Wykład 5

Predykcja ekonometryczna

Proces wnioskowania w przyszłość na podstawie modelu ekonometrycznego nazywamy predykcją. Wynik tego procesu nazywamy prognozą. Efektywność predykcji zależy od tego czy:

- dysponujemy dobrym modelem opisującym zjawisko,

- znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowania tj. wielkości planowane, założone,

- relacja opisywana przez model jest stabilna tzn. nie zmienia się postać analityczna modelu, nie zmieniają się oceny parametrów strukturalnych jak i struktury stochastycznej,

- dopuszczalna jest ekstrapolacja poza próbę statystyczną (obszar).

Zwykle stosuje się zasadę predykcji nieobciążonej, czyli wyznacza się prognozę na poziomie wartości oczekiwanej wartości prognozowanej. Jeżeli dany jest
- wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym:

wówczas prognozę wyznaczamy:
(a-wektor współczynników modelu) lub podstawiając wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym do oszacowanego modelu.

Prognoza może być dana jedną liczbą - prognoza punktowa lub rezultatem predykcji może być przedział, w którym z określonym prawdopodobieństwem znajdzie się wartość prognozowana - prognoza przedziałowa.

Nawet gdy spełnione są wszystkie założenia prognozy mogą się różnić znacznie od rzeczywistych realizacji zmiennych prognozowanych, co jest spowodowane m. in. występowaniem w modelu składnika losowego.

Wynikiem każdego procesu predykcji obok prognozy powinna być wartość miernika dokładności predykcji. Wyróżnia się mierniki:

- ex post - pozwalają wnioskować o dokładności predykcji, gdy znane są już rzeczywiste realizacje zmiennych prognozowanych; typowym miernikiem jest błąd predykcji:

,
-rzeczywista realizacja Y,

- ex ante:1. wariancja predykcji:

2. błąd średni predykcji:

3. względny błąd predykcji:
.

Prognoza przedziałowa polega na wyznaczeniu przedziału:

,
- wartość statystyki t Studenta.

UWAGA: błąd średni predykcji ex ante modelu nieliniowego, linearyzowanego liczymy wg wzoru:
,

gdzie:
- średni błąd predykcji obliczony na podstawie modelu liniowego przy przekształceniu

- wartość pochodnej funkcji transformującej modelu do postaci liniowej obliczona dla wartości prognozy
.

..............................

Badanie autokorelacji reszt modelu

Miarą autokorelacji rzędu
jest współczynnik autokorelacji rzędu
, czyli współczynnik korelacji pomiędzy resztami odległymi od siebie o t -jednostek czasu:
, np.

………………………….

Zwykle pozostaje się przy badaniu współczynników autokorelacji rzędu pierwszego ponieważ współczynniki autokorelacji wyższych rzędów są odpowiednimi potęgami współczynników autokorelacji rzędu pierwszego (
).

Do badania autokorelacji stosuje się test Durbina-Watsona:

(autokorelacja statystycznie nieistotna)

d=2 brak autokorelacji

d<2 autokorelacji dodatnia, wówczas:

d porównujemy z wartościami krytycznymi
odczytanymi z tablic Durbina-Watsona, jeżeli

to
odrzucamy na korzyść
, czyli występuje autokorelacja

to nie ma podstaw do odrzucenia
(pożądane w modelowaniu)

to test nie rozstrzyga

d>2 autokorelacji ujemna, wówczas:

, obliczamy:
, następnie
porównujemy z
.

ZADANIE

1. Produkcja pewnego wyrobu (w tys. sztuk) w latach 2003 - 2009 kształtowała się następująco: 3, 3, 2, 2, 3, 3, 4. Należy:

1. oszacować parametry strukturalne trendu parabolicznego

2. oszacować parametry struktury stochastycznej oszacowanego modelu, zinterpretować otrzymane wyniki

3. wyznaczyć prognozę na rok 2010 oraz błąd średni predykcji.

2. Produkcja pewnego wyrobu (w tys. sztuk) w latach 2004 - 08 kształtowała się następująco: 23, 9, 4, 9, 25. Należy:

1. dopasować funkcję trendu, oszacować parametry strukturalne modelu

2. oszacować parametry struktury stochastycznej oszacowanego modelu, zinterpretować otrzymane wyniki

3. wyznaczyć prognozę na rok 2010 oraz względny błąd predykcji.

3. Na podstawie następujących obserwacji o zmiennej Y w latach 2003-2009: 20,8; 21,1; 22,9; 24,0; 25,9; 27,5; 34,3. Należy:

1. oszacować parametry strukturalne trendu wykładniczego opisującego kształtowanie się zmiennej Y w czasie

2. oszacować parametry struktury stochastycznej oszacowanego modelu, zinterpretować otrzymane wyniki

3. wyznaczyć prognozę na rok 2010 oraz błąd średni predykcji.

4. Import owoców cytrusowych wybranej Centrali Handlu Zagranicznego do Polski w latach 2003-2009 wynosił: 4, 4, 5, 7, 9, 9, 11 (tys. ton). Należy:

1. oszacować parametry strukturalne trendu liniowego opisującego kształtowanie się zmiennej Y w czasie

2. oszacować parametry struktury stochastycznej oszacowanego modelu, zinterpretować otrzymane wyniki

3. wyznaczyć prognozę na rok 2010, 2011; ocenić dokładność predykcji

4. wyznaczyć prognozy przedziałowe wielkości importu owoców cytrusowych na lata 2010, 2011, przyjmując wiarygodność prognozy na poziomie ufności
   i zakładając, że odchylenia losowe modelu mają rozkład normalny.

5. W latach 2005-2009 produkcja komputerów pewnego przedsiębiorstwa kształtowała się w kolejnych latach odpowiednio:

2, 5, 5, 8, 10 (tys. sztuk). Należy:

1. dopasować funkcję trendu

2. oszacować parametry strukturalne modelu, a następnie parametry struktury stochastycznej

3. wyznaczyć prognozę punktową wielkości produkcji komputerów badanego przedsiębiorstwa dla kolejnych trzech lat

4. ocenić dokładność predykcji

5. wyznaczyć prognozy przedziałowe dla kolejnych trzech lat, przyjmując wiarygodność prognozy 95% i zakładając, że odchylenia losowe modelu mają rozkład normalny.

---