Olsztyn, dnia 21 października 2008r

Wyznaczanie momentu bezwładności metodą koincydencji drgań wahadeł - fizycznego i matematycznego
sprawozdanie nr 2

Arasimowicz Artur
Sieg Szymon
grupa 1

1. Wprowadzenie - opis teoretyczny zadania
   

Moment bezwładności to suma iloczynów mas poszczególnych części ciała przez kwadraty odległości tych części od osi obrotu. Jeśli masy te oznaczymy przez m₁, m₂, m₃…, a ich odległość od osi obrotu odpowiednio przez r₁, r₂, r₃ …, to moment bezwładności I wyrazi się wzorem
.

Bezwładność jest właściwością wszystkich ciał materialnych, polegająca na tym, że do uzyskania przyspieszenia względem inercjalnego układu odniesienia ciała wymagają działania siły, a jeśli siła nie działa - poruszają się bez przyspieszenia lub spoczywają. Miarą bezwładności jest masa ciała - ciało o dużej masie trudniej ruszyć ze stanu spoczynku i trudniej też zatrzymać, niż ciało o małej masie. Jest ona postulowana za pomocą drugiej zasady dynamiki Newtona (zwanej też zasadą bezwładności), która brzmi - jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

2. Zjawiska, prawa i zasady związane z doświadczeniem
   

Koincydencja to jednoczesne zejście się dwóch lub więcej zjawisk w charakterystycznych fazach tych zjawisk. Nie są one ze sobą związane przyczynowo. W ćwiczeniu istotna jest koincydencja amplitud dwóch wahadeł: matematycznego i fizycznego.

Ruch harmoniczny jest to ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu. Ruch taki można wyrazić przy pomocy funkcji sinus i cosinus zależnych od czasu. Jeżeli punkt materialny porusza się ruchem okresowym tam i z powrotem po tej samej drodze, to ruch taki nazywamy ruchem drgającym (wibracyjnym lub oscylacyjnym). W otaczającym nas świecie często spotykamy się z ruchami drgającymi. Ruch wahadła zegara, drgania strun skrzypiec, ruch ciężarka na końcu sprężyny, ruch atomów w cząsteczkach, ruch cząsteczek powietrza podczas rozchodzenia się fali głosowej to przykłady ruchu okresowego. Również inne, bardziej złożone drgania mogą być opisane w przybliżeniu jako harmoniczne - każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Ruch taki występuje wtedy, gdy przyspieszenie i siła mają wartość proporcjonalną do wychyleń.

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości. Z reguły w drganiach mechanicznych siła sprężysta nie jest jedyną siłą występującą w tym ruchu - towarzyszy jej zawsze siła utrudniająca ten ruch, czyli siła tłumiąca. Drgania takie nazywają się drganiami harmonicznymi tłumionymi. Dynamikę ruchu harmonicznego zapisuje się określonymi wzorami w zależności od tego jaka siła tłumiąca działa na nasz układ wykorzystując przy tym drugą zasadę dynamiki Newtona - Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej.

Amplituda - nieujemna największa wartość określająca wielkość przebiegu funkcji okresowej, tj. wychylenia od miejsca początkowego. Amplituda A w przebiegach sinusoidalnych jest maksymalną wartością tego przebiegu.

Okres T ruchu harmonicznego jest to czas trwania jednego pełnego drgnięcia albo cyklu (to jest najkrótszy czas, po upływie którego ruch zaczyna się powtarzać.

Częstotliwość (częstość) f to liczba drgań (albo cyklów) na jednostkę czasu. Częstotliwość jest odwrotnością okresu, czyli

Jednostką częstotliwości w układzie SI jest herc (Hz).

Położeniem równowagi w ruchu drgającym nazywamy położenie, w którym na punkt materialny nie działa żadna siła wypadkowa.

Przemieszczenie lub wychylenie jest to odległość drgającego punktu materialnego od położenia równowagi w dowolnej chwili.

W ruchu harmonicznym prostym o wychyleniu

,

w którym nie występują żadne siły rozpraszające (np. tarcie), całkowita energia mechaniczna jest zachowana (pozostaje stała). Całkowita energia to suma energii potencjalnej i kinetycznej.

Wniosek do wykonania zadania:

Długość zredukowana l' wahadła fizycznego (do matematycznego) to taka długość wahadła matematycznego, które będzie drgało tak samo jak wahadło fizyczne o momencie bezwładności I, masie m i odległości osi obrotu od środka ciężkości r rozpatrywanej bryły sztywnej.

- Wahadło matematyczne o takiej długości będzie się wahać z takim    samym okresem jak wahadło fizyczne.

3. Instrumenty wykorzystywane w doświadczeniu

Wahadłem fizycznym jest każda bryła sztywna o masie m zawieszona w punkcie O znajdującym się powyżej jej środka ciężkości. Takie zawieszenie umożliwia jego ruch w polu grawitacyjnym. Po wychyleniu bryły z położenia równowagi o kąt f pojawia się różny od zera moment siły F wymuszający drganie obrotowe ciała wokół poziomej osi.

Wahadło matematyczne (wahadło proste) jest to ciało o masie punktowej P zawieszone na cienkiej, nierozciągliwej nici, wykonujący ruch dokoła niżej położonego punktu 0 - zwanego środkiem wahań. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi, zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy.

Do wykonania ćwiczenia potrzeba również suwmiarki oraz stopera.

