Piotr Wiśniewski 25.X.2002

Ćwiczenie 43

Temat: Wyznaczanie współczynników temperaturowych rozszerzalności liniowej i oporu elektrycznego dla metali i stopów.

1. Tabela wyników:

Lp.	U [V]	E [mV]	l [mm]	T [K]	I [A]	R
1	1	0,1	0,03	2,5	0,1513	6,609385327
2	2	0,3	0,13	7,5	0,325	6,153846154
3	3	0,5	0,28	12,5	0,445	6,741573034
4	4	0,7	0,44	17,5	0,569	7,029876977
5	5	0,9	0,59	23	0,674	7,418397626
6	6	1,2	0,87	30	0,789	7,604562738
7	7	1,5	1,06	37,5	0,869	8,055235903
8	8	1,8	1,26	45	0,931	8,592910849
9	9	2,1	1,58	52,5	0,994	9,054325956
10	10	2,4	1,74	60	1,053	9,496676163
11	11	2,7	1,94	67,5	1,094	10,05484461

2. Teoria:

Jeśli ogrzewamy jakiekolwiek ciało w pewnym punkcie, to zawsze stwierdzimy po pewnym czasie ogrzanie sąsiednich punktów tego ciała lub też innych ciał znajdujących się w pobliżu. Dowodzi to, że energia cieplna przenosi się z jednych punktów do drugich. Przenoszenie to odbywać się może trzema różnymi sposobami:

1. Unoszenie - przykładem przenoszenia się ciepła wraz z materią - unoszenie ciepła - może być płomień zwykłego palnika gazowego. Powietrze znajdujące się w bezpośredniej bliskości płomienia po ogrzaniu posiada mniejszą gęstość, niż powietrze otaczające, dzięki temu wytwarza się prąd ogrzewanego powietrza ku górze, przenoszący ze sobą energię cieplną.

2. Promieniowanie - stosujemy tu twierdzenie:

Każde ciało znajdujące się w temperaturze O K promieniuje do otoczenia energię, którą można określić w następujący sposób:


Stosunek zdolności emisyjnej ciała E(lambda,T) do jego zdolności absorpcyjnej a(lambda,T) jest dla wszystkich ciał taką samą funkcją zależną od długości emitowanego promieniowania i temperatury ciała.

Prawo Kirchoffa.

3. Przewodnictwo

I równanie przewodnictwa (równanie Fouriera):



K - współczynnik przewodnictwa cieplnego

II równanie przewodnictwa (szybkość przewodnictwa ciepła):


H_c - przewodnictwo termometryczne.


Rozszerzalność liniowa w zależności od temperatury przedstawia się następująco:

Jest to zależność liniowa. Współczynnik alfa nosi nazwę współczynnika temperaturowego rozszerzalności liniowej.

Przyrost długości pręta jest wprost proporcjonalna do przyrostu temperatury. Całkowita długość pręta podczas jego ogrzania o delta T wzrośnie o :


a wartość każdej jednostki długości pręta ogrzanego o 1 K wzrośnie o :


Wielkość a nazywamy współczynnikiem termicznym rozszerzalności liniowej . Jak widać z równania powyżej, współczynnik rozszerzalności liniowej jest równy stosunkowi długości do iloczynu pierwotnej długości i przyrostu temperatury.

Uwzględniając, że:


otrzymamy z powyższych wzorów wzór na długość pręta w temperaturze T:


Powyższa zależność stosuje się dokładnie tylko w niewielkim zakresie temperatur, stanowi bowiem pierwsze przybliżenie.

Dokładne pomiary wykazują, że należałoby stosować wyrażenia zawierające zależność długości również o kwadratu, a nawet i od sześcianu przyrostu temperatury, a więc typu :


przy czym współczynnik beta jest na ogół znikomo mały i wywiera wpływ tylko przy stosunkowo dużych zmianach temperatury.

W miarę wzrostu temperatury wszystkie wymiary ciała rosną w tym samym stosunku, wobec tego rośnie też jego powierzchnia i objętość. W związku z tym można wprowadzić pojęcie współczynnika rozszerzalności powierzchniowej i objętościowej.

W ćwiczeniu wykorzystywane jest zjawisko termoelektryczne Seebecka, które polega na wystąpieniu siły elektromotorycznej w obwodzie złożonym z dwóch kawałków różnych metali, których połączone końce znajdują się w różnych temperaturach. Sam taki obwód złożony z połączonych ze sobą na końcach kawałków dwóch różnych metali nazywamy termoparą. Wielkość siły termoelektryczną występują w termoparze opisuje prawo Avenariusa:


Oznacza różnicę temperatur pomiędzy końcami termopary, a jest stałą charakterystyczną dla danej pary metali, zaś T_m jest temperaturą punktu neutralnego - jest to temperatura gorętszego spojenia termopary, przy której występuje największa siła termoelektryczna dla zadanej temperatury chłodniejszego spojenia.

Siłę termoelektryczną występującą w termoparze można mierzyć włączając w obwód woltomierz. Ma w tym przypadku zastosowanie prawo trzeciego metalu tzn. wprowadzenie do obwodu metali A i B trzeciego metalu C nie wpływa na wartość wypadkowej siły termoelektrycznej, pod warunkiem, że oba końce przewodu z metalu C znajdują się w takiej samej temperaturze.

