Badanie ruchu bryły sztywnej na równi pochyłej.

1. Wiadomości teoretyczne

Równia pochyła jest jedna z maszyn prostych. Urządzenia, których działanie oparte jest na równi były używane przez ludzkość od zarania dziejów. Przykładem równi jest dowolna pochylnia.

Maszyny proste - (w fizyce) idealizacje prostych rzeczywistych mechanizmów urządzeń mechanicznych wprowadzone w celu wyjaśnienia działania mechanizmów urządzeń ułatwiających wykonanie pewnych czynności (pracy) poprzez zmianę wartości lub kierunku działania siły wykonującej daną pracę. Maszyny proste określają wzajemną relację pomiędzy siłami poruszającymi a użytecznymi w stanie równowagi, w warunkach spoczynku, ruchu jednostajnego postępowego lub obrotowego przy zaniedbaniu sił tarcia i inercji układu.

Zgodnie z zasadą zachowania energii, praca wykonana nad danym układem bez maszyny prostej oraz z użyciem dowolnego zbioru maszyn prostych jest zawsze taka sama. Korzyść polega na tym, że możemy np. użyć mniejszej siły, ale wówczas musimy pokonać dłuższą drogę.

Na równi pochyłej zasadę zachowania energii możemy zapisać jako:

gdzie:

m - masa kulki

g -przyspieszenie ziemskie

h- wysokość równi

v-prędkość kulki u podstawy równi

I-moment bezwładności kulki względem osi środkowej

ω – prędkość kątowa

Równia to płaska powierzchnia nachylona do poziomu pod pewnym kątem, po powierzchni równi przesuwa się ciało.

Zagadnieniem równi określa się określenie zasad ruchu ciała po równi.

Moment bezwładności, miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym. Charakteryzuje rozkład masy w ciele. Moment bezwładności ciała względem osi z nazywane jest wyrażenie:


Momenty bezwładności wybranych brył:

1. Opis ćwiczenia

Ćwiczenie polegało na stoczeniu 3 kul, o różnych masach i średnicach, po równi pochyłej o długości 3,3m i zmierzeniu czasu ich staczania za pomocą elektronicznego czasomierza. Dla każdej kuli dokonaliśmy po 10 pomiarów przy dwóch różnych wysokościach.

1. Tabela pomiarowa

h1 [m]	t[s]	h2[m]	t[s]
	Kulka 1 m1=286,30g r1=20,65mm	Kulka 2 m2=68,98g r2=23,4mm	Kulka 3 m3=2,63g r3=18,45mm
0,5	2,539	2,511	2,950
	2,573	2,533	2,867
	2,540	2,544	2,874
	2,586	2,497	2,891
	2,549	2,510	2,939
	2,584	2,502	2,981
	2,542	2,517	2,905
	2,541	2,508	2,962
	2,529	2,499	2,922
	2,566	2,500	2,951
	$$\overset{\overline{}}{t_{1}} = 2,555$$	$$\overset{\overline{}}{t_{2}} = 2,512$$	$$\overset{\overline{}}{t_{3}} = 2,924$$

Δ_dr=0,00002m Δ_er=0,0001mm

Δ_dh= 0,001m Δ_eh= 0,002m

Δ_dm=0,01g Δ_em=0,01g

Δ_ds=0,01m Δ_esu=0,01m

1. Obliczenia

- Obliczenie wartości$\ \overset{\overline{}}{t}$ –

-wzór ogólny-

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$$

Np.

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{1}{10}*\left( 2,539 + 2,573 + 2,540 + 2,586 + 2,549 + 2,584 + 2,542 + 2,541 + 2,529 + 2,566 \right) = 2,555$$

- Obliczenie wartości C-

-wzór ogólny-

$$C = \frac{\text{gh}t^{2}}{2s^{2}} - 1$$

gdzie:

-g - współczynnik przyspieszenia ziemskiego (),

-h - wysokość równi pochyłej,

-t – czas staczania się kulki,

-s – długość równi (3,30m),

-m – masa kulki.

