Wnioskowanie statystyczne to proces myślowy polegający na formułowaniu sądów o całości przy dysponowaniu o niej ograniczoną liczbą informacji.

Zmienna losowa skokowa i jej rozkład

Zmienną losową X jest wielkość, która przy zajściu każdego zdarzenia losowego ω przyjmuje konkretną wartość
, co można zapisać w sposób następujący:

Innymi słowy zmienna losowa X jest liczbową prezentacją wyniku doświadczenia losowego, a więc jej wartość zależna jest od przypadku.

Jeśli doświadczenie polega na kontroli jakości 20 komputerów wyprodukowanych przez producenta tych wyrobów, to zmienną losową X będzie liczba wadliwych komputerów, która może przyjąć wartości: od 0 do 20. Jeśli poszczególnym wartościom
przyporządkujemy prawdopodobieństwa realizacji tej zmiennej losowej oznaczonej przez
, wówczas otrzymamy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej, przy czym:

Znać rozkład zmiennej losowej skokowej X to znać realizacje tej zmiennej, czyli
, oraz odpowiadające im prawdopodobieństwa
.Rozkład zmiennej losowej skokowej można przedstawić za pomocą funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej lub tablicy.

Przykładem zmiennej losowej skokowej jest wielkość popytu na określone dobro. Popyt zależy bowiem od wielu czynników, takich jak: ceny dobra, ceny innych dóbr (substytucyjnych), dochód do dyspozycji gospodarstwa domowego zgłaszającego popyt na to dobro itp. Jest zatem, przynajmniej częściowo, zależny od przypadku.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej skokowej

Wartość oczekiwana jest zatem średnią arytmetyczną ważoną realizacji
zmiennej losowej X, a wagami są odpowiadające im prawdopodobieństwa
.

Wariancja zmiennej losowej skokowej

Odchylenie standardowej zmiennej losowej skokowej

Dystrybuanta zmiennej losowej
nazywa się prawdopodobieństwem tego, że zmienna losowa przyjmie wartości mniejsze lub równe określonej wartości
(czyli jest równa sumie prawdopodobieństw realizacji wartości zmiennej, mniejszych bądź równych
). Jest to funkcja określana wzorem:

Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej (dyskretnej)
Ważniejsze teoretyczne rozkłady zmiennej losowej skokowej

Zmienna losowa X ma rozkład zero-jedynkowy, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa (rozkład) jest następująca:

Wartość oczekiwana i wariancja w tym rozkładzie wynoszą:

Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa określona jest wzorem:

,

gdzie:

- liczba wariantów zmiennej losowej,

- liczba realizacji zdarzenia
,

- prawdopodobieństwo realizacji zdarzeń
w każdej z niezależnych realizacji.

Wartość oczekiwana w tym rozkładzie wynosi:

a wariancja:

Schemat Bernoulliego:

Z takim rozkładem mamy do czynienia w przypadku wyznaczania prawdopodobieństwa kolejnych wartości
w
doświadczeniach. Aby rozkład dwumianowy mógł znaleźć zastosowanie, muszą być spełnione następujące warunki:

• przeprowadza się
  jednakowych doświadczeń,

• dla każdego doświadczenia możliwe są dwa wyniki: jeden - zwany sukcesem, a drugi porażką,

• prawdopodobieństwo sukcesu
  czy porażki
  w kolejnych doświadczeniach jest stałe,

• doświadczenia są od siebie niezależne.

Rozkład Poissona dotyczy zmiennej losowej skokowej. Znajduje on zastosowanie w sytuacjach, gdy próba jest liczna
oraz gdy prawdopodobieństwo zajścia sukcesu jest małe (co najwyżej kilkuprocentowe). Jego przydatność jest duża, np. w ustalaniu prawdopodobieństwa wadliwości produkcji czy awaryjności maszyn.

Prawdopodobieństwo w rozkładzie Poissona

gdzie:
- średnia liczba zdarzeń,

Rozkładem Poissona można przybliżyć rozkład dwumianowy, gdy spełnione są następujące warunki:

• duża liczba doświadczeń
  

• stały iloczyn
  
  

• prawdopodobieństwo
  

Rozkład normalny i inne rozkłady zmiennej losowej ciągłej

Zmienna losowa ciągła jest to taka zmienna, która przyjmuje wszystkie wartości z pewnego określonego przedziału liczbowego.

Zmienną losową ciągłą jest czas pracy przeznaczony na wyprodukowanie sztuki wyrobu przez pracowników pewnej fabryki, waha się on np. w przedziale od 3 do 5 godzin. Może zatem przyjąć dowolne wartości z tego przedziału, np. 3, 1; 4,23 itp.

Rozkład normalny to najważniejszy rozkład zmiennej losowej ciągłej. Odgrywa on w zastosowaniach statystyki ogromną rolę.

Zmienna losowa standaryzowana

Rozkład chi-kwadrat

Zakładając, że
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym o parametrach
zmienna losowa
określona jest w sposób następujący:
ma rozkład
z
„liczbą stopni swobody”.

Zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrat przyjmuje wartości dodatnie, a jej rozkład zależy od liczby stopni swobody
. Dla małych wartości
jest to rozkład silnie asymetryczny, w miarę wzrostu
asymetria jest coraz mniejsza:
wyznaczamy najczęściej jako:

gdzie:
- liczebność próby,

- liczba szacowanych parametrów z próby.

Wartość oczekiwana w rozkładzie

Wariancja w rozkładzie

Odchylenie standardowe w rozkładzie

Rozkład t-Studenta

Wartość oczekiwana w rozkładzie t-Studenta

Wariancja w rozkładzie t-Studenta

Odchylenie standardowe w rozkładzie t-Studenta

---