1. Właściwości potencjału Newtona w przestrzeni wewn. i zewn. ciała.
Potencjał grawitacyjny spełnia równanie Laplace'a w przestrzeni zewnętrznej względem ciała przyciąganego. Jest zatem w tej przestrzeni funkcją harmoniczną, bo suma jego drugich pochodnych w danym układzie współrzędnych wynosi 0. ΔVzew=Ə2Vzew/Əx2=Ə2Vzew/Əy2+Ə2Vzew/Əz2=0.
Wewnątrz masy potencjał grawitacyjny nie jest funkcją harmoniczną, spełnia natomiast równanie Poissona ΔVwew.=-4ΠGδ, przy czym δ jest gęstością ciała. Równanie Poissona jest inwariantne względem układu współrzędnych i rozmieszczenia mas w rozpatrywanej objętości. Łatwo dostrzec, że istnieje nieciągłość drugich pochodnych potencjału grawitacyjnego na granicy ośrodków, gdzie zmienia się gęstość.
2. Zasada Norgaarda wykorzystana w konstrukcji grawimetrów statycznych.
W grawimetrach statycznych, których wykorzystano pomysł Norgaarda, główna część systemu pomiarowego zbudowana jest z kwarcu. Ma kształt ramy R z rozpiętą nicią torsyjną T. Na nici znajduje się wahadło A zakończone lusterkiem Z1. Takie same zwierciadło umieszczone jest na ramieniu P, trwale połączone z ramą R. Na jednym z końców nici B zamontowane jest urządzenie do jej skręcania, co służy do przestawiania zakresu grawimetru.
3. Zasady działania grawimetrów nadprzewodnikowych.
We wnętrzu naczynia próżniowego znajduje się próbnik z nadprzewodnika w kształcie sfery. Pole magnetyczne zewnętrzne wytwarzane jest przez prąd elektryczny przepływający przez solenoidy wykonane z nadprzewodnika. Sfera lewituje między dwoma magnesami, umieszczonymi w pionie nad i pod sferycznym próbnikiem. Zmiana siły ciężkości wywoła zmianę położenia sfery i zmianę pojemności elektrycznej między sferą i magnesami. Specjalny czujnik przetwarza zmianę pojemności na impuls elektryczny i przesuwa sferę w położenie wyjściowe przez elektromagnetyczny układ sprzężony (zwrotny). Zmiany natężenia na kondensatorze sprzężenia zwrotnego są miarą zmian przyspieszenia siły ciężkości. Grawimetr ma zaniedbywalny dryft, bo ok. 0,01 mm•s-2 na miesiąc. Do połowy lat 90. wykorzystywano grawimetry nadprzewodnikowe jako instrumenty stacjonarne tylko do rejestracji pływowych zmian siły ciężkości i wpływu ruchu biegunów Ziemi na grawitację.
Konstrukcja instrumentu polega na zamianie siły mechanicznej podtrzymującej element pomiarowy grawimetru w położeniu równowagi na siłę pola magnetycznego. Jest to możliwe wtedy, gdy element ten wykonany jest z nadprzewodnika i umieszczony zostanie w stałym polu magnetycznym. Przebieg linii sił tego pola dobierany jest w zależności od kształtu próbnika w taki sposób, by linie sił indukcji nie przenikały do jego wnętrza. Oddziaływanie występujące między stałym polem magnetycznym a prądami wirowymi na powierzchni elementu pomiarowego nosi nazwę zjawiska Meissnera-Ochsenfelda. Jego istota polega na tym, że prądy wirowe na powierzchni nadprzewodnika wytwarzają pole magnetyczne, które zupełnie kompensuje działanie zewnętrznego pola magnetycznego w elemencie pomiarowym. Prądy wirowe zanikają, czyli linie sił zewnętrznego pola magnetycznego nie mogą przeniknąć do wnętrza próbnika. Jeżeli naprzewodzący element pomiarowy umieszczony zostanie w polu magnetycznym i ochłodzony do temperatury krytycznej (ok. 6°K), przy której następuje przemiana fazowa w stan nadprzewodności, to pole magnetyczne w tym momencie zaniknie w bryle próbnika.
4. Rzutowanie pionowe. Przeniesienie azymutu w szybie.
Δl=Δβ*ΔH=GΔH2/g , v2-v1=(N1N0-M1M0)/H=ΔAMoNo/H , ΔA=-H/g*Ә2W/ӘsӘt , Ә2W/ӘsӘt <= 150*10-9s-2 , ΔA<=3”*10-3*H metrów
5. Etapy transformacji grawimetrycznych odchyleń pionu Vgr(∑<=km) na odchylenia względne. Niezbędne transformacje.
Wpływ anomalii na odchylenie pionu wyraża się wzorem ogólnym: {ζ1 n1}=-1/2ΠR∫rc1∫a=02ΠAgQ1(r){cosα sinα}drdα. Anomalie grawimetryczne wokół punktu P są przenoszone z mapy izoanomalii na diagramy kołowe. Diagramy podzielone są na sektory o rozwartości Δα i na sfery ograniczone promieniami kół ri+1-r1=Δr. Położenie segmentów określa azymut α1 dwusiecznej sektora. Dla jednego segmentu otrzymuje się: ∫riri+1Q1(r)dr=S, gdzie S jest założoną wartością wpływu anomalii. Podział na strefy jest następujący: 1. r<5,102km> 16 sektorów, 2. r<102,305km> 24 sektory, r<305, 1000km> 24 sektory.
