Operacje macierzowe w obwodach elektrycznych

Przykładowe zadanie

Polecenie: wyznacz prądy i napięcia gałęziowe korzystając z metody potencjałów węzłowych oraz metody prądów oczkowych w oparciu o macierze strukturalne obwodu.

1. Zapis danych gałęziowych w zapisie macierzowym

Liczba gałęzi g=6

Liczba węzłów w=4

Liczba węzłów niezależnych m=w-1=3

Liczba oczek niezależnych n=g-m=3

Wybór drzewa grafu „T” - gałęzie 1_T,2_T,3_T.

Gałęzie dopełniające 4_D,5_D,6_D.

Oczka niezależne utworzono przez dodanie do gałęzi drzewa grafu wyłącznie jednej gałęzi dopełniającej:

Oczko I (1_T,2_T,4_D)

Oczko II (2_T,3_T,5_D)

Oczko III (1_T,3_T,6_D)

Impedancje gałęziowe:

Z₁=R₁=1Ω

Z₂=jX₂=j2Ω

Z₃=-jX₃=-j1Ω

Z₄=-jX₄=-j1Ω

Z₅=R₅=1Ω

Z₆=jX₆=j1Ω

Napięcia źródłowe gałęziowe:

E₁=0V

E₂=1e^j0V

E₃=0V

E₄=1e^j0V

E₅=1e^j0V

Z₆=1e^j0V

Macierz diagonalna impedancji gałęziowych [gxg]_d:

Macierz diagonalna admitancja gałęziowych [gxg]_d:

Kolumna napięć źródłowych gałęziowych [gx1]:

Macierz incydencji węzłowa [mxg]:

Macierz incydencji oczkowa [nxg]:

Sprawdzenie poprawności macierzy incydencji węzłowej i oczkowej:

2. Szukane zmienne gałęziowe:

Kolumna prądów gałęziowych

Kolumna napięć gałęziowych

3. Metoda potencjałów węzłowych

1. Definicja macierzy metody potencjałów węzłowych w oparciu technikę metody

Macierz admitancji własnych i wzajemnych węzłów _MPW:

Kolumnę prądów zwarciowych węzłowych _MPW:

2. Definicja macierzy metody potencjałów węzłowych w oparciu o macierz incydencji węzłową oraz macierze gałęziowe

Równanie metody potencjałów węzłowych w odniesieniu do wskazanej macierzy incydencji węzłowej  opartej na m węzłach niezależnych (w₁, w₂, w₃) wyraża postać macierzowa:

,

Macierz admitancji własnych i wzajemnych węzłów _MPW można wyrazić za pomocą macierzy incydencji węzłowej oraz macierzy gałęziowych jako:

Kolumnę prądów zwarciowych węzłowych _MPW wyznacza równanie:

3. Rozwiązanie macierzowe metody potencjałów węzłowych

Szukana kolumna potencjałów węzłowych wyniesie:

gdzie:

Wyznaczoną kolumnę potencjałów węzłowych można przeliczyć do postaci szukanej kolumny napięć gałęziowych:

Następnie kolumnę napięć gałęziowych można wykorzystać do wyznaczenia szukanej kolumny prądów gałęziowych w oparciu o macierzowy zapis prawa Ohma oraz II prawa Kirchhoffa:

Sprawdzenie rozwiązania prądowego na podstawie I prawa Kirchhoffa dla m węzłów niezależnych

Sprawdzenie rozwiązania napięciowego na podstawie II prawa Kirchhoffa dla n oczek niezależnych

4. Metoda prądów oczkowych

1. Definicja macierzy prądów oczkowych w oparciu technikę metody

Macierz impedancji własnych i wzajemnych oczek _MPO:

Kolumnę napięć źródłowych oczkowych _źrMPO:

2. Definicja macierzy metody prądów oczkowych w oparciu o macierz incydencji oczkową oraz macierze gałęziowe

Równanie metody prądów oczkowych w odniesieniu do wskazanej macierzy incydencji oczkowej  opartej na n oczkach niezależnych (I,II,III) wyraża postać macierzowa:

,

Macierz impedancji własnych i wzajemnych węzłów _MPO można wyrazić za pomocą macierzy incydencji oczkowej oraz macierzy gałęziowych jako:

Kolumnę napięć źródłowych oczkowych _źrMPO wyznacza równanie:

3. Rozwiązanie macierzowe metody prądów oczkowych

Szukana kolumna prądów oczkowych wyniesie:

gdzie:

Wyznaczoną kolumnę prądów oczkowych można przeliczyć do postaci szukanej kolumny prądów gałęziowych:

