Równanie Schrödingera

Postulaty i podstawy

mechaniki kwantowej

• Operatory, wartości

własne, funkcje własne

• Gęstość

prawdopodobieństwa

• Superpozycje, wartości

spodziewane

• Normalizacja





 E

Hˆ

t

i

H













ˆ

V

m

V

T

H













2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ



Interpretacja
Born: amplituda prawdopodobieństwa

2



- gęstość
prawdopodobieństwa

Równanie

Schrödingera

Postulat

1

 skończona
 jedna wartość w każdym punkcie

przestrzeni

 ciągła, wraz z pierwszą

pochodną

 nie może znikać wszędzie

Stan układu kwantowo-mechanicznego
określony jest przez funkcję (r).

Zawiera ona całą możliwą informację o
własnościach dynamicznych układu.

Własności funkcji falowej:

nieciągła

nieciągłe
nachyleni
e

wiele wartości

nieskończenie
duże wartości

(w skończonym
obszarze)

Funkcje nie do

przyjęcia

Normalizacja i

ortogonalość

1

*









dV

Normalizacja:

Ortogonalność:

ij

j

i

dV











*

Każdej wielkości obserwowanej w
dynamice klasycznej odpowiada w
mechanice kwantowej liniowy,
hermitowski operator

Aˆ

A



dx

x

f

A

x

g

dx

x

g

A

x

f

)

(

*

*

ˆ

)

(

)

(

ˆ

*

)

(







Liniowość:

)

(

ˆ

)

(

ˆ

)]

(

)

(

[

ˆ

2

2

1

1

2

2

1

1

x

f

A

c

x

f

A

c

x

f

c

x

f

c

A







Kombinacja liniowa funkcji
własnych stanów
zdegenerowanych jest również
funkcją własną:

)

(

ˆ

ˆ

)

(

ˆ

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

















c

c

a

a

c

a

c

A

c

A

c

c

c

A

















2

2

1

1

ˆ

;

ˆ









a

A

a

A





Postulat

2.

Ważne operatory mechaniki

kwantowej

Wielkość

dynamicz

na

Wyrażeni

e

klasyczn

e

Operator

Współrzęd

na
Składowa

pędu

Energia

kinetyczn

a

elektronu

Energia

oddziaływa

nia

elektronu z

jądrem

Składowa

x

momentu

pędu

q

j

p

j

)

(

2m

1

2

2

2

z

y

x

p

p

p

T







)

(

2m

-

ˆ

2

2

2

2

2

2

2

z

y

x

T





















r

e

-

2

Z

V 

r

e

-

ˆ

2

Z

V 

y

z

x

zp

-

p

y

M 

)

-

(

i

ˆ

x

y

z

z

y

M













i

ˆ

j

j

q

p











ˆ

j

j

q

q 

Każdy pomiar obserwabli, której
odpowiada operator daje w wyniku
jedną z wartości własnych tego
operatora

Aˆ

)

(

)

(

ˆ

x

a

x

A

n

n

n







Układ zupełny:

k

k

k

c 









1

Zasada superpozycji stanów

Udział stanu 

k

w stanie

opisuje kwadrat modułu
współczynnika c

k

Obserwabla: wielkość, której zbiór
funkcji własnych tworzy układ
zupełny

Postulat

3.

Superpozycja funkcji

falowych

ΨdV

A

Ψ

a





ˆ

*

Jeśli  jest funkcją własną

Aˆ

)

(

)

(

ˆ

x

a

x

A

n

n

n







0

2

2

2

2

2

a











n

n

a

a

a

a



Postulat

4.

n

n

n

a

dx

x

A

x

a













)

(

ˆ

)

(

*





)

(

)

(

ˆ

)

(

ˆ

2

2

x

a

x

A

a

x

A

n

n

n

n

n











2

2

2

)

(

ˆ

)

(

*

n

n

n

a

dx

x

A

x

a

















W układzie opisywanym przez
znormalizowaną funkcję falową ,

średnia wartość obserwabli, której
odpowiada operator dana jest
wzorem:

Aˆ

Wynik pomiaru daje tylko
wartość a

n

Ewolucję czasową funkcji falowej
(funkcji stanu) opisuje zależne od
czasu równanie Schrödingera

t

i

H













ˆ

Jeśli

)

(

)

(

)

,

(

t

f

x

t

x











/

)

(

)

(

)

(

iEt

e

t

f

t

Ef

i

dt

t

df













/

)

(

)

,

(

t

iE

n

n

n

e

x

t

x









Postulat

5.

dt

t

df

t

f

i

x

H

x

)

(

)

(

)

(

ˆ

)

(

1









)

(

)

(

ˆ

x

E

x

H







)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

*

*

x

x

t

x

t

x

n

n

n

n











Stan stacjonarny

Wielkości odpowiadające operatorom
komutującym mogą być równocześnie
mierzone z dowolną dokładnością





dx

x

B

A

x

n

n

b

a

)

(

]

ˆ

,

ˆ

)[

(

*

2

1









Komutator

A

B

B

A

B

A

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

]

ˆ

,

ˆ

[





komutują
gdy

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

i

ˆ



 A

B

B

A

B

A