6.Rektyfikacja libel: podłużnej i poprzecznej grawimetru statycznego.
Grawimetr jest wyposażony w dwie libelle, których osie są ustawione prostopadle do siebie: libella podłużna jest równoległa do płaszczyzny wahań dźwigni głównej systemu pomiarowego grawimetru, libella poprzeczna jest równoległa do osi obrotu dźwigni układu pomiarowego. Libelle powinny być tak zrektyfikowane by wychylenie instrumentu od położenia poziomego powodowało minimalne zmiany odczytu. Rektyfikacja polega na doprowadzenia ich pęcherzyków do górowania w momencie, gdy ramię systemu i oś obrotu ramienia będą leżeć w jednej płaszczyźnie poziomej - odpowiada temu centralne ustawienie indeksu obserwowanego w okularze. Bezpośrednie doprowadzenie do takiej sytuacji nie jest możliwe ze względu na to, że obserwator nie widzi ramienia systemu pomiarowego. Można jednak wykorzystać związek: Δg=g-gcosα=gα2/2. Dla małych kątów wychylenia zależność zmiany przyspieszenia od wychylenia grawimetru jest zależnością paraboliczną. Wystarczy więc doprowadzić pęcherzyk libelli do górowania za pomocą śrub rektyfikacyjnych przy takim wychyleniu grawimetru, dla którego odczyt będzie maksymalny. Rektyfikację libel można wykonać, wychylając instrument do położenia równowagi za pomocą śrub ustawczych. Zdecydowanie lepiej jest jednak przeprowadzić rektyfikację na egzaminatorze. Rektyfikacja libelli poprzecznej:1. Grawimetr na egzaminatorze spoziomowany, libella poprzeczna równoległa do kierunku wychyleń egzaminatora. 2. Kreskę indeksową doprowadzamy do pokrycia się z zerową kreską skali okularowej. 3. Odczyt n1. 4. Wychylenie instrumentu o1-2 działki libelli. 5. Odczyt n2. 6. Wychylenie instrumentu o 1-2 działki w kierunku przeciwnym, odczyt n3. 7. n2 i n3 powinny być mniejsze od n1 i zbliżone do siebie. Jeżeli tak nie jest to rektyfikujemy libelle. 8. Ustawienie metodą kolejnych przybliżeń takiego położenia grawimetru, dla którego odczyt licznika będzie ekstremalny. 9. Pochylamy libellę śrubami rektyfikacyjnymi i doprowadzamy pęcherzyk do górowania. 10. Powtarzamy czynności dla kontroli.
7. Podejście Stokesa i Mołodzińskiego do badania kształtu Ziemi.
Podejście Stokesa: W roku 1849 Stokes jako pierwszy w historii podał rozwiązanie zagadnienia brzegowego geodezji fizycznej w odniesieniu do geoidy. Przyjął on założenie że potencjał zakłócający w przestrzeni zew. Spełnia równanie Laplace'a ΔT=0, jest więc funkcją harmoniczną. Przyjęcie takiego założenia wymaga do wprowadzenia do przyspieszenia g na fizycznej powierzchni Ziemi pewnej redukcji. Redukcja ta musi spełniać trzy warunki: po jej wprowadzeniu żadne masy nie wystają ponad geoidę, masa geoidy pozostaje niezmienna, położenie geoidy (środka masy i osi głównych momentu bezwładności) pozostaje takie jak przed redukcją. T=R/4Π∫∫ΔgS(ψ)dδ - wzór na potencjał zakłócający. Jeśli skojarzymy ze wzorami Bruna: NR/4Πγm∫∫ΔgS(ψ)dδ - wzór przedstawiający wysoko0ść geoidy ponad elipsoidą ekwipotencjalną anomalie grawimetryczne Δg równa na całej Ziemi. To właśnie fundamentalne wzory geodezji fizycznej pozwalające na wyznaczenie geoidy z danych grawimetrycznych. Wzory te znane są jako wzory lub całki Stokesa. Stokes w tej koncepcji przyjął przybliżenia sferyczne podstawowego równania geodezji fizycznej, polegające na zastąpieniu kierunków normalnych dla geoidy i elipsoidy kierunkami promienia R kuli pomiarowej, a także zastąpieniu gradientu pionowego przyspieszenia normalnego gradientem przeciętnym. Z tego tytułu błąd względny wysokości geoidy wynosi około 3*10-13.