• Kulka 1( m₁= 286,30g, r₁=0,00206m)

- wysokość h₁= 0,5m

$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,5m*\left( 2,555s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,470$$

-wysokość h₂= 0,3m

$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,3m*\left( 3,285s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,458$$

• Kulka 2(m₂=68,98g, r₂=0,00234m)

- wysokość h₁= 0,5m

$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,5m*\left( 2,512s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,421$$

-wysokość h₂= 0,3m

$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,3m*\left( 3,251s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,428$$

• Kulka 3(m₃=2,63g, r₃=0,00184m)

- wysokość h₁= 0,5m

$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,5m*\left( 2,924s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,925$$

-wysokość h₂= 0,3m

$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,3m*\left( 3,844s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,996$$

- Obliczenie wartości momentu bezwładności I:

• Kulka 1:

- wysokość h₁= 0,5m

I_d = C * m * (R)² =  0, 470 * 0, 2863 * (0, 00206)² = 5, 71 * 10⁻⁷ kg * m²

$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,2863*\left( 0,00206 \right)^{2} = 4,86*10^{- 7}\ kg*m^{2}$$

- wysokość h₁= 0,3m

I_d = C * m * (R)² =  0, 458 * 0, 2863 * (0, 00206)² = 5, 56 * 10⁻⁷ kg * m²

$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,2863*\left( 0,00206 \right)^{2} = 4,86*10^{- 7}\ kg*m^{2}$$

• Kulka 2:

- wysokość h₁= 0,5m

I_d = C * m * (R)² =  0, 421 * 0, 06898 * (0, 00234)² = 1, 59 * 10⁻⁷ kg * m²

$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,06898*\left( 0,00234 \right)^{2} = 1,51*10^{- 7}\ kg*m^{2}$$

- wysokość h₁= 0,3m

I_d = C * m * (R)² =  0, 428 * 0, 06898 * (0, 00234)² = 1, 62 * 10⁻⁷ kg * m²

$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,06898*\left( 0,00234 \right)^{2} = 1,51*10^{- 7}\ kg*m^{2}$$

• Kulka 3:

- wysokość h₁= 0,5m

I_d = C * m * (R)² =  0, 925 * 0, 00263 * (0, 00184)² = 8, 24 * 10⁻⁹ kg * m²

$$I_{t} = \frac{2}{3}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{3}*0,00263*\left( 0,00184 \right)^{2} = 5,93*10^{- 9}\ kg*m^{2}$$

- wysokość h₁= 0,3m

I_d = C * m * (R)² =  0, 996 * 0, 00263 * (0, 00184)² = 8, 87 * 10⁻⁹ kg * m²

$$I_{t} = \frac{2}{3}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{3}*0,00263*\left( 0,00184 \right)^{2} = 5,93*10^{- 9}\ kg*m^{2}$$

-Wartość średnia momentu bezwładności poszczególnych kulek:

Moment bezwładności	Kulka 1	Kulka 2	Kulka 3
Id[kg*m^2]	5, 64 * 10^−7	1, 61 * 10^−7	8, 56 * 10^−9
It[kg*m^2]	4, 86 * 10^−7	1, 51 * 10^−7	5, 93 * 10^−9

1. Dyskusja niepewności pomiarowych

- Niepewność standardowa u(h)−

$$u\left( h \right) = \sqrt{\frac{\left(_{d}h \right)^{2} + {(_{e}h)}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{{(0,001)}^{2} + {(0,002)}^{2}}{3}} = 0,00129m$$

- Niepewność standardowa $\overset{\overline{}}{t}\ $dla każdej kulki -

$$u\left( \overset{\overline{}}{t}\ \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(t_{i} - \overset{\overline{}}{t})}^{2}}{n(n - 1)}}$$

	H1=0,5m	H2=0,3m
	Kulka 1	Kulka 2
$$u(\overset{\overline{}}{\overset{\overline{}}{t})}\lbrack s\rbrack$$	0,0206	0,0155

