliwe, w których nie można określić równania trajektorii.
Jest to równanie różniczkowego trajektorii fazowe, którego rozwiązanie stanowi rodzina krzywych x2 = x2(x1) odpowiadających różnym stanom początkowym. Równanie trajektorii nie jest określone, jeśli zachodzi równość x1 = x2 = 0
Warunek ten określa punkty osobliwe, w których pochodna jest nieoznaczona, zatem przez punkt osobliwy może przechodzić więcej niż jedna trajektoria.
Równanie trajektorii z zasady łatwiejsze jest do rozwiązania niż równanie stanu. W wyniku rozwiązania równania trajektorii otrzymamy bezpośrednie wyrażenie trajektorii jako zależność x2(x2) - natomiast po rozwiązaniu równań stanu otrzymuje się x1(t) I x2(t), skąd samą trajektorię można otrzymać dopiero po wyeliminowaniu zmiennej t. jedna w wielu przypadkach równanie trajektorii może być także dość skomplikowane. Korzysta się wtedy z przybliżonych metod rozwiązania, z których najbardziej znaną jest metoda izoklin.
Izokliną nazywa się linię =A =const, tzn.linię, na której nachylenie trajektorii jest stałe. Równanie izokliny jest równaniem algebraicznym I ma postać
Zmieniając stałą A otrzymuje się różne izokliny - z określonym nachyleniem A trajektorii.
Cykle graniczne - występują wówczas, gdy krzywa całkowa nie dochodzi do punktu równowagi, lecz przechodzi w krzywą zamkniętą otaczającą ten punkt. Odpowiada to takiemu stanowi układu, w którym poszczególne fazy ruchu powtarzają się cyklicznie. jest to zjawisko drgań nietłumionych układu wokół położenia równowagi. Cykl graniczny może być stabilny lub niestabilny