8. Laplasjan potencjału siły odśrodkowej.
Na punkt A poruszający się z prędkością liniową v po torze kołowym o promieniu r dookoła osi obrotu działa siła odśrodkowa p, której wartość wynosi: p=mv2/r. Wektor prędkości liniowej: v=w*r a więc siła odśrodkowa p=mw2r. Natężenie siły odśrodkowej, czyli przyspieszenie siły odśrodkowej w punkcie A(x,y,z) wynosi: I=p/m=w2r=γ'. Wektor ten ma składowe: γ'x=w2x, γ'y=w2y, γ'z=0. Funkcja składowa o postaci: u=1/2*w2r2=1/2*w2(x2+y2) jest potencjałem siły odśrodkowej, gdyż ma pochodne równe składowym przyspieszenia siły odśrodkowej. Jak wynika ze wzoru (u) powierzchnie ekwipotencjalne w tym polu potencjalnym (u=const.) są pobocznicami walców o promieniach r. Wzór ten można przekształcić we współrzędne sferycznych do postaci u=1/2*w2R2cos2φ=1/2*w2R2sin2υ. Drugie pochodne potencjału siły odśrodkowej (potencjału odśrodkowego) wynoszą: Ə2u/Əx2=w2, Ə2u/Əy2=w2, Ə2u/Əz2=0. Zatem laplasjan potencjału odśrodkowego jest zdefiniowany wzorem: ▼2u=Δu=2w2
9. W jakich warunkach kula może być sferoidą poziomą (prędkość wirowania, gęstość itp.)
Sferoidalne figury równowagi: Powierzchnie poziome ciekłej masy Ziemi pozostające w równowadze nazywamy sferoidami. Sferoida ziemska nie wiele odbiega swym kształtem od kuli i słabo spłaszczonej elipsoidy. Wzniesienie sferoidy 4-go stopnia (Helmerta) nad elipsoidą zależy tylko od jednego parametru - f4, dlatego nazywa się ją jednoparametrową figurą równowagi.
Parametry sferoidy 4-go stopnia: M-masa Α, a, f4 - parametry geometryczne δm -gęstość J2, J4 - funkcje masy w - prędkość wirowania sferoidy q Uo- potencjał siły ciężkości γe, β, β4 - związane z normalnym przyspieszeniem
Figura równowagi - Ω=w2/2ΠGδ
Moment bezwładności - C=2/5Ma2
Wzory dla sferoidy jednoparametrowej - γe=GM/a2(1-1/5α-2/7α2) , Uo=GM/a(1+3/5 α-12/35α) , β4=3/2α2 , J4=-12/35α2 , q'=4/5α+138/175α2 , C=2/5Ma2 , H=α-1/2α2 , δm=3M/(4Πa3(1-a))
10. Wyprowadzenie zasadniczego wzoru różniczkowego geodezji fizycznej.
Powierzchnie, do których odnoszą się obydwa składniki anomalii grawimetrycznych to geoida i elipsoida ekwipotencjalna. Każdą z powierzchni definiuje się na innej drodze. Geoidę określa się w zasadzie poprzez wyrażenie na potencjał Wo=const. Elipsoida ekwipotencjalna jest ściśle określona geometrycznie poprzez wymiar (duża półoś a) i kształt (spłaszczenie f lub mimośród e), mimośród ponadto jest powierzchnią ekwipotencjalną potencjału normalnego, którego wartość wynosi Uo=W0. Środek elipsoidy geocentrycznie z założenia pokrywa się ze środkiem mas geoidy. Pokrywają się też osie maksymalnych momentów bezwładności obu brył. W celu rozwiązania podstawowego zadania geodezji - określenia figury Ziemi - należy powiązać geocentrycznie geoidę z elipsoidą poprzez wyznaczenie odległości obydwu powierzchni. Potencjał normalny U w punkcie Po na geoidzie można wyrazić poprzez potencjał na elipsoidzie Ue=Uo, gradient tego potencjału i odstęp N. U=Ue+ӘU/Әne*N=Ue-γN. W=U+T. tzn. W=Ue-γN+T. Potencjał elipsoidy i geoidy są równe: W=Ue oraz T=γN. Wzór Brusa: N-T/γ. δg=-ӘT/Әn=go-γ. Przyspieszenie normalne na geoidzie geoidzie można wyrazić: γ=γe+Әγ/ӘRe*N+… Podstawiając za N wyrażenie z wzoru Brusa: γ=γe+1/γe*Әγ/Әne*T. Po podstawieniu ostatniego wzoru do wzoru na δg otrzymujemy podstawowe równanie różniczkowe grawimetrii: Δg=-ӘT/Әn+1/γ*Әγ/Әn*T albo Δg=δg+UzzN. Równie to wiąże anomalie grawimetryczne z zakłóceniami grawimetrycznymi oraz z wysokościami geoidy względem elipsoidy. Wartość Δg to anomalia grawimetryczna czyli różnica przyspieszenia rzeczywistego go na geoidzie geoidzie normalnego na elipsoidzie γe. δg - zakłócenie geometryczne to pochodna potencjału zakłócającego ӘT w kierunku normalnej do powierzchni ekwipotencjalnej Әn. Iloczyn gradientu pionowego przyspieszenia normalnego Uzz i wysokość geoidy N to tak zwane wyrazy Brusa. Podstawowe równanie geodezji fizycznej wyraża związek pomiędzy anomalią grawimetryczna - wielkość możliwa do pomiaru, a potencjałem zakłócającym (róznica potencjału rzeczywistego rzeczywistego normalnego). Przybliżenie sferyczne polega na zastąpieniu powierzchni elipsoidy ekwipotencjalnej powierzchnią kuli o takiej samej objętości. Z porównania wzorów na objętość kuli i elipsoidy otrzymujemy R=3√(a2b). Dlatego podstawowe równanie przyjmuje postać: Δg=-ӘT/Әr-2T/R. Równanie to jest warunkiem brzegowym mieszczącym się w tak zwanym trzecim zagadnieniu brzegowym teorii potencjału na powierzchni ekwipotencjalnej geoidy gdyż mamy w nim kombinację liniową potencjału zakłócającego zakłócającego jego pochodnej w kierunku normalnej do powierzchni ekwipotencjalnej.
