Równanie Schrödingera
Postulaty i podstawy
mechaniki kwantowej
• Operatory, wartości
własne, funkcje własne
• Gęstość
prawdopodobieństwa
• Superpozycje, wartości
spodