EAiE |
Imię i Nazwisko: 1.Paweł Antoszek 2. Marcin Blacha |
ROK I |
GRUPA 1 |
ZESPÓŁ 8 |
|
Pracownia fizyczna I |
TEMAT: Moment bezwładności bryły sztywnej
|
Nr ćwiczenia 1 |
|||
Data wykonania:
|
Data oddania:
|
Zwrot do poprawy:
|
Data oddania:
|
Data zaliczenia:
|
OCENA
|
Wahadłem fizycznym nazywamy dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać dookoła pewnej osi przechodzącej przez to ciało.
Przykład takiego ciała został narysowany poniżej:
Jest to bryła sztywna o masie m., środku ciężkości w puncie S, zawieszona w punkcie O, wychylona o kąt Puszczona swobodnie, będzie wykonywać drgania zwane ruchem wahadłowym. Jest to obrót bryły sztywnej wokół osi O pod wpływem momentu siły ciężkości. Dla wychylenia moment tej siły jest równy - mgasin ( skierowany przeciwnie do kierunku wychylenia). Według II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego iloczyn momentu bezwładności I i przyspieszenia kątowego jest równy działającemu momentowi siły, czyli . Jeżeli wychylenie jest małe (kilka stopni) to sin ≈ . Przy tym założeniu:,gdzie . Rozwiązaniem tego równania jest ruch harmoniczny prosty: . Amplituda m. i zależy od warunków początkowych. Okres drgań T związany z częstością w0 wynosi . Io- moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez punkt zawieszenia O. Io - moment bezwładności względem środka ciężkości S. Twierdzenie Steinera wyznacza zależność między Io i Is : Io= Is +ma2.
Celem naszego ćwiczenia było wyznaczenie momentu bezwładności pręta i pierścienia względem osi obrotu O i środka ciężkości S. Zrobiliśmy to poprzez pomiar okresu drgań tych brył sztywnych. Otrzymując konkretną wartość T obliczyliśmy moment bezwładności Io. Wykorzystując twierdzenie Steinera policzyliśmy Is.
Obliczenia dla pierścieni:
W przypadku gdy wzór z którego obliczamy szukaną wielkość można zapisać w postaci iloczynu stosunek błędu tej wartości do średniej wartości tej wielkości jest dany wzorem:
(1)
Pierscień metalowy
Obliczamy wartość T i średni T:
czas 50 wachnięć: |
okresy [s] |
[s] |
[s2] |
Io [kgm2] |
Is [kgm2] |
53,00 |
1,0600 |
-0,0060 |
3,6E-05 |
0,0454 |
0,024246 |
53,00 |
1,0600 |
-0,0060 |
3,6E-05 |
0,0454 |
0,024246 |
53,00 |
1,0600 |
-0,0060 |
3,6E-05 |
0,0454 |
0,024246 |
52,00 |
1,0400 |
0,0140 |
0,000196 |
0,0437 |
0,02255 |
53,00 |
1,0600 |
-0,0060 |
3,6E-05 |
0,0454 |
0,024246 |
52,00 |
1,0400 |
0,0140 |
0,000196 |
0,0437 |
0,02255 |
53,00 |
1,0600 |
-0,0060 |
3,6E-05 |
0,0454 |
0,024246 |
52,00 |
1,0400 |
0,0140 |
0,000196 |
0,0437 |
0,02255 |
53,00 |
1,0600 |
-0,0060 |
3,6E-05 |
0,0454 |
0,024246 |
53,00 |
1,0600 |
-0,0060 |
3,6E-05 |
0,0454 |
0,024246 |
Pierścień mosiężny
czas 50 wachnięć: |
okresy [s] |
[s] |
[s2] |
Io [kgm2] |
Is [kgm2] |
53,00 |
1,0600 |
0,0060 |
3,6E-05 |
0,0486 |
0,0249 |
54,00 |
1,0800 |
-0,0140 |
0,000196 |
0,0486 |
0,0249 |
52,00 |
1,0400 |
0,0260 |
0,000676 |
0,0486 |
0,0249 |
53,00 |
1,0600 |
0,0060 |
3,6E-05 |
0,0468 |
0,0231 |
54,00 |
1,0800 |
-0,0140 |
0,000196 |
0,0486 |
0,0249 |
54,00 |
1,0800 |
-0,0140 |
0,000196 |
0,0468 |
0,0231 |
54,00 |
1,0800 |
-0,0140 |
0,000196 |
0,0486 |
0,0249 |
53,00 |
1,0600 |
0,0060 |
3,6E-05 |
0,0468 |
0,0231 |
53,00 |
1,0600 |
0,0060 |
3,6E-05 |
0,0486 |
0,0249 |
53,00 |
1,0600 |
0,0060 |
3,6E-05 |
0,0486 |
0,0249 |
Średnią okresów obliczamy ze wzoru:
Średni okres: 1,0540 s
Średni Ioś=0,04323kgm2.