11. Anomalie.
Interpretacja fizyczna Redukcji Wolnopowietrznej to wgniecenie (przesunięcie) mas poniżej poziomu odniesienia. Redukcja ta spełnia w znacznej mierze postulaty teorii Stokesa, regularyzuje geoidę i tylko w małym stopniu ją deformuje. Agwp = g - γo + Rwp
Redukcja i Anomalia Faye'a - rożni się od redukcji i anomalii wolnopowietrznej uwzględnieniem nierówności terenu wokół punktu czyli wprowadzeniem wprowadzeniem poprawki terenowej. AgF = g - γo + Rwp+ Δgt
Fizyczna interpretacja Redukcji Bouguera przedstawia się, jako usunięcie matematyczne tzw. płyty bugerowskiej. Takie usunięcie sporej ilości mas spod punktu grawimetrycznego prowadzi do deformacji geoidy. RgB nie nadaje się do badania figury Ziemi w myśl koncepcji Stokesa. Jednak regularyzuje geoidę, usuwając masy o przyjętej gęstości znajdujące się ponad geoidą. AgB = g - γo + Rgwp + RgB
Redukcja Poincarégo - Preya - składa się z następujących etapów: - wygładzenie otoczenia punktu pomiarowego, czyli wprowadzenie poprawki terenowej do przyśpieszenia w punkcie na powierzchni Ziemi, 1.usunięcie grawitacyjnego wpływu mas zawartych między poziomem stanowiska a powierzchnią odniesienia, co równoważne jest z wprowadzeniem redukcji Bouguera - RgB, 2.przesunięcie punktu pomiarowego na poziom odniesienia za pomocą redukcji wolnopowietrznej - Rgwp, 3. przywrócenie usuniętego przyciągania mas, a więc uwzględnienie przyciągania tych mas w punkcje na powierzchni odniesienia; wpływ przyciągania mas jest równy redukcji Bouguera - RgB, 4. odtworzenie grawitacyjnego wpływu rzeźby terenu na przyśpieszenie siły ciężkości w punkcie położonym na powierzchni odniesienia Δgt'; poprawka ta nie jest taka sama jak poprawka terenowa uwzględniona na początku procesu redukcyjnego.
RgPP = (3,0855 - 0,0008372 * σ) * H + Δgt + Δgt'
Redukcja ta nie regularyzuje geoidy. Nie można dlatego znaleźć bezpośredniego zastosowania jej w badaniach związanych z teorią Stokesa. Ma natomiast duże znaczenie w teorii niwelacji precyzyjnej przy opracowaniu poprawek grawimetrycznych w różnych systemach wysokości.
11. Efekt pośredni redukcji grawimetrycznych.
Usuwanie lub przenoszenie mas związane z redukcjami grawimetrycznymi powoduje zmianę potencjału na geoidzie. To powoduje zmianę kształtu powierzchni geoidy i nosi nazwę efektu pośredniego redukcji grawimetrycznych Nind=ΠGpH2/γ.
