Wydział Geodezji i

Gospodarki Przestrzennej

Ćwiczenie nr 73: Wyznaczenie momentu bezwładności metodą koincydencji drgań wahadeł - fizycznego fizycznego i matematycznego.

wykonali:

Damian Gulczyński

Krzysztof Bonk

gr nr 2

Wprowadzenie:

Moment bezwładności - miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość obrotową.

Bezwładność - właściwość ciał materialnych, polegająca na tym, ze w inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa siła lub działające siły się równoważą, to porusza się ono ruchem jednostajnym lub spoczywa. Bezwładność przejawia się tym, że ciało zachowuje niezmienny stan ruchu lub spoczynku względem inercjalnego układu odniesienia. Zmiana prędkości ciała wymaga działania siły. Bezwładność ciał postulowana jest przez zasady dynamiki Newtona. Miarą bezwładności ciała jest jego masa, natomiast jej odpowiednikiem w ruchu obrotowym - moment bezwładności. Większość fizyków przyjmuje bezwładność jako cechę materii.

Zjawiska, prawa i zasady związane z doświadczeniem:

Koincydencja - jednoczesne zejście się dwóch lub więcej zjawisk w charakterystycznych fazach tych zjawisk. W ćwiczeniu istotna jest koincydencja amplitud dwóch wahadeł: matematycznego i fizycznego.

Amplituda - nieujemna wartość określająca wielkość przebiegu funkcji okresowej. Amplituda A w przebiegach sinusoidalnych jest maksymalną wartością tego przebiegu.

Ruch harmoniczny - drgania opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną). Jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.

Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, również wiele rodzajów bardziej złożonych drgań może być opisane jako w przybliżeniu harmoniczne. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Ruch taki występuje wtedy, gdy przyspieszenie, siła mają wartość proporcjonalną do wychylenia.

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości. Z reguły w drganiach mechanicznych zawsze, siła sprężysta nie jest jedyną siłą występującą w tym ruchu. Towarzyszy jej zawsze siła utrudniająca ten ruch zwana siłą tłumiącą. Drgania zaś występujące w takich okolicznościach nazywamy drganiami harmonicznymi tłumionymi. Dynamikę ruchu harmonicznego zapisujemy określonymi wzorami w zależności od tego jaka siła tłumiąca działa na nasz układ wykorzystując przy tym drugą zasadę dynamiki Newtona.

Drgania - procesy, w trakcie których wielkości fizyczne na przemian rosną i maleją w czasie.

Szczególnymi rodzajami drgań rozpatrywanymi w fizyce są:

1. drgania mechaniczne (ruch drgający): wahadło matematyczne, ciało na sprężynie, wahadło fizyczne, drgania cząsteczek sieci krystalicznych, drgania strun instrumentów muzycznych, drgania powietrza.

2. drgania elektryczne

3. drgania elektromechaniczne

Bez względu na drgającą wielkość stosuje się podział ruchu drgającego ze względu na własności matematyczne funkcji opisującej drgania lub co jest równoważne na równania opisujące zachowanie się układu drgającego. Wyróżnia się:

1. drgania okresowe

2. nieokresowe

Wśród drgań okresowych wyróżnia się często spotykany i najprostszy w opisie matematycznym ruch harmoniczny, a w drganiach nieokresowych drgania prawie okresowe.

W zależności od rodzaju równań drgań wyróżnia się drgania liniowe i drgania nieliniowe.

Jeżeli na drgający układ ma wpływ inny drgający układ (siła wymuszająca) to drgania nazywa się wymuszonymi, gdy siła nie występuje drganiami swobodnymi. Układy autonomiczne (nie wymuszone) dzieli się na:

1. zachowawcze (energia drgań nie zmienia się)

2. tłumione (energia zmniejsza się)

3. samowzbudne (energia drgań rośnie)

Szczególnym przypadkiem drgań są drgania harmoniczne. Takie drgania powstają, gdy siła sprowadzająca układ drgający do położenia równowagi jest proporcjonalna do wychylenia układu z tego położenia. Drgania, które występują w naszym doświadczeniu to drgania harmoniczne tłumione.

Druga zasada dynamiki Newtona:

Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej.

Okres - czas wykonania jednego pełnego drgania w ruchu drgającym, czyli czas pomiędzy wystąpieniami tej samej fazy ruchu drgającego. Okres fali równy jest okresowi rozchodzących się drgań. Okres dotyczyć może również innych zjawisk fizycznych (np. prądu przemiennego), które mają charakter oscylacji (powtarzających się zmian jakiejś wielkości). W takim najogólniejszym znaczeniu, okresem nazywamy najmniejszy czas potrzebny na powtórzenie się wzoru oscylacji.

gdzie: f - częstotliwość,

gdzie: ω - pulsacja (częstość kołowa).

gdzie: λ - długość fali,

v - prędkość rozchodzenia się fali.

Okresy, które wyróżniamy w naszym doświadczeniu to okres drgań wahadła matematycznego oraz okres drgań wahadła fizycznego. Zależnie od tego, które wahadło porusza się szybciej (którego okres drgań jest mniejszy) taki wzór stosujemy (patrz wyprowadzenia wzorów).

Instrumenty potrzebne do wykonania doświadczenia:

Wahadło - ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

• matematyczne

• fizyczne

Wahadło fizyczne - może być dowolne ciało sztywne zawieszone swobodnie na poziomej osi przechodzącej przez dowolny punkt tego ciała, poza jego środkiem ciężkości.

Wahadło matematyczne - Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Do wykonania ćwiczenia potrzeba również suwmiarki oraz stopera.