4. Wyprowadzenie wzorów roboczych i wzorów na niepewność pomiaru

Na odchylone o kąt α wahadło działa moment siły:

M = P x

Nadając mu przyspieszenie kątowe:

gdzie:

ε - przyspieszenie kątowe

I - moment bezwładności wahadła fizycznego względem osi obrotu O.

Po podstawieniu powyższych wzorów otrzymamy:

gdzie:

x - wychylenie środka ciężkości S od położenia równowagi

Przyspieszenie liniowe a punktu S wynosi:

a = ε d stąd

Po podstawieniu do wzoru
otrzymamy:

Rozpatrywany ruch jest zatem ruchem harmonicznym, w którym

|a| = |-ω²x|

Powyższy wzór byłby słuszny, gdyby ruch punktu S odbywał się wzdłuż odcinka x, a nie jak w rzeczywistości wzdłuż łuku ł. Dla małych kątów odchyleń (α) wahadła długość łuku w przybliżeniu równa się długości odcinka x. Przy założeniu, że we wzorze
x jest wychyleniem, rozpatrywany ruch można rzeczywiście uważać za harmoniczny, zatem i ten wzór za prawidłowy.

Podstawiając |a| = |-ω²x| do
, otrzymamy:

Stąd

Lub

Stąd

Iloczyn Pd lub mgd oznaczamy literą D i nazywamy momentem kierującym.

Powyższy wzór na okres wahań rozpatrywanego wahadła fizycznego grawitacyjnego stosuje się także do innych wahadeł fizycznych, np. sprężynowych torsyjnych. Moment kierujący D nie będzie wtedy iloczynem mgd,

lecz wyrazi się przez inne siły, np. przez siłę sprężystości -kx. Wzór
jest zatem wzorem ogólnym wahadeł fizycznych, a wzór
wzorem wahadła grawitacyjnego, w tym wahadła matematycznego, w którym cała masa jest skupiona w punkcie S. Moment bezwładności wahadła matematycznego względem punktu 0 wynosi więc:

I=md²

Po podstawieniu I=md² do
mamy znany wzór na okres wahadła matematycznego:

Gdzie:

d = l długość wahadła matematycznego.

Dalej będą rozpatrywane oba wahadła jednocześnie, dlatego przy odpowiednich symbolach stawiamy indeksy f - fizyczne lub m - matematyczne

Tak więc:

Gdzie:

m - masa wahadła,

g - przyspieszenie ziemskie,

d - odległość środka ciężkości wahadła od osi obrotu,

I - moment bezwładności wahadła

Szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego jest wahadło matematyczne. Jego okres drgań wyraża się wzorem:

Gdzie:

l_m - długość wahadła matematycznego.

Porównując wzory
i
widzimy, że taką samą rolę jak l_m we wzorze
odgrywa wyrażenie:

We wzorze
. Nazywamy je długością zredukowaną wahadła fizycznego:

Wzór ten jest definicją długości zredukowanej.

Jeżeli do danego wahadła fizycznego dopasujemy takie wahadło matematyczne, które miałoby taki sam okres:

T_m = T_f

to
, czyli długość zredukowana l_f, będzie równa długości wahadła matematycznego l_m:

l_f = l_m

Różnica liczby drgań obu wahadeł między dwiema koincydencjami jest równa jedności.

Przypuśćmy, że wahadło matematyczne porusza się wolniej, a ściślej, ma dłuższy okres T_m > T_f niż wahadło fizyczne, wtedy na n drgań wahadła fizycznego przypada n-1 drgań wahadła matematycznego. Jeżeli przez t oznaczamy czas między dwiema kolejnymi koincydencjami, to okresy drgań wahadeł będą wynosiły odpowiednio:

;

Podstawiając powyższe wartości T_f i T_m do wzorów na okres każdego z wahadeł mamy:

;

Lub

;

Zatem

Stąd

Gdy T_f > T_m, to przy tych samych oznaczeniach mamy:

;

Oraz

Długość zredukowaną wahadła fizycznego określimy więc ogólnym wzorem:

Plus - w przypadku T_f > T_m,

Minus - w przypadku T_m > T_f

Po wyznaczeniu l_f możemy ze wzoru
wyznaczyć moment bezwładności wahadła.

I = l_fmd

5. Opis przebiegu doświadczenia:

1. Ustalić długość wahadła matematycznego, tak aby okresy drgań wahadeł fizycznego i matematycznego były zbliżone.

2. Zmierzyć długość wahadła matematycznego l = l` + 0,5 D, gdzie l` długość nici mierzona przymiarem milimetrowym, oraz D- średnica kulki (mierzona suwmiarką).

3. Uruchomić oba wahadła i policzyć liczbę drgań n wahadła fizycznego w czasie t między dwiema kolejnymi koincydencjami- liczba ta nie powinna być mniejsza od 30. Liczenie powtórzyć kilka razy.

4. Pomiary 2 i 3 powtórzyć dla co najmniej trzech różnych długości wahadła matematycznego.

5. Dla każdej długości wahadła matematycznego obliczyć lf. Obliczyć wartość średnia lf.

6. Zdjąć wahadło fizyczne. Położyć je na krawędzi (stół, krzesło), podpierając je tak, aby było w równowadze. W ten sposób znajduje się środek ciężkości S.

7. Zmierzyć długość wahadła fizycznego od punktu zaczepu do punktu S.

8. Obliczyć moment bezwładności wahadła względem osi obrotu względem osi obrotu.

9. Ocenić niepewność pomiarów.

Uzyskane wyniki umieścić w tabeli.

lm(m)	n	lf(m)	lfśr	m(kg)	d(m)	I (kg*m^2)

---