Następnie kolumnę prądów gałęziowych można wykorzystać do wyznaczenia szukanej kolumny napięć gałęziowych w oparciu o macierzowy zapis prawa Ohma oraz II prawa Kirchhoffa:

Sprawdzenie rozwiązania prądowego na podstawie I prawa Kirchhoffa dla m węzłów niezależnych

Sprawdzenie rozwiązania napięciowego na podstawie II prawa Kirchhoffa dla n oczek niezależnych

5. Kalkulator zadania Matlab

Rozwiązanie do zadania wykonano w środowisku Matlab.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%TS 2015 MMwE

%Scheamat podany dla Przykładu 1

%Szukane prądy gałęziowe i napięcia gałęziowe

%I=[I1;I2;I3;I4;I5;I6];

%U=[U1;U2;U3;U4;U5;U6]

%Porządkowe usunięcie danych z przestrzeni roboczej Matlab

clear all

%Porządkowe zamknięcie wszystkich rysunków Matlab

close all

%Ustawienie formatu wyświetlania wyników (short - do 4 miejsc po przecinku, reprezentacja stałoprzecinkowa)

format short

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%DANE GAŁĘZIOWE BADANEGO OBOWDU:

%Zrodla

%E=Esk*exp(j*psie)%V;

%znak + jeśli kierunek E zgodny z prądem

E1=0; E2=1*exp(j*0);E3=0; E4=1*exp(j*0); E5=1*exp(j*0); E6=1*exp(j*0);

%Impedancje galeziowe

%Z=R+j*X;%Ohm

z1=1; z2=j*2; z3=-j*1; z4=-j*1; z5=1; z6=j*1;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%DANE MACIERZOWE BADANEGO OBOWDU:

%Macierz incydencji wezlowa niepelna

% T- galezie 1,2,3, D - galezie 4,5,6

A=[ 1 0 0 1 0 -1;...

-1 -1 1 0 0 0;...

0 1 0 -1 1 0]

% [--AT--**AD**]

%Macierz incydencji oczkowa

% T- galezie 2,3,5 D - galezie 1, 4,6

%OI - dopelnienie 4, OII - dopelnienie 5, OIII dopelnienie 6

%kierunek jak prady w galeziach dopelniajacych

B=[-1 1 0 1 0 0;...

0 -1 -1 0 1 0;...

1 0 1 0 0 1]

%Sprawdzenie A*B'==0 (prawda jeśli macierz wynikowa jedynkowa mxm)

A*B'

A*B'==0

%Macierz diagonalna impedancji ułożona względem kolejności T-D

% T- galezie drzewa grafu 1,2,3, D - galezie dopełniające 4,5,6

Zd=diag([z1,z2,z3,z4,z5,z6],0)

%Macierz diagonalna admitancji ułożona względem kolejności T-D

% T- galezie drzewa grafu 1,2,3, D - galezie dopełniające 4,5,6

Yd=diag([1/z1,1/z2,1/z3,1/z4,1/z5,1/z6],0)

%Kolumna napięc źródłowych ułożona względem kolejności T-D

% T- galezie drzewa grafu 1,2,3, D - galezie dopełniające 4,5,6

Ezr=[E1;E2;E3;E4;E5;E6]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%1. Metoda potencjałów wezlowych

%DANE WEJŚCIOWE MPW:Ympw, Izwmpw

%Ympw -macierz admitancji własnych i wzajemnych węzłów

%metoda 1: m1 korzystając z zasad MPW, w4 węzeł odniesienia

y11=1/z1+1/z6+1/z4; y12=-1/z1; y13=-1/z4;

y21=-1/z1; y22=1/z1+1/z2+1/z3; y23=-1/z2;

y31=-1/z4; y32=-1/z2; y33=1/z2+1/z4+1/z5;

Ympw_m1=[y11 y12 y13; ...

y21 y22 y23; ...

y31 y32 y33]

%metoda 2: m2 - korzystajac z macierzy diagonalnej admitancji

Ympw_m2=A*Yd*A'

%Sprawdzenie (prawda jeśli macierz wynikowa jedynkowa mxm)

Ympw_m1==Ympw_m2

%Macierz wypadkowych prądów źródłowych węzłowych

%metoda 1: m1 korzystając z zasad MPW, w4 węzeł odniesienia

Iz1=+E6/z6-E4/z4;

Iz2=+E2/z2;

Iz3=-E2/z2+E4/z4-E5/z5;

Izmpw_m1=[Iz1; ...

Iz2; ...