12. Błędy przedstawicielstwa i interpolacji anomalii grawimetrycznych.
Wartość zależy od odległości punktów, między którymi prowadzi się interpolację. Eksperymenty polegają na wykluczeniu połowy stanowisk grawimetrycznych i sporządzenia arkusza mapy dla pozostałych wartości anomalii przez interpolację. Następnie zdjęcie rozrzedza się 4,8,16 krotnie itd. W stosunku do liczby wyjściowej punktów pomiarowych. Rozbieżność na stanowiskach kontrolnych nj=Agint-Agpom stanowią za każdym razem podstawę do obliczenia błędu interpolacji. Część czystego błędu interpolacji E związana jest z wygładzeniem przebiegu izolinii na mapie przy założeniu liniowych zmian anomalii. Część pozostała E zależy od błędów pomiaru w punktach kontrolnych na mapie, a zatem (E'2)=(E')2+(E')2. Stwierdzono, że funkcja E jest zależna od odległości s, a mianowicie E'(s)=ksr, przy czym wartości k i r są wyznaczane empirycznie. Przy odległościach 3-5 km odległość ta jest liniowa, a mianowicie E'=ks. Określenie wartości pełnego błędu reprezentacji anomalii następuje przy zachowaniu kolejności działań. Dzielimy obszar badań na jednakowe części i dla każdej z nich liczymy błąd reprezentacyjny. Liczymy średni błąd reprezentacyjny dla całego obszaru.
13. Kalibracja grawimetrów statycznych.
Polega na wyznaczeniu zależności pomiędzy zmianą przyspieszenia siły ciężkości Δg a zmianą odczytu grawimetru Δl. Dla niewielkich zmian przyspieszenia zależność taką można przyjąć za liniową i zapisać wzorem: Δg=kΔl, gdzie k - stała grawimetru W celu wyznaczenia stałej k należy znać dokładnie różnicę przyspieszenia siły ciężkości oraz określić odpowiadającą tej różnicy zmianę odczytów grawimetru. Wyróżniamy 3 metody kalibracji grawimetrów: na bazach grawimetrycznych, laboratoryjna - przez nachylania, przez obciążanie dźwigni systemu pomiarowego masą próbną. Metoda na bazie jest uniwersalna. Wykorzystujemy dwa punkty, dla których znamy różnicę przyspieszenia siły ciężkości. Bazy kalibracyjne składają się zwykle z wielu punktów - najczęściej rozmieszczonych wzdłuż południka. Bazy powinny gwarantować stałą skalę i prawidłową jednostkę w układzie SI. Wyróżniamy bazy - światowe, krajowe, lokalne. Metoda nachylania - dzięki wychyleniu grawimetru w płaszczyźnie pozornie zmienia się przyspieszenie. Odczytując licznik grawimetru przy spoziomowanym instrumencie (n1) i po wychyleniu grawimetru o kąt α, można wyznaczyć stałą wg wzoru: k=gα2/(2(n1-n2)p”2). Kąt wychylenia mierzony za pomocą egzaminatora można wyrazić w funkcji jego stałych(d-skręt śruby, b- ramię enzymatora) i liczby obrotów śruby w, a mianowicie: α=dw/b. Stałą grawimetru wyznacza się: k=gd2w2/2(n1-n2)b2. Cykl pomiarowy związany z wykonaniem jednej serii kalibracyjnej składa się z 3 etapów: 1. Prace przygotowawcze. 2 Właściwe cechowanie. 3. Obliczenie stałej grawimetru.
14. Uproszczenie wzorów Vening-Meinesa.
Podał wzory służące do obliczenia odchyleń pionu. dN=-θαds, gdzie θα - składowa odchylenia pionu. Ds.=Rdφ - przy składowej odchylenia pionu w płaszczyźnie południka, ds=Rcosφdλ- w rzucie na płaszczyznę pierwszego wertykału. Związki między składowymi odchylenia pionu a odstępem geoidy N: ζ=-1/R*ƏN/Əφ, n=-1/Rcosφ*ƏN/Əλ. Należy zrealizować równanie: ƏN/Əφ=ƏN/Əψ* Əψ/Əφ, ƏN/Əλ= ƏN/Əψ* Əψ/Əλ. Ψ - wyznaczamy na podstawie zależności w trójkącie biegunowym. Na podstawie trójkąta wyznaczamy: cosψ=sinφsinφ'+cosφcosφ'cos(λ'-λ). Poszukiwane składowe wynoszą: Əψ/Əφ=-cosα, Əψ/Əλ=-sinαcosα. Element powierzchniowy sfery jest równy: dδ=R2sinψdψdα. WZÓR TEN WYCZESANY. Obliczenie składowych odchylenia pionu wymaga obszaru całkowania na strefy i sektory oraz zastosowania sumowania wpływów segmentów pola anomalii grawimetrycznych. Uproszczenie: Q(ψ)ma w pobliżu miejsca wyznaczeń wartość nieograniczenie dużą. Ponadto ponad 90% wartości funkcji mieści się w odległości do 10stopni od stanowiska. Dlatego Można przybliżyć funkcję dla odległości sferycznej ψ<10stopni, przyz zachowaniu wyrazów małych rzędów wartości spłaszczenia ziemskiego.
