WYKŁAD 2

Własności funkcji ciągłych na przedziale domkniętym i ograniczonym:

1) funkcja f ciągła na <a,b> jest ograniczona na <a,b>

2)funkcja f ciągła na <a,b> jest na tym przedziale jednostajnie ciągła

3) funkcja f ciągła na <a,b> osiąga w nim swoje kresy: supremum i infemum, tzn. istnieją takie punkty x₁,x₂ Є<a,b> że

sup_xЄ<a,b> f(x)=f(x₁), inf_xЄ<a,b>f(x)=f(x₂)

4)jeżeli f jest ciągła na <a,b> oraz f(a)*f(b)<0 to istnieje taki punkt cЄ(a,b) że f(c)=0

5) własność Darboux: jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale I(niekoniecznie domkniętym) oraz przyjmuje w punktach x₁,x₂ Є I, x₁<x₂dwie różne wartości y₁=f(x₁), y₂=f(x₂) to f przyjmuje w przedziale < x₁,x₂ > wszystkie pośrednie wartości między y₁a y₂tzn.

y_o=f(x₀)

Wniosek:

Wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym <a,b> wypełnia przedział domknięty <inf_xЄ<a,b>f(x)_, sup _xЄ<a,b>f(x)>.

6)jeżeli f jest funkcją różnowartościową wzajemnie jednoznaczną, ciągłą na przedziale <a,b> to funkcja odwrotna f_-1 jest ciągła na przedziale <inf_xЄ<a,b>f(x)_, sup _xЄ<a,b>f(x)>.

Uwaga:

Każda funkcja f jednostajnie ciągła na <a,b> (lub (a,b)) tzn.

Jest ciągła na (a,b) oraz jednostajnie ciągła na końcach tego przedziału.

Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.

1)Pochodna funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej

Dana jest funkcja f: (a,b) o wartościach rzeczywistych. Niech x₀Є(a,b).

Dla x₁Є(a,b) przyrostem zmiennej niezależnej nazywamy różnicę ∆x= x₁-x₂, a przyrostem zmiennej zależnej nazywamy różnice ∆y=f(x₁)-(x₂).

Iloraz postaci:
przy x₀≠0 to iloraz różnicowy funkcji f w x.

Jeżeli przy ∆x→0 istnieje granica właściwa lub niewłaściwa ilorazu różnicowego
to punktowi x₀Є(a,b) można przyporządkować wyrażenie

Zmieniając x₀Є(a,b) uzyskujemy funkcje f'.

Def.

Funkcja f' gdzie
nazywamy pochodną funkcji f.

Def.

Pochodną lewostronną funkcji f nazywamy funkcją f'_l przy czym

Pochodną prawostronną funkcji f nazywamy funkcją f'_p przy czym
przykłady:

a) wykazać, że (xⁿ)'=nx^n-1 dla n=1,2.., określić zbiór xЄR dla których wzór ten zachodzi.

Dowód: oznaczamy przez ∆x przyrost zmiennej niezależnej, wtedy:

Przy ∆x≠0.

Stąd:

oraz

czyli (xⁿ)'=nx^n-1

powyższy wzór zachodzi przy n>1 dla każdego xЄR. Natomiast przy n=1 wzór ten ma miejsce gdy x≠0. ponadto widać, że
dla każdego xЄR.

b) zbadać pochodną funkcji f(x)=|x|, xЄR w punkcie x₀=0

pochodne jednostronne funkcji f w x₀ wynoszą
oznacza to, że w x₀=0 nie istnieje pochodna funkcji f(x)=|x| mimo,że funkcja ta jest ciągła w x₀=0.

Twierdzenie 1.

Jeżeli funkcja f określona na przedziale (a,b) posiada skończoną pochodną w x₀=(a,b), to funkcja jest ciągła w x₀.

Dowód:

Ponieważ istnieje skończona granica:

więc

czyli

zatem f jest ciągła w x₀.

Uwaga:

Przykład funkcji f(x)=|x|, xЄR świadczy o tym że twierdzenie odwrotne nie zachodzi.

Twierdzenie 2.

Jeżeli funkcje f,g posiadają skończone pochodne w x₀Є(a,b) to:

a) kombinacja liniowa: α*f+β*g, gdzie α,β to stałe rzeczywiste, posiada skończoną pochodną w x₀ oraz (α*f+β*g)'(x₀)=

α*f'(x₀)+β*g'(x₀).

b) iloczyn f*g posiada skończoną granicę w x₀ oraz

(f*g)' (x₀)= f'(x₀)*g(x₀)+f(x₀)*g'(x₀).

c) przy dodatkowym założeniu g(x₀)≠0 istnieje skończona pochodna ilorazu f/g

dowód a: we własnym zakresie

dowód b:
(

gdyż g jest ciągła w x₀.

Dowód c:

ponieważ g(x₀)≠0 oraz g jest ciągła w w x₀ więc dla dostatecznie bliskich zera ∆x, ∆x≠0 ,mamy g(x₀+∆x₀)≠0.

(f/g)'(x₀)=

Twierdzenie 3.

Jeżeli:

a) funkcja g jest ciągła na <a,b> oraz istnieje skończona pochodna g'(x₀) dla

x₀Є(a,b)

b) funkcja f jest określona na przedziale <c,d> oraz posiada skończoną pochodną w punkcie g(x₀).

