Siły na równi - wstęp
Najpoważniejszym zadaniem o siłach jakie rozwiązuje się w szkole średniej jest zazwyczaj analiza ruchu klocka zsuwającego się z równi pochyłej. Jest to zadanie dosyć złożone i, niestety, bardzo często błędnie tłumaczone. Dlatego postaram się dokładnie wyjaśnić ten problem.
Co to jest równia pochyła?
Dowolna płaszczyzna nachylona pod pewnym kątem do poziomu może być uznana za równię pochyłą (nazywaną też „pochylnią”).  Tak więc równią może być pozioma deska, powierzchnia okładki książki, nawet szersza linijka. Ważne jest tylko, aby powierzchnia równi się nie wyginała i aby jej chropowatość była jednolita na całej długości. Kąt pod jakim równia jest ustawiona w stosunku do poziomu nazywamy kątem nachylenia równi i oznaczamy zazwyczaj przez α.
Oczywiście sama równia to jeszcze nie wszystko co potrzebujemy. Na równi kładziemy klocek (lub inny podobny przedmiot), który może się wzdłuż niej poruszać - może się zsuwać, ale też (jeżeli zostanie początkowo pchnięty do góry) dzięki nadanej początkowo prędkości może wjeżdżać na równię. Klocek też powinien mieć w miarę jednorodną powierzchnię. Może to być klocek z drewna, piórnik, gumka itp.
Cel podstawowy Podstawowym celem jaki postawimy sobie przy analizie ruch klocka na równi pochyłej jest  wyznaczenie siły wypadkowej   działającej na ten klocek, co umożliwi nam w dalszej kolejności wyznaczenie jego przyspieszenia. Jeżeli siła wypadkowa okaże się równa zero, to oznaczać to będzie, że klocek pozostanie w spoczynku, lub (jeżeli kto go wcześniej pchnął) będzie poruszał się po równi  ruchem jednostajnym prostoliniowym. W przypadku gdy siła wypadkowa będzie większa od zera będziemy mogli obliczyć przyspieszenie klocka. Zastosujemy wtedy II zasadę dynamiki Newtona:
Obliczanie siły wypadkowej dla klocka na równi

ponieważ jesteśmy na Ziemi, więc działa siła ciężkości.

siła reakcji podłoża (równi)

siła tarcia

Aby obliczyć siłę wypadkową musimy odpowiedzieć sobie najpierw na następujące pytanie: Jakie siły działają na ciało zsuwające się z równi?
Siła ta skierowana jest w dół, a jej wartość zależy od masy klocka (P= m× g). Gdyby działała tylko ta jedna siła, to ciało spadałoby swobodnie. Jednak spadaniu przeciwdziała siła...
Dzięki sile reakcji klocek nie może sforsować kierunku prostopadłego do powierzchni równi. Wartość siły reakcji jest dokładnie równa wartości składowej siły ciężkości prostopadłej do równi. W efekcie obie siły prostopadłe do powierzchni równi równoważą się i klocek nie przesuwa się wzdłuż kierunku prostopadłego do równi.
Siła ta jest przeciwna do kierunku ruchu, a więc dla klocka zsuwającego się będzie skierowana wzdłuż równi, do góry. Wartość tej siły zależy od współczynnika tarcia klocka o równię.

I to już wszystkie siły! Na ciało działają tylko trzy siły zewnętrzne: ciężkości, reakcji podłoża i tarcia. W szczególności nie ma (!!!) żadnej dodatkowej "siły ruchu", czy specjalnej siły dzięki której klocek się porusza.

Jak poprawnie narysować rozkład sił na równi?