15. Zasada niwelacji astronomicznej i astronomiczno - grawimetrycznej.
Niwelacja astronomiczno-grawimetryczna - polega na wyznaczeniu różnic wysokości geoidy względem elipsoidy odniesienia w punktach sieci astronomiczno-geodezyjnej na podstawie odchyleń pionu, które wyznaczono za pośrednictwem metody grawimetrycznej. We wzorach Vening - Meinesza wykorzystujemy anomalie wolnopowietrzne z całej Ziemi - wówczas możemy wyznaczyć bezwzględne odchylenie pionu. Względne odchylenia pionu są wyznaczane za pośrednictwem anomalii grawimetrycznych, dokonując interpolacji. Zasady: odległośc między punktami około 100 km, przy ich pomocy dokonuje się interpolacji względem odchyleń pionu w innych punktach profilu, określenie grawimetrycznych odchyleń pionu ζg, ng następuje za pomocą map anomalii wolnopowietrznych.
Niwelacja astronomiczna - polega na całkowaniu względnych odchyleń pionu wzdłuż wybranego profilu geoidy. Punkt P jest punktem przyłożenia elipsoidy odniesienia do geoidy. Odchylenie pionu v0 wynosi tam zero. Odstęp geoidy jest także równy zero N=0. Przewyższenie punktu P1 względem P wyraża się wzorem: dN1=-v1*ds. Procedura wyznaczenia różnic wysokości odbywa się na podstawie pionu. Jest to niwelacja geoidy wyznaczona za pomocą zaobserwowanych astronomicznie (φ,λ) i na ich podstawie wyliczonych odchyleń pionu. Zasada niwelacji wywodzi się z definicji odchylenia pionu: θ=-dN/ds. Kąt odchylenia pionu jest także kątem nachylenia geoidy względem elipsoidy. Dla ciągu niwelacji astronomicznej: NB-NA=∫ABdN-∫ABθαds, NB-NA=∫ABdN=∫AB(ζcosα=nsinα)ds., gdzie ζ- składowa południka względnego odchylenia linii pionu, n-składowa w I wertykale odchylenia linii pionu.
16. Redukcja φ i λ w polu siły ciężkości w myśl teorii Stokesa i Mołodieńskiego.
Podczas stosowania systemu Mołodieńskiego redukcja współrzędnych następuje przy przesunięciu stanowiska po normalnej linii pionu, a więc dotyczy przejścia od szerokości normalnej Bn na powierzchni Ziemi do B0 na elipsoidzie poziomej. W myśl równania B0-Bn=-βH/RE*sin2B różnica między tymi współrzędnymi wynosi: δBn=Bo-Bn=-Hp”/pn=-Hβp”sin2B/M, przy czym β oznacza spłaszczenie grawimetryczne na tej elipsoidzie M - jej promień południkowy. Redukcja długości geograficznej wynosi w tym przypadku zero. Jeśli w miejsce wysokości geodezyjnej H zastosuje się wysokość normalną Hn, to redukcja sprowadzi szerokość do powierzchni quasi-geoidy Mołodieńskiego. Zastosowanie w obliczeniach redukcji współrzędnych gradientu anomalii wolnopowietrznych prowadzi do przesunięcia punktu obserwacyjnego na powierzchnię kogeoidy i wymaga korekcji ze względu na deformację powierzchni ekwipotencjalnych wprowadzoną redukcja grawimetryczną. Zredukowane współrzędne poprawiane są następnie przez wprowadzenie składowych odchylenia pionu. Wzory transformujące: B=φzred-ζwz(Po), L=λzred-nwz(Po)cosφ dal szerokości i długości geograficznej, odpowiadające teori Stokesa badania figury Ziemi. Odchylenie określa się na powierzchni geoidy. W przypadku stosowania systemu wysokości normalnych Mołodińskiego odchylenie pionu wyznacza się na powierzchni Ziemi. Wyrażają to wzory: B=Φ-ζwz(P)+(B-Bo)+(Bo-Bn), L=Λ-nwz(P).Względne odchylenie pionu uzyskuje się najczęściej w drodze interpolacji B0-B=-βH2/RE2*sin2B