To pochodna superpozycji h=f*g=f(g) jest równa h'(x₀)= (f*g)'(x₀)=f'(g (x₀))* g'(x₀)

Dowód:

Ponieważ istnieje skończona pochodna g'(x₀) oraz f'(x₀) więc przy y₀= g(x₀) można napisać: g(x₀+∆x₀)-g(x₀)= ∆x(g'(x₀)+u(x₀,∆x))

f(y₀+∆y)-f(y₀)=∆y(f'(y₀)+v(y₀,∆y₀)

gdzie:

u(x₀,∆x)→0 przy ∆x→0

v(y₀,∆y₀)→0 przy ∆y→0

Zatem:

h(x₀+∆x₀)-h(x₀)= f|g(x₀+∆x₀)|-f|g(x₀)|=

f|g (x₀)+∆y)|-f|g(x₀)|=

f|(y₀+∆y₀|-f(y₀)= ∆y(f'(y₀)+v(y₀,∆y₀)=

|g(x₀+∆x₀)-g(x₀)|*(f'(x₀)+v(y₀,∆y₀)=

∆x(g(x₀)+ u(x₀,∆x₀).

Twierdzenie 4.

Jeżeli funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna na <a,b> oraz istnieje skończona pochodna f'(x₀)≠0 w punkcie x₀Є(a,b) to funkcja odwrotna f _-1 posiada pochodną w punkcie y₀=f(x₀) oraz

Pochodne funkcji elementarnych:

a) f(x)=sinx

ponieważ:

więc przy ∆x→0 otrzymujemy f(x)=(sinx)'=cosx, gdyż cos jest unkcją ciągłą f(x)= cosx.

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej, mamy:

f(x)=tgx

f(x)=ctg

b) f(x)=arcsinx, f _-1=siny,
, x'(y)= cosy

Na mocy tw.4 mamy:

y'(x)=1/cosy ,ponieważ

(znak `+', bo
) więc

dla xЄ(-1,1)

podobnie otrzymujemy

dla xЄ(-1,1)

f(x)=arctgx

Funkcją odwrotną do niej jest funkcja x=tgy
, ponieważ
więc:

ponadto otrzymujemy

c)f(x)= log_ax a>0 ,a≠1, x>0

poneważ:

więc

w szczególności (lnx)'=1/x

d) f(x)=a^x, a>0

ponieważ funkcją odwrotną do y= a^x jest x= log_ay więc

w szczególności (e^x)'= e^x

e)

1˚ wiadomo, że dla funkcji potęgowej xⁿ , nЄN:

f'(x₀)=1 dla n=1

2˚dla nЄN mamy przy x≠0

3˚Jeżeli x=1/n n-liczba całkowita różna od zera, to funkcja
jest odwrotna do funkcji xⁿ a więc przyjmuje
mamy x= xⁿ oraz

4˚dla
, gdzie m to liczba całkowita nЄN mamy

5˚ jeżeli
to mamy przy x>0
Podsumowanie:

Interpretacja geometryczna i mechaniczna pochodnej

a) Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b) oraz niech f posiada skończoną pochodną f'(x₀) w x₀Є(a,b).

Równanie prostej przechodzącej przez punkty P₀ i P₁:

lub

przy ∆x→0 sieczna P₀ P₁dąży do położenia granicznego którym jest styczna do krzywej y=f(x) w punkcie P₀ (podobnie jest gdy ∆x<0).

Współczynnik kierunkowy siecznej

dąży do pochodnej w x_0.

Zatem:

Pochodna f'(x₀) jest równa tangesowi kąta, który tworzy styczne do krzywej y=(x) z osia OX.

Zatem, jeżeli funkcja f posiada w x₀Є(a,b) skończoną pochodną f'(x₀) to równanie stycznej do krzywej y=f(x) w x₀ ma postać:

y- y₀= f'(x₀)(x-x₀).

Jeżeli funkcja f ma w x₀ pochodną równą +∞ lub -∞ to równanie stycznej ma postać x= x₀ .

b) Niech dane ciało materialne porusza się po osi liczbowej OX. W chwili t ciało znajduje się w punkcie M o współrzędnej s=f(t). W chwili początkowej t₀ ciało znajduje się w punkcie M₀ o współrzędnej s₀= f(t₀).Po upływ czasu ∆t ciało znajduje się w punkcie M₁ o współrzędnej s₁= f(t₀+∆t).

Oznaczamy ∆s =s₁-s₀.Granicę
nazywam prędkością ciała w chwili t₀ i oznaczamy przez v(t₀), czyli

Przy założeniu że f'(t₀) jest skończona.

c) Badamy reakcje syntezy substancji C, powstającej z substancji A i B. Ilość y substancji C zależy w następujący sposób od czasu t trwania reakcji y=f(t).

W chwili t₀, ilość substancji C wynosi y₀=f(t₀) po upływie czasu ∆t ilość substancji C jest równa y₁= f(t₀+∆t).

Prędkość substancji w chwili t₀ wynosi

(przy założeniu istnienia skończonej pochodnej).

Pochodna funkcji przedstawiona parametrycznie:

Dane są funkcje:

określone i ciągłe względem parametru t,
podające związek imiennych x i y przy pomocy t.

Zakładamy, że :

• φ jest ściśle monotoniczna

• istnieje skończona pochodna φ'(t₀)≠0 i ψ'(t₀) dla
  Zatem istnieje funkcja odwrotna φ_-1 : t = φ_-1 (x) ciągła i ściśle monotoniczna.

Funkcja złożona:

Jest ciągła, ponieważ:

więc na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy

---