Oto sposób postępowania: 1. Najpierw rysujemy siłę ciężkości skierowaną pionowo w dół. Punkt przyłożenia siły ciężkości powinien znajdować się w środku ciała. 2. Rozkładamy siłę ciężkości na składowe, aby przeanalizować dwie role jakie pełni siła ciężkości (patrz Dokładny rozkład siły ciężkości na składowe): składową równoległą do kierunku ruchu (a więc i do powierzchni równi) - jest to tzw. "siła ściągająca", czyli składowa powodująca ruch klocka w dół równi składową prostopadłą do równi - dociska ona klocek do równi 3. Rysujemy siłę reakcji równi (patrz - Rysowanie siły reakcji równi) jest ona dokładnie przeciwna do składowej siły ciężkości prostopadłej do równi (siły te równoważą się). Siła reakcji równi nie pozwala klockowi spadać. Zwyczajowo punkt przyłożenia tej siły rysujemy od punktu styczności klocka z równią. 4. Rysujemy siłę tarcia (patrz Rysowanie siły tarcia). Wektor tej siły "leży" na równi przyczepiony do końca klocka. Musi być on przeciwny do kierunku ruchu, a więc dla klocka zsuwającego się będzie wycelowany nieco w górę. Kompletny rozkład sił na równi wygląda tak: Jak widać na klocek działają trzy siły. Nie narysowano sił składowych kreślonych pomocniczo, bo nie są one prawdziwymi siłami, mającymi źródło w oddziaływaniu z innymi ciałami, tylko obrazują role jakie pełni tu siła ciężkości. Dokładne narysowanie wszystkich sił jest bardzo ważne, bo stanowi punkt wyjścia do dalszych obliczeń.

Dokładny rozkład siły ciężkości na składowe

Rysujemy siłę ciężkości skierowaną pionowo w dół. W rysunkach schematycznych nie musimy się martwić o jej długość - rysujemy ją tak, aby dobrze mieściła się na rysunku.

rysujemy linie pomocnicze (przerywane): prostopadłe i równoległe do równi. Muszą one przechodzić przez początek i koniec wektora siły ciężkości.

W celu rozłożenia siły ciężkości na składowe postępujemy następująco:
Prowadzimy wektory sil składowych: - składowa prostopadła do kierunku ruchu (P+) ma początek w początku siły ciężkości, a koniec w punkcie przecięcia linii pomocniczych (patrz rzutowanie wektora) - składowa równoległa do kierunku ruchu (P||) ma początek w początku siły ciężkości, a koniec w drugim punkcie przecięcia linii pomocniczych Uwaga: Te dwie składowe nie są nowymi siłami, lecz zastępują nam siłę P tak, że ukazują jej rolę w ściąganiu klocka w dół i dociskaniu do powierzchni równi.	Na tym rysunku na zielono zaznaczono siłę dociskającą klocek do równi (składowa prostopadła siły ciężkości), a na czerwono składową równoległą siły ciężkości.

Rysowanie siły reakcji równi
Siła reakcji równi jest siłą dokładnie przeciwną do składowej siły ciężkości prostopadłej do równi (siły dociskającej). Ma więc ona ten sam kierunek i wartość co siła dociskająca, ale przeciwny zwrot. Siłę reakcji rysujemy od punktu styczności klocka z równią, aby podkreślić, że źródłem tej siły jest równia (gdyby nie było równi, nie byłoby tej siły i klocek by spadał)	Na tym rysunku grubsza strzałka zielona to siła reakcji podłoża

Rysowanie siły tarcia

Siłę tarcia narysować jest najłatwiej, bo jest ona zawsze zgodna z kierunkiem równi, a jej zwrot jest przeciwny do prędkości. Zazwyczaj przy rysunkach pomocniczych nie musimy martwić się o długość strzałki tej siły, bo nie zależy ona bezpośrednio od pozostałych sił (ale pośrednio tak!) Na tym rysunku przedstawiono przypadek siły tarcia dla ruchu w dół równi. Tarcie klocka poruszającego się w górę równi (ciągniętego, bądź energicznie pchniętego) byłoby przeciwne.