17. Pojęcie Ziemi „normalnej. Parametry rzędu zerowego, spłaszczenia itd.
Idealne ciało fizyczne, zastępujące Ziemię rzeczywistą nazywamy Ziemią normalną. Przy wyborze rozmiarów i orientacji elipsoidy poziomowej jako figury Ziemi normalnej należy spełnić następujące warunki: - środek elipsoidy musi pokrywać się ze środkiem Ziemi, a oś największego głównego momentu bezwładności C musi być identyczna z osią obrotu Ziemi; - prędkość obrotu elipsoidy poziomowej i Ziemi musi być taka sama; - masy obydwu brył powinny być identyczne lub GMel = GMZ; - strefowe współczynniki harmoniczne drugiego stopnia w rozwinięciu w szereg funkcji kulistych potencjału normalnego i potencjału siły ciężkości Ziemi muszą być równe: J2el=J2el, -wartość potencjału normalnego na powierzchni elipsoidy poziomowej U powinna być równa potencjałowi Wo geoidy w punkcie wyjściowym osnowy niwelacyjnej. Parametry rzędu zerowego to elementy charakteryzujące potencjał pola siły ciężkości kuli ziemskiej, a mianowicie: a) geocentryczny współczynnik grawitacji GM b) potencjał normalny na powierzchni Ziemi normalnej Uo c) współczynnik skalujący Ro=GM/Uo d) średnia wartość przyspieszenia siły ciężkości na elipsoidzie poziomej γm e) równikowy promień elipsoidy ae f) wartość przyspieszenia siły ciężkości na równiku γe g) wielkości wymienione w pkt c i d są stosowane zamiennie z ae i γe 2. Parametry rzędu wartości spłaszczenia ziemskiego: a) strefowy (parzysty) współczynnik harmoniczny Jz, zwany spłaszczeniem statycznym b) kwadrat pierwszego (e2) i drugiego (e'2) mimośrodu elipsoidy poziomej c) spłaszczenie grawimetryczne Ziemi normalnej β d) parametry dynamiczne, zależne od prędkości wirowania q i q' 3. Parametry wyższych rzędów: a) współczynniki harmoniczne geopotencjału J4 i J6 b) współczynniki β1 i β4 we wzorach na przyspieszenie normalne. Parametry te można wyznaczyć za pomocą charakterystyk rzędu zerowego i pierwszego.
18 Pojęcia:
Sferoida - powierzchnia pozioma ciekłej masy Ziemi pozostająca w równowadze
Geoida - bryła, której powierzchnia w każdym miejscu jest prostopadła do pionu wyznaczonego przez siłę ciężkości. Geoida jest teoretyczną powierzchnią, na której potencjał siły ciężkości Ziemi jest stały, równy potencjałowi siły ciężkości na średnim poziomie mórz otwartych i przedłużoną umownie pod powierzchnią lądów. Ponieważ zawiera ona lustro wody w morzach i oceanach dodatkowo określana jest jako Geoida Zerowa. Jako powierzchnia ekwipotencjalna, geoida w każdym swym punkcie jest prostopadła do kierunku siły ciężkości (pionu). Ponieważ 78% powierzchni naszej planety stanowią oceany, przeto najbardziej reprezentatywne przybliżenie figury Ziemi stanowi geoida. Jednak pod lądami przebieg geoidy jest skomplikowany ze względu na bardzo urozmaicony rozkład przestrzenny gęstości, głównie w przypowierzchniowych warstwach skorupy ziemskiej. Henri Poincare (1854-1912) wykazał, że jest niemożliwe wyrażenie w sposób ścisły równania geoidy na obszarze lądów i oceanów jedną funkcją analityczną. Przebieg geoidy jest efektem równowagi pewnych sił, jest ona zatem powierzchnią dynamiczną, stale ulegającą pewnym okresowym zmianom. W praktyce korzysta się z modelu geoidy, czyli zbioru liczb będących wartościami wysokości geoidy w węzłach siatki geograficznej.
Model quasigeoidy- rozumie się przez to zbiór wysokości guasigeoidy nad elipsoidą odniesienia w punktach odpowiadających węzłom określonej siatki.
Quasigeoida - rozumie się przez to powierzchnię powstającą przez odłożenie od punktów powierzchni Ziemi w kierunku ku elipsoidzie odniesienia, wzdłuż normalnych linii pionu, wysokości normalnych tych punktów, przy czym pojęcie guasigeoidy powiązane jest z systemem wysokości normalnych Molodenskiego.
Telluroida - rozumie się przez to powierzchnię, będącą aproksymacją powierzchni Ziemi w systemie geometrycznym wysokości normalnych Molodenskiego, utworzoną przez punkty w których normalny potencjał siły ciężkości jest równy potencjałowi rzeczywistemu punktów na powierzchni Ziemi, leżących na tych samych liniach pionu, co punkty telluroidy, przy czym odstępy telluroidy od powierzchni Ziemi są praktycznie równe wysokością guasigeoidy na elipsoidę odniesienia.
19. Trzy rodzaje redukcji topograficznych przyspieszenia.
Wprowadzenie do przyspieszenia poprawki topograficznej (terenowej) ma na celu, wyeliminowanie z pomierzonej wartości ciężkości wpływu mas topograficznych , czyli obliczenie takiej wartości przyspieszenia, jaka zostałaby zaobserwowana, gdyby teren wokół stanowiska grawimetrycznego stanowił powierzchnię ekwipotencjalną - poziomą.
Poprawka terenowa przyspieszenia ziemskiego jest zawsze dodatnia.