Pierścień mosiężny:
Średni okres: 1,0660 s
Pierścień metalowy:
Średni Iośr = 0,04845kgm2.
Błąd wartości średniej obliczamy ze wzoru: ; gdzie
Suma 2 : 0,0008[s2]-p.metalowy
Suma 2 : 0,0016[s2]-p.mosiężny
Więc ostatecznie błąd wartości średniej okresu: S=± 0,003 s (pierścień metalowy)
S=± 0,004 s (pierścień mosiężny)
Następnie wartości m (błąd bezwzględny pomiaru wagi pierścienia) i a (Błąd bezwzględny pomiaru przesunięcia od głównej osi obrotu a) równają się odpowiednio: 0,001 kg i 0,001 m.
Wartość średnia okresu, waga pierścienia m i przesunięcie a jest równa odpowiednio
1,0540 s, 1,25 kg, 0,13 m. dla metalowego pręta i :1,066 s; 1,38 ; 0,136 m dla mosiężnego pręta.
Podstawiając te wszystkie wartości do wzoru (1) otrzymujemy:
Io/Iośr =0,0085 czyli Io= ± 0,00036 kgm2 dla metalowego pręta
Io/Iośr =0,0105 czyli Io= ± 0,0005 kgm2 dla mosiężnego pręta
Błąd względny obliczamy ze wzoru: i wynosi on
p. metalowy:δ=0,83%.
p.mosiężny: δ=1,04%
Aby sprawdzić jaka jest wartość procentowego odchylenia od wartości tablicowej określonego wzorem (2) musieliśmy przekształcić obliczony moment bezwładności pierścienia względem osi przesuniętej od osi głównej o a na moment bezwładności względem osi głównej ze wzoru:. Obliczenia znajdują się powyżej w tabelce.
p.metalowy Isśr =0,0232 kgm2.
p.mosiężny Isśr =0,0243 kgm2.
Błąd wartości Is obliczamy z prawa przenoszenia błędów:
czyli po obliczeniu pochodnych: =± 0,0005 kgm2-p.metalowy
=± 0,0004 kgm2-p.mosiężny
Wartość momentu bezwładności wynikającą z teorii obliczamy ze wzoru : .
Wynosi on około IT = 0,0226 kgm2 - p.metalowy ;IT=0,0191 kgm2- p.mosięzny
Błąd pomiaru masy m.=0,001 kg, błą pomiaru promieni R1=0,001 m. R1=0,001m
Błąd momentu bezwładności IT liczymy z prawa przenoszenia błędów i po obliczeniu pochodnych mamy:
=± 0,005 kgm2-pierścień metalowy
=± 0,006 kgm2-pierścień mosiężny
Procentowe odchylenie od wart.obliczonej ze wzoru (2) wynosi
4,5%-p.metalowy 10%-p.mosięzny
Obliczenia dla pręta:
Obliczenia dla pręta wykonujemy podobnie.Obliczamy T i śre dni okres.
Pręt metalowy
czas 50 wachnięć |
okresy [s] |
[s] |
[s2] |
I0 [kgm2] |
Is [kgm2] |
66 |
1,3200 |
0,0000 |
0 |
0,0327 |
0,0402 |
65 |
1,3000 |
0,0200 |
0,0004 |
0,0317 |
0,0393 |
66 |
1,3200 |
0,0000 |
0 |
0,0327 |
0,0402 |
67 |
1,3400 |
-0,0200 |
0,0004 |
0,0337 |
0,0412 |
67 |
1,3400 |
-0,0200 |
0,0004 |
0,0337 |
0,0412 |
65 |
1,3000 |
0,0200 |
0,0004 |
0,0317 |
0,0393 |
66 |
1,3200 |
0,0000 |
0 |
0,0327 |
0,0402 |
67 |
1,3400 |
-0,0200 |
0,0004 |
0,0337 |
0,0412 |
65 |
1,3000 |
0,0200 |
0,0004 |
0,0317 |
0,0393 |
66 |
1,3200 |
0,0000 |
0 |
0,0327 |
0,0402 |
Pręt mosiężny
czas 50 wachnięć |
okresy [s] |
[s] |
[s2] |
I0 [kgm2] |
Is [kgm2] |
70 |
1,4000 |
-0,0120 |
0,000144 |
0,036772 |
0,044322 |
69 |
1,3800 |
0,0080 |
6,4E-05 |
0,035728 |
0,043278 |
69 |
1,3800 |
0,0080 |
6,4E-05 |
0,035728 |
0,043278 |
70 |
1,4000 |
-0,0120 |
0,000144 |
0,036772 |
0,044322 |
69 |
1,3800 |
0,0080 |
6,4E-05 |
0,035728 |
0,043278 |
69 |
1,3800 |
0,0080 |
6,4E-05 |
0,035728 |
0,043278 |
70 |
1,4000 |
-0,0120 |
0,000144 |
0,036772 |
0,044322 |
70 |
1,4000 |
-0,0120 |
0,000144 |
0,036772 |
0,044322 |
69 |
1,3800 |
0,0080 |
6,4E-05 |
0,035728 |
0,043278 |
69 |
1,3800 |
0,0080 |
6,4E-05 |
0,035728 |
0,043278 |
Średnią okresów obliczamy ze wzoru:
Pręt metalowy:
Średni okres: 1,32 s
Średni Ioś=0,0327kgm2.