Jeżeli do końców przewodnika doprowadzimy napięcie U, to wytworzone w ten sposób pole elektryczne spowoduje przepływ prądu a natężeniu I. Prawo Ohma mówi, że stosunek napięcia między dwoma punktami przewodnika do natężenia przepływającego przezeń prądu jest wielkością stałą i nie zależy ani od napięcia ani od natężenia prądu. Stosunek ten nazywamy oporem:


Opór elektryczny przewodnika zmienia się wraz z temperaturą; w przypadku przewodników metalicznych opór ten w miarę wzrostu temperatury wzrasta, w przypadku półprzewodników (węgiel i inne) i elektrolitów - maleje. Niektóre stopy mogą wykazywać stałość oporu przy zmianach temperatury. Wielkością charakteryzującą zmiany temperaturowe oporu danego przewodnika jest współczynnik temperaturowy a (alfa). Wyraża on ze względny przyrost oporu:


Przy ogrzaniu przewodnika o 1stopień C. Jeśli przyrost oporu spowodowany ogrzaniem od 0 do t stopni, to współczynnik a (alfa) możemy określić zależnością:


Współczynnik a możemy zatem wyznaczyć na podstawie tego wzoru, jeśli zmierzony zostanie opór R₀ w temperaturze 0 stopni C i opór R_t w temperaturze t.

Niejednokrotnie zdarza się tak, że możemy natomiast zmierzyć opór R₀, bo nie dysponujemy lodem; możemy natomiast zmierzyć opór w dwu różnych od zera temperaturach t₁ i t₂. Posługujemy się wówczas wzorem na współczynnik a, wyprowadzonym w sposób następujący:

Z równania wynika, że zależność oporu od temperatury jest następująca:


Mając opory R₁ i R₂ tego samego przewodnika w temperaturach t₁ i t₂ możemy napisać dwa równania:


Dzieląc te równania stronami otrzymujemy wzór na współczynnik alfa:



I Prawo Ohma :

II Prawo Ohma :


gdzie:

l - długość przewodnika

s - powierzchnia przekroju

Lokalne Prawo Ohma :


gdzie: j - gęstość prądu

3. Obliczenia:

Schemat obwodu pomiarowego:





Ćwiczenie rozpoczynamy od sprawdzenia połączeń układu. Następnie wyznaczamy długość początkową drutu i zerujemy czujnik zegarowy. Włączamy zasilanie. Następnie zmieniamy napięcie co 1 V (do 10 V) i notujemy po ustaleniu się temperatury drutu SEM termopary E, przyrost długości, napięcie U oraz natężenie prądu I.

Wyniki:

Wykonując pomiary dwu wielkości x i y uzyskujemy pary liczb (x_i, y_i) i naszym zadaniem jest znaleźć równanie prostej najlepiej „pasującej” do nich. Niech równanie to będzie miało postać:

y = a * x + b

a „dopasowanie” zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów oznacza, że:



gdzie a i b są empirycznymi współczynnikami regresji liniowej, Poszukując ekstremum związanego powyższego równania udowadnia się, że:

gdzie i = 1,2,3,4,...,n czyli n jest ilością par punktów (x_i, y_i).


Na odchylenie standardowe S(a) i S(b) będące miarą niepewności pomiarowych współczynników regresji a i b otrzymuje się następujące równania:

Kryterium tego jak punkty pomiarowe (x_i, y_i) potwierdzają liniową zależność pomiędzy wielkościami x i y, stanowi wartość tzw. współczynnika korelacji liniowej p. Jego wartość zmienia się w granicach od 1 do 0. Gdy p=1, to dopasowanie jest idealne. Gdy p=0, to zależność liniowa pomiędzy x_i i y_i nie istnieje.




Dla pierwszego wykresu
:

T [K] - x	l [mm] y			x * y
2,5	0,03	6,25	0,0009	0,075
7,5	0,13	56,25	0,0169	0,975
12,5	0,28	156,25	0,0784	3,5
17,5	0,44	306,25	0,1936	7,7
23	0,59	529	0,3481	13,57
30	0,87	900	0,7569	26,1
37,5	1,06	1406,25	1,1236	39,75
45	1,26	2025	1,5876	56,7
52,5	1,58	2756,25	2,4964	82,95
60	1,74	3600	3,0276	104,4
Suma
288	7,98	11741,5	9,63	335,72


Równanie prostej : y = 0,027562515 * x + 0,004199558

Współczynnik korelacji liniowej : p = 0,998649983

Dla drugiego wykresu
:

T [K] - x	R - y			x * y
2,5	6,609385327	6,25	43,6839744	16,52346332
7,5	6,153846154	56,25	37,86982249	46,15384615
12,5	6,741573034	156,25	45,44880697	84,26966292
17,5	7,029876977	306,25	49,41917031	123,0228471
23	7,418397626	529	55,03262334	170,6231454
30	7,604562738	900	57,82937443	228,1368821
37,5	8,055235903	1406,25	64,88682546	302,0713464
45	8,592910849	2025	73,83811685	386,6809882
52,5	9,054325956	2756,25	81,98081851	475,3521127
60	9,496676163	3600	90,18685815	569,8005698
Suma
288	76,75679073	11741,5	600,1763909	2402,634864





Równanie prostej : y = 0,27672231 * x - 0,293923693

Współczynnik korelacji liniowej : p = 0,985492191

Wyniki:

Odczytując z wykresów odpowiednie wartości otrzymujemy:




4. Niepewność pomiarowa:

1. Niepewność dla a :

• niepewność dla
  :




• niepewność dla
  :




• niepewność dla T:




• pochodna po
  :




• pochodna po
  :




• pochodna po
  :




• niepewność całkowita:




• niepewność rozszerzona:




• wynik:




2. Niepewność dla
   :

• niepewność dla
  :




• niepewność dla
  :




• niepewność dla T:




• pochodna po U :




• pochodna po
  :




• pochodna po I :

• 
  

• pochodna po
  :




• pochodna po
  :




• niepewność całkowita:




• niepewność rozszerzona:




• wynik:




5. Wnioski:

1

8






























































































---