- Niepewność złożona u_c(C)−

$$C = \frac{\text{gh}t^{2}}{2s^{2}} - 1$$

- wzór ogólny –

$$u_{c}(y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial y}{\partial x_{i}}\ \ u(x_{i}) \right\rbrack^{2}}$$

$$u_{c}\left( C \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\text{δC}}{\text{δh}}\text{\ \ u}\left( h \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\text{δC}}{\text{δt}}\text{\ \ u}\left( t \right) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{\left( \left( \frac{gt^{2}}{2s^{2}} \right)*u\left( h \right) \right)^{2} + \left( \left( \frac{\text{ght}}{s^{2}} \right)*u\left( t \right) \right)^{2}}$$

h[m]	uc(C)
	Kulka 1
0,5	0,024
0,3	0,063

- Niepewność rozszerzona U(I_d)−

• Kulka 1:

I_d = 5, 64 * 10⁻⁷ [kg * m²]

$$\overset{\overline{}}{C} = \frac{0,470 + 0,458}{2} = 0,464$$

$$u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\frac{{(5,71 - 5,64)}^{2} + {(5,56 - 5,64)}^{2}}{2}}*10^{- 7} = 0,075*{10\ }^{- 7}\lbrack kg*m^{2}\rbrack$$

$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,2863*\left( 0,00206 \right)^{2} = 4,86*10^{- 7}\ \lbrack kg*m^{2}\rbrack$$

I = I_d − I_t = (5,64−4,86) * 10⁻⁷ = 0, 78 * 10⁻⁷[kg * m²]

U(I) = 2 * u(I_d) = 0, 15 * 10⁻⁷[kg * m²]

I > U(I)

• Kulka 2:

I_d = 1, 61 * 10⁻⁷ [kg * m²]

$$\overset{\overline{}}{C} = \frac{0,421 + 0,428}{2} = 0,4245$$

$$u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\frac{{(1,59 - 1,61)}^{2} + {(1,62 - 1,61)}^{2}}{2}}*10^{- 7} = 0,016*{10\ }^{- 7}\lbrack kg*m^{2}\rbrack$$

$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,06898*\left( 0,00234 \right)^{2} = 1,51*10^{- 7}\ kg*m^{2}$$

I = I_d − I_t = (1,61−1,51) * 10⁻⁷ = 0, 10 * 10⁻⁷[kg * m²]

U(I) = 2 * u(I_d) = 0, 032 * 10⁻⁷[kg * m²]

I > U(I)

• Kulka 3:

I_d = 8, 56 * 10⁻⁹ [kg * m²]

$$\overset{\overline{}}{C} = \frac{0,925 + 0,996}{2} = 0,960$$

$$u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\frac{{(8,24 - 8,56)}^{2} + {(8,87 - 8,56)}^{2}}{2}}*10^{- 9} = 0,31*{10\ }^{- 9}\lbrack kg*m^{2}\rbrack$$

$$I_{t} = \frac{2}{3}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{3}*0,00263*\left( 0,00184 \right)^{2} = 5,93*10^{- 9}\ kg*m^{2}$$

I = I_d − I_t = (8,56−5,93) * 10⁻⁹ = 2, 63 * 10⁻⁹[kg * m²]

U(I) = 2 * u(I_d) = 0, 62 * 10⁻⁹[kg * m²]

I > U(I)

1. Wnioski

Doświadczenie przebiegło bez zakłóceń. Podczas jego przeprowadzania użyłem trzech różnych kulek, zarówno pod względem masy jak i budowy. Jedna z kulek była pusta w środku dwie pozostałe zaś nie. Po wyliczeniu momentów bezwładności kulek jak i ich niepewności pomiarowych przy użyciu metody niepewności rozszerzonej zauważyłem że w każdym z przypadków otrzymałem . Taki stan rzeczy wskazuje, iż wyznaczone przeze mnie momenty bezwładności są w pewnym stopniu niezgodne z wartościami teoretycznymi. Największa rozbieżność występuje w przypadku kulki 3. Kulka ta była bardzo lekka co zapewne wpłynęło negatywnie na pomiary jej czasów. Przyczyną takich a nie innych wyników mogą być warunki, w jakich przeprowadzaliśmy doświadczenie, m.in. przechodzące osoby koło równi i związane z tym ruchy powietrza oraz niedoskonałości przyrządów pomiarowych. Nie bez znaczenia jest też występujące tarcie pomiędzy kulką a równią. Na pewno wpływ miał też brak doświadczenia przy przeprowadzaniu tego typu doświadczeń przez nas- eksperymentatorów.