Pręt mosiężny:
Średni okres: 1,38 s
Średni Iośr = 0,0361kgm2.
Błąd wartości średniej obliczamy ze wzoru:
gdzie
Suma 2 : 0,0024 [s2]-pręt metalowy
Suma 2 : 0,0010 [s2]-pręt mosiężny
Więc ostatecznie błąd wartości średniej okresu: S=± 0,0051 s- pręt metalowy
S=± 0,0032 s - pręt mosiężny
Następnie wartości m (błąd bezwzględny pomiaru wagi pręta) i a (błąd bezwzględny pomiaru przesunięcia od głównej osi obrotu (a) równają się odpowiednio: 0,001 kg i 0,001 m.
Wartość średnia okresu, waga pręta m i przesunięcie a jest równa odpowiednio
1,3200 s; 0,67 kg; 0,1 m.(pręt metalowy);1,388s ; 0,755kg ; 0,1m. (pręt mosiężny)
Podstawiając te wszystkie wartości do wzoru (1) otrzymujemy:
Io/Io =0,01276 czyli Io= ±0,043 kgm2 pr. metalowy
Io/Io =0,01113 czyli Io= ±0,05 kgm2 pr.mosiężny
Błąd względny obliczamy ze wzoru: i wynosi on
δ=3,26%-pręt metalowy
δ=3,6%-pręt mosiężny
Aby sprawdzić jaka jest wartość błędu tablicowego określonego wzorem (2) musieliśmy przekształcić obliczony moment bezwładności pręta względem osi przesuniętej od osi głównej o a na moment bezwładności względem osi głównej ze wzoru:. Obliczenia poszczególnych Is znajdują się powyżej w tabelce. Średni Isśr = 0,043 kgm2-pr. mosiężny ;
Isśr = 0,04 kgm2-pr. metalowy
Błąd wartości Is obliczamy z prawa przenoszenia błędów:
czyli po obliczeniu pochodnych: =± 0,043 kgm2-pręt metalowy
=± 0,05 kgm2-pręt mosiężny
Wartość momentu bezwładności wynikającą z teorii obliczamy ze wzoru : .Wynosi on około
IT = 0,0357 kgm2 pr. metalowy
IT = 0,0396 kgm2 pr.mosiężny
Błąd pomiaru masy m=0,001 kg, błąd pomiaru długości pręta l=0,001 m
Błąd momentu bezwładności IT liczymy z prawa przenoszenia błedów i po policzenu pochodnych mamy:
=±0,0001kgm2-p.mosiężny
=±0,0001kgm2-p.metalowy
Procentowe odchylenie od wartości liczonej ze wzoru (2) wynosi 12,6% i 8,5%.
Zestawienie wyników
Momenty bezwładności dla obręczy:
obręcz metalowa Isśr =0,0232 ± 0,0005 [kgm2] (*)
obręcz mosiężna Isśr =0,0243 ± 0,0004 [kgm2] (*)
obręcz metalowa IT = 0,0226 ± 0,0001 [kgm2] (**)
obręcz mosiężna IT= 0,0191± 0,0001 [kgm2](**)
procentowe odchylenie od wart.obliczonej ze wzoru (2) wynosi
4,5%-obręcz metalowa 10%-obręcz mosięzna
Momenty bezwładności dla prętów:
Isśr = 0,043 ± 0,05 [kgm2] pręt mosiężny (*)
Isśr = 0,04 ± 0,043 [kgm2] pręt metalowy (*)
IT = 0,0357 ± 0,0005 [kgm2] pierścień metalowy (**)
IT = 0,0396± 0,0006 [kgm2] pierścieńmosiężny (**)
procentowe odchylenie od wartości obliczonej ze wzoru (2) wynosi
12,6%-pręt metalowy i 8,5%-pręt mosiężny
Wartości momentów bezwładności uzyskano za pomocą dwóch metod:
-(*) pomiaru okresu drgań wahadła fizycznego, a następnie obliczenia momentu z odpowiedniego wzoru
- (**)zmierzenia masy i wymiarów, a następnie obliczenia momentu ze wzoru.
Otrzymane wyniki są porównywalne dla pomiarów otrzymanych na oba sposoby, jednak pomiary wykonywane pierwszą metodą są obarczone dodatkowo błędem systematycznym wynikającym z tłumienia drgań.