Wyprowadzenia wzorów roboczych:

Na odchylone o kąt α wahadło działa moment siły:

M = P x

Nadając mu przyspieszenie kątowe:

gdzie:

ε - przyspieszenie kątowe

I - moment bezwładności wahadła fizycznego względem osi obrotu O.

Po podstawieniu powyższych wzorów otrzymamy:

gdzie:

x - wychylenie środka ciężkości S od położenia równowagi

Przyspieszenie liniowe a punktu S wynosi:

a = ε d stąd

Po podstawieniu do wzoru
otrzymamy:

Rozpatrywany ruch jest zatem ruchem harmonicznym, w którym

|a| = |-ω²x|

Powyższy wzór byłby słuszny, gdyby ruch punktu S odbywał się wzdłuż odcinka x, a nie jak w rzeczywistości wzdłuż łuku ł. Dla małych kątów odchyleń (α) wahadła długość łuku w przybliżeniu równa się długości odcinka x. Przy założeniu, że we wzorze
x jest wychyleniem, rozpatrywany ruch można rzeczywiście uważać za harmoniczny, zatem i ten wzór za prawidłowy.

Podstawiając |a| = |-ω²x| do
, otrzymamy:

Stąd

Lub

Stąd

Iloczyn Pd lub mgd oznaczamy literą D i nazywamy momentem kierującym.

Powyższy wzór na okres wahań rozpatrywanego wahadła fizycznego grawitacyjnego stosuje się także do innych wahadeł fizycznych, np. sprężynowych torsyjnych. Moment kierujący D nie będzie wtedy iloczynem mgd, lecz wyrazi się przez inne siły, np. przez siłę sprężystości -kx. Wzór
jest zatem wzorem ogólnym wahadeł fizycznych, a wzór
wzorem wahadła grawitacyjnego, w tym wahadła matematycznego, w którym cała masa jest skupiona w punkcie S. Moment bezwładności wahadła matematycznego względem punktu 0 wynosi więc:

I=md²

Po podstawieniu I=md² do
mamy znany wzór na okres wahadła matematycznego:

Gdzie:

d = l długość wahadła matematycznego.

Dalej będą rozpatrywane oba wahadła jednocześnie, dlatego przy odpowiednich symbolach stawiamy indeksy f - fizyczne lub m - matematyczne

Tak więc:

Gdzie:

m - masa wahadła,

g - przyspieszenie ziemskie,

d - odległość środka ciężkości wahadła od osi obrotu,

I - moment bezwładności wahadła

Szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego jest wahadło matematyczne. Jego okres drgań wyraża się wzorem:

Gdzie:

l_m - długość wahadła matematycznego.

Porównując wzory
i
widzimy, że taką samą rolę jak l_m we wzorze
odgrywa wyrażenie:

We wzorze
. Nazywamy je długością zredukowaną wahadła fizycznego:

Wzór ten jest definicją długości zredukowanej.

Jeżeli do danego wahadła fizycznego dopasujemy takie wahadło matematyczne, które miałoby taki sam okres:

T_m = T_f

to
, czyli długość zredukowana l_f, będzie równa długości wahadła matematycznego l_m:

l_f = l_m

Różnica liczby drgań obu wahadeł między dwiema koincydencjami jest równa jedności.

Przypuśćmy, że wahadło matematyczne porusza się wolniej, a ściślej, ma dłuższy okres T_m > T_f niż wahadło fizyczne, wtedy na n drgań wahadła fizycznego przypada n-1 drgań wahadła matematycznego. Jeżeli przez t oznaczamy czas między dwiema kolejnymi koincydencjami, to okresy drgań wahadeł będą wynosiły odpowiednio:

;

Podstawiając powyższe wartości T_f i T_m do wzorów na okres każdego z wahadeł mamy:

;

Lub

;

Zatem

Stąd

Gdy T_f > T_m, to przy tych samych oznaczeniach mamy:

;

Oraz

Długość zredukowaną wahadła fizycznego określimy więc ogólnym wzorem:

Plus - w przypadku T_f > T_m,

Minus - w przypadku T_m > T_f

Po wyznaczeniu l_f możemy ze wzoru
wyznaczyć moment bezwładności wahadła.

I = l_fmd

Opis przebiegu doświadczenia:

1. Ustalić długość wahadła matematycznego, tak aby okresy drgań wahadeł fizycznego i matematycznego były zbliżone.

2. Zmierzyć długość wahadła matematycznego l = l` + 0,5 D, gdzie l` długość nici mierzona przymiarem milimetrowym, oraz D- średnica kilki (mierzona suwmiarką).

3. Uruchomić oba wahadła i policzyć liczbę drgań n wahadła fizycznego w czasie t między dwiema kolejnymi koincydencjami- liczba ta nie powinna być mniejsza od 30. Liczenie powtórzyć kilka razy.

4. Pomiary 2 i 3 powtórzyć dla co najmniej trzech różnych długości wahadła matematycznego.

5. Dla każdej długości wahadła matematycznego obliczyć lf. Obliczyć wartość średnia lf.

6. Zdjąć wahadło fizyczne. Położyć je na krawędzi (stół, krzesło), podpierając je tak, aby było w równowadze. W ten sposób znajduje się środek ciężkości S.

7. Zmierzyć długość wahadła fizycznego od punktu zaczepu do punktu S.

8. Obliczyć moment bezwładności wahadła względem osi obrotu względem osi obrotu.

9. Ocenić niepewność pomiarów.

Uzyskane wyniki umieścić w tabeli.

lm(m)	n	lf(m)	lfśr	m(kg)	d(m)	I (kg*m^2)

---