1. Obliczenie poprawki terenowej - otrzymamy po podziale horyzontu stanowiska grawimetrycznego P walcami współosiowymi (pionowa oś przechodzi przez P) i pękiem płaszczyzn pionowych. Poprawka terenowa Δgter jest suma przyciągania wszystkich segmentów Δgter=∑Nn=1∑Ss=1(δgsg), gdzie N- liczba sektorów, S - l, stref wokół stanowiska ograniczonych promieniami ri i ri+1;
2. Poprawkę ternową możemy obliczyć również w inny sposób -do obliczeń komputerowych wykorzystuje się numeryczny model terenu, czyli przedstawienie rzeźby w siatce prostokątów;
3. Poprawka topograficzna polegająca na usunięciu grawitacyjnego wpływu wszystkich mas znajdujących się ponad geoidą nosi nazwę pełnej poprawki topograficznej Rgptop
Wprowadzanie poprawek topograficznych związane jest ściśle ze stosowaniem redukcji izostatycznych do przyspieszenia siły ciężkości:
Części (etapy) redukcji izostatycznej są następujące : - pełna redukcja topograficzna Rgptop; - redukcja kompensacyjna Rgkomp; - redukcja wolnopowietrzna RgWP. REDUKCJA IZOSTATYCZNA MA ZATEM POSTAĆ: RgIz=Rgptop+Rgkomp+Rgwp. Sposób zastosowanej redukcji (czyli proces przeniesienia przyspieszenia z powierzchni Ziemi na geoidę) decyduje o tym, jaki otrzymamy rodzaj anomalii grawimetrycznej.
20. Części składowe podstawowej osnowy grawimetrycznej kraju.
W latach 80-tych i 90-tych zmodernizowano podstawową osnowę grawimetryczną Polski.
W skład nowej osnowy wchodzi 12 punktów absolutnych: Białowieża, Borowa Góra, Borowiec, Gdańsk, Giby, Koszalin, Konopnica (pod Łodzią), Lamkówko (pod Olsztynem), Książ, Ojców, Piwnice (pod Toruniem), Sieniawa. Obserwacje absolutne wykonano aparatami GABL, GF-5, JILAg-5 i polskim ZZG. Między punktami wyznaczeń absolutnych wykonano bezpośrednie, względne pomiary sprawdzające grupą grawimetrów LaCoste&Romberg Scingtrex CG-3. Sieć grawimetrowa nawiązana jest do 6 z nich: Koszalin, Borowiec (pod Poznaniem), Książ ( pod Wałbrzychem), Gdańsk, Borowa Góra i Ojców.
Składa się z 674 przęseł, łączących 357 punktów, jednolicie rozłożonych na obszarze. Przęsła sieci tworzą wieloboki o długościach linii od 20 do 60 km. Błąd średni obserwacji Δg na przęsłach nie przekroczył 0,20ums-2. W skład sieci wchodzą też 2 bazy grawimetryczne. Baza w zachodniej części kraju łączy punkty absolutne w Koszalinie, Borowcu i w Księżu. Druga linia kalibracyjna przebiega od Gdańska przez Pasłęk, Olsztynek, Warszawę, Radom, Ojców do Zakopanego. Po wyrównaniu polskiej sieci podstawowej uzyskano maksymalny błąd średni ciężkości 0,14ums-2.
21. Składniki redukcji kąta poziomego z powierzchni Ziemi na elipsoidę odniesienia
Redukcja obserwacji kata poziomego, polega na bezpośrednim przenoszeniu wielkości zaobserwowanych bezpośrednio z powierzchni Ziemi na powierzchnię elipsoidy odniesienia.
Redukcja kąta poziomego na powierzchnię opracowania pomiarów geodezyjnych (w tym przypadku na elipsoidę odniesienia) jest różnicą wartości redukcji odnoszących się do prawego i lewego ramienia kata, czyli kierunków tworzących kąt poziomy.
W procesie redukcji kierunku wyróżnia się następujące etapy (w tym składniki):1. Określenie wpływu skręcenia płaszczyzny wertykału przedmiotu ze względu na przejście od kierunku linii pionu w punkcie na powierzchni Ziemi (na stanowisku obserwacyjnym) S do kierunku stycznej do tej linii w So na geoidzie;2. Uwzględnienie wpływu odchylenia pionu w So; 3. Określenie wpływu wichrowatości normalnych do elipsoidy odniesienia w So i w punkcie celu - C; 4. Uwzględnienie odchylenia pionu w Co na geoidzie; 5.Redukcja kierunku SoCo na elipsoidę odniesienia ze względu na skręcenie tego wertykału w stosunku do przekroju normalnego elipsoidy S.C., Gdzie: S - stanowisko , So- przesunięcie stanowiska z położenia S do So (rzut punktu z S do So), SC - bok Np. Redukcja kąta poziomego w tym sposobie opracowania obserwacji geodezyjnych zawiera dwa człony. Pierwszy Δv1=(nscosα-ξssinα)ctgzSC , gdzie zSC jest odległością zenitalną kierunku SC, uwzględnia wpływ odchylenia pionu na stanowisku, ns- pierwszy wertykał, ξs- składowa południkowa, α- azymut, kierunek, Δv-redukcja kierunku; Drugi Δv2”=0,1082”Hccos2Bnsin2α jest wyrazem wpływu wysokości punktu celowania nad powierzchnię odniesienia, gdzie Bn - normalna szerokość miejsca obserwacji, HC- wysokość celu [km]
1