Iz3]

%metoda 2: m2 AIzr-AYdEzr ; dla Izr=0

Izmpw_m2=-A*Yd*Ezr

%Sprawdzenie (prawda jeśli macierz wynikowa jedynkowa mx1)

Izmpw_m1==Izmpw_m2

%Dalsze obliczenia dla danych wejściowych MPW uzyskanych metodą 1:

%Ympw_m1, Izmpw_m1

%Identyczne obliczenia można wykonać dla danych wejściowych MPW uzyskanych metodą 2: Ympw_m2, Izmpw_m2

%Obliczanie macierzy odwrotnej Ympw

%Macierz odwrotna jest określona tylko dla macierzy kwadratowych, których wyznacznik jest niezerowy

if det(Ympw_m1)==0

disp('UWAGA ograniczenie wykorzystania macierzy - det=0')

end

Ympw_m1_odw=Ympw_m1^-1

%Obliczenia kolumny potenjcałów węzłowych

Vmpw_m1=(Ympw_m1^-1)*Izmpw_m1

%Obliczenia kolumny napięc gałęziowych

Ug_mpw_m1=A'*Vmpw_m1

%Obliczanie prądów gałęziowych

Ig_mpw_m1=Zd^-1*(Ug_mpw_m1+Ezr)

%Sprawdzenie rozwiązania

A*Ig_mpw_m1

B*Ug_mpw_m1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%2. Metoda prądów oczkowych

%DANE WEJŚCIOWE MPO: Zmpo, Empo

%Zmpo macierz impedancji własnych i wzajemnych oczek

%metoda 1: m1 - korzystając z zasad MP0, 3 oczka niezależne

z11=z1+z2+z4; z12=-z2; z13=-z1;

z21=-z2; z22=z2+z3+z5; z23=-z3;

z31=-z1; z32=-z3; z33=z1+z3+z6;

Zmpo_m1=[z11 z12 z13; ...

z21 z22 z23; ...

z31 z32 z33]

%metoda 2: m2 - korzystajac z macierzy diagonalnej impedancji

Zmpo_m2=B*Zd*B'

%spr:

Zmpo_m1==Zmpo_m2

%Macierz wypadkowych napięć źródłowych własnych oczek

%metoda 1: m1 - korzystając z zasad MP0, 3 oczka niezależne

Ez1=E2+E4;

Ez2=-E2+E5;

Ez3=E6;

Ezmpo_m1=[Ez1; ...

Ez2; ...

Ez3]

%metoda 2: m2 BEzr-BZd*Izr ; dla Izr=0

Ezmpo_m2=B*Ezr

%spr:

Ezmpo_m1==Ezmpo_m2

%Dalsze obliczenia dla danych wejściowych MPO uzyskanych metodą 1:

%Zmpo_m1,Ezmpo_m1

%Identyczne obliczenia można wykonać dla danych wejściowych MPO uzyskanych metodą 2:Zmpo_m2, Ezmpo_m2

%Obliczanie macierzy odwrotnej Zmpo

%Macierz odwrotna jest określona tylko dla macierzy kwadratowych, których wyznacznik jest niezerowy

if det(Zmpo_m1)==0

disp('UWAGA ograniczenie wykorzystania macierzy - det=0')

end

Zmpo_m1_odw=Zmpo_m1^-1

%Obliczenia kolumny prądów oczkowych

Impo_m1=(Zmpo_m1^-1)*Ezmpo_m1

%Obliczenia kolumny prądów gałęziowych

Ig_mpo_m1=B'*Impo_m1

%Obliczanie napięć gałęziowych

Ug_mpo_m1=Zd*Ig_mpo_m1-Ezr

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Porównanie wyników MPO i MPW

%Zaokrąglanie rozwiązań do N liczb po przecinku

N=2;

Ig_mpw_m1_zaokr=round(Ig_mpw_m1*10^N)/(10^N);

Ig_mpo_m1_zaokr=round(Ig_mpo_m1*10^N)/(10^N);

Ug_mpw_m1_zaokr=round(Ug_mpw_m1*10^N)/(10^N);

Ug_mpo_m1_zaokr=round(Ug_mpo_m1*10^N)/(10^N);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%porownanie wyników

if Ig_mpw_m1_zaokr==Ig_mpo_m1_zaokr

disp('Zgodnosc wynikow pradow galeziowych dla MPW oraz MPO')

else

disp ('Niezgodnosc pradow galeziowych dla MPO i MPW - Sprawdz dane i obliczenia')

end

if Ug_mpw_m1_zaokr==Ug_mpo_m1_zaokr

disp('Zgodnosc wynikow napiec galeziowych dla MPW oraz MPO')

else

disp ('Niezgodnosc napiec galeziowych dla MPO i MPW - Sprawdz dane i obliczenia')

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

MMwE'15:Przykład rozwiązania macierzowego obwodu elektrycznego.

ZAŁĄCZNIK mplik Matlab - obliczenia danego obwodu MMwE_P01_macierze_2015.m

2

---