na tym rysunku na zielono narysowana jest siła tarcia

Obliczanie siły wypadkowej działającej na klocek zsuwający się z równi
Głównym celem analizowania sił działających na równi było obliczenie siły wypadkowej. Teraz więc zajmiemy się rachunkową częścią zadania
Przypomnijmy: siła wypadkowa jest sumą wektorową wszystkich działających sił: Przy czym my oznaczyliśmy: siłę ciężkości przez P, siłę reakcji jako R, siłę tarcia jako T
Zatem: Jednoczenie siłę ciężkości P rozłożyliśmy na składową prostopadłą P+ i równoległą P|| do równi: Podstawiamy tę zależność do równania na siłę wypadkową: Teraz trzeba zauważyć, że
Składowa prostopadła siły ciężkości i siła reakcji są do siebie przeciwne i mają tę samą wartość (równoważą się), a więc ich suma jest równa zero (jest wektorem zerowym) - patrz rysowanie siły reakcji
Po uwzględnieniu tego faktu równanie na siłę wypadkową znacznie nam się uprości: Powstałe równanie jest ważnym wnioskiem. Sformułujmy go słownie: Siła wypadkowa działająca na klocek zsuwający się z równi jest sumą wektorową siły ściągającej (czyli składowej siły ciężkości równoległej do równi) i siły tarcia.

Np. gdy klocek zsuwa się bez tarcia, wtedy mamy już obliczoną siłę wypadkową:

Teraz następny ważny moment - pozbywamy się wektorów z naszych obliczeń. Do tego, żeby znaleźć wartość siły wypadkowej musimy równanie na siłę wypadkową zapisać w postaci skalarnej - z wartościami wektorów (liczbami) zamiast z samymi wektorami. Skorzystamy tu z ważnego faktu, że siła tarcia i siła ściągająca leżą na jednej prostej. Oznacza to, że jeżeli zwrot siły ciągającej uznajemy za dodatni, to siła tarcia w równaniu na wartości wystąpi ze znakiem minus.

Fw = P|| - T	Zwróć uwagę!:  po pozbyciu się strzałek nad symbolami sił, wartość siły tarcia występuje ze znakiem minus. I tak być musi, bo na zsuwający się klocek tarcie działa przeciwnie do kierunku, który umownie przyjęliśmy jako dodatni - do kierunku w dół równi.
Mamy (prawie) siłę wypadkową. Znak minus przy sile tarcia wskazuje, że tarcie przyczynia się do hamowania ciała. Teraz musimy jeszcze wyrazić obydwie siły przez wartości dane. A co tu mamy dane? - najczęściej w tym problemie zakłada się:

Dane: kąt nachylenia równi a: współczynnik tarcia klocka o równię: f masę klocka: m.

Szukamy: siła wypadkowa Fw, przyspieszenie ciała a

W celu obliczenia siły wypadkowej, musimy siłę ściągającą P|| oraz tarcie T wyrazić przez dane: m, f, a . Aby to zrobić trzeba posłużyć się funkcjami trygonometrycznymi sinus i kosinus.
Przypatrzmy się jeszcze raz rozkładowi siły ciężkości na składowe. Rysunek poniższy jest podobny do poprzedniego z wyjątkiem umiejscowienia siły ściągającej P||. Została ona przeniesiona do końca siły ciężkości, tak aby wraz ze składową prostopadłą utworzyć trójkąt prostokątny. Kąt ostry tego trójkąta jest równy kątowi nachylenia równi (kąty o ramionach prostopadłych są równe)

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus można napisać:
	stąd:	P|| =P× sin a
	stąd:	P+ =P× cos a
P|| jest już gotowa do podstawienia. P+ użyjemy do obliczenia siły tarcia. Skorzystamy przy tym ze wzoru definiującego współczynnik tarcia: gdzie T jest wartością siły tarcia, a N jest wartością siły dociskającej trące powierzchnie. Z wzoru tego, po pomnożeniu obu stron równania przez N, otrzymujemy: T=N× f W naszym wypadku za docisk klocka do równi odpowiada składowa prostopadła siły ciężkości. N = P+ Podstawiamy wyrażanie na P+ N=P× cos a Ostatecznie mamy więc wartość siły tarcia klocka zsuwającego się z równi (ten wzór jeszcze się przyda!): T= f× P× cos a Teraz zarówno tarcie, jak i siłę ściągającą podstawimy do wzoru na siłę wypadkową: Fw= P× sin a - f× P× cos a Po wyciągnięciu P przed nawias otrzymamy bardziej zwartą postać siły wypadkowej: Fw= P× (sin a - f× cos a ) Aby siła ta zawierała jedynie wielkości dane trzeba na koniec podstawić wartość siły ciężkości: P = m× g Zatem (Wynik 1!): Fw= m× g× (sin a - f× cos a ) Jest to szukany przez nas wzór na siłę wypadkową. Aby obliczyć przyspieszenie klocka, trzeba skorzystać z 2 zasady dynamiki Newtona: Po podstawieniu w miejsce Fwypadkowa otrzymanego wzoru uzyskamy : Teraz m się skraca i otrzymujemy wzór ostateczny: a = g× (sin a - f× cos a )

Klocek na równi - zadania dodatkowe

A teraz dwa proste problemy - zadanka dla sprawdzenia, czy wszystko jest jasne. Problem 1 Dane jest masa klocka, kąt nachylenia równi i współczynnik tarcia. Ile wynosi siła tarcia dla klocka w ruchu i spoczywającego. Jaki kąt nachylenia powinna mieć równia o współczynniku tarcia f = 0,25, aby klocek postawiony na niej nie zsuwał się? Problem 2 Z jaką siłą należy ciągnąć ciało o masie 100 kg w górę gładkiej równi (gładka, czyli bez tarcia!) o kącie nachylenia 30°? Ile razy mniej siły trzeba, aby wciągnąć ten klocek po równi tej niż podnieć go? Rozwiązanie problemu 1. Jest to problem łatwy rachunkowo, choć nie całkiem oczywisty, jeśli chodzi o wytłumaczenie. Na początek spróbuj rozwiązać ten problem samodzielnie. ... Znasz już odpowiedź? - a teraz moje rozwiązanie...

Rozwiązanie problemu 1: Najpierw musimy uwiadomić sobie co powoduje ruch klocka. Wiadomo, dla małych kątów nachylenia klocek będzie wystarczająco przytrzymywany przez tarcie; dla dużych, klocek zsunie się. Pojawia się zatem pytanie: Przy jakim kącie nachylenia postawiony klocek zaczyna zsuwać się z równi? Ten przypadek graniczny jest wynikiem zmiany w konfiguracji dwóch sił: siły ściągającej - działającej w dół i siły tarcia przytrzymującej. Wraz ze wzrostem kąta nachylenia równi zwiększa się wartość siły ściągającej. A co się dzieje z siłą tarcia? - póki klocek spoczywa, musi istnieć równowaga tych sił (I zasada dynamiki Newtona), a więc siła tarcia musi rosnąć równoważąc siłę ciągającą. Jednak... tylko do pewnego momentu. Do jakiego momentu? - do sytuacji, w której spełniony zostanie wzór: Tutaj widzimy kolejny problem: to jak to... to do tej pory ten wzór nie obowiązywał (przecież jest podawany "jak prawdziwy"... - to po co się go uczymy?) Ano właśnie! - powyższy wzór opisuje albo: wartość maksymalnej siły tarcia przy ruszaniu (tzw. tarcie statyczne), albo siły tarcia dynamicznego (dla klocka w ruchu). Póki klocek spoczywa, ale nie ma tendencji do ruszania, dopóty siła tarcia wyrównuje się do wartości siły ściągającej i wzór nie ma zastosowania. Czyli mamy pierwszą część odpowiedzi: Dla nieruchomego klocka siła tarcia jest równa sile ściągającej: T = P|| = P× sin a a ponieważ P = m× g T = m× g × sin a Dopiero dla ruchomego klocka zaczyna obowiązywać wzór ze współczynnikiem tarcia. Zajmijmy się teraz przypadkiem granicznym, czyli sytuacją, w której klocek rusza z miejsca. Wtedy stosujemy wzór na tarcie statyczne: Oraz T = P|| Z pierwszego równania po pomnożeniu obu stron przez N otrzymamy: T = f N, czyli P||=f × N Ale ponieważ P|| = P× sin a, a N = P+= P× cos a (patrz w rozwiązaniu głównego zadania), więc P sin a = P× f× cos a Po podzieleniu obu stron równania przez P× cos a mamy: , ale z funkcji trygonometrycznych wiadomo, że , czyli tg a = f I to jest szukana zależność dla kąta granicznego tg a graniczne = fstatyczne

Jeżeli chcemy, aby klocek nie zsuwał się po równi o współczynniku tarcia statycznego 0,5 tangens kąta nachylenia równi musi spełniać warunek:	tg a graniczne < 0,5
Zachodzi to dla kąta:	a graniczne < 26,5°
A teraz obliczymy siłę tarcia dla kąta granicznego	T = fstatyczne N
A ponieważ (patrz główne rozwiązanie):	N = P× cos a = m× g × cos a
więc:	Tgraniczne = fstatyczne × m × g × cos a graniczne
Z kolei dla klocka w ruchu obowiązuje wzór wyprowadzony w głównej części zadania - Tw ruchu = fdynamiczne × m × g × cos a Podsumujmy nasze rozważania:

Odpowiedź do problemu 1
dla klocka nieruchomego	T = m× g × sin a
przypadek szczególny: a = a graniczne	T = m× g× sin a graniczne=fstatyczne× m× g× cosa graniczne
dla klocka w ruchu	Tw ruchu = fdynamiczne × m × g × cos a
wartość kąta granicznego spełnia równanie	tg a graniczne = fstatyczne
kąt graniczny	a graniczne < 26,5°
Uwaga: Zazwyczaj wartość współczynnika tarcia statycznego jest większa od współczynnika tarcia dynamicznego.

 

Rozwiązanie problemu 2.
Dane:	Szukamy
m=100 kg a = 30° brak tarcia, czyli f = 0	F ciągnięcia

Zróbmy rysunek, na którym zaznaczymy wszystkie działające siły: siłę ciężkości siłę reakcji równi siłę ciągnącą klocek w górę Tutaj siły tarcia nie ma
Widać z tego rysunku, że:
Siła ciężkości jest jak poprzednio częściowo równoważona przez siłę reakcji (dokładniej siła reakcji równoważy składową siły ciężkości prostopadłą do równi). Składowa siły ciężkości równoległa do równi (siła ściągająca) ma swoją oponentkę w postaci siły ciągnącej F.
Jak wielka musi być F, aby pociągnąć klocek do góry? Pierwsza narzucająca się odpowiedź, to: większa niż siła ściągająca. Tak, ale o ile większa? - wystarczy, aby siła ta choćby na chwilę była minimalnie większa od składowej ściągającej (nawet np. o jedną bilionową Newtona). Wtedy klocek zostanie już ruszony i dalej można już tylko podtrzymywać jego prędkość działając siłą dokładnie równą sile ściągającej. Tak więc praktycznie przez prawie cały ruch ciągnąca siła może być równa sile ściągającej. F = P|| Ponieważ P|| = m× g × sin a , więc (odpowiedź w zadaniu) F = m× g × sin a , Podstawiamy dane: F = 100 kg× 10 m/s^2 × sin 30°=1000 N× 0,5=500 N A jaką siłą trzeba działać aby zwyczajnie podnieć klocek do góry? - zastosujemy wzór na siłę ciężkości: P = m× g P = 100 kg× 10 m/s^2 =1000 N Stosunek tych sił wynosi 0,5 - dwa razy łatwiej jest ciągnąć ciało po takiej równi, niż podnosić je. Pytanie dla czytelnika: A przy jakim współczynniku tarcia nie mielibyśmy żadnego zysku na sile, tzn. kiedy cały zysk z zastosowania równi zostałby wykorzystany na pokonanie siły tarcia? Odp. - spróbuj samodzielnie dojść do tej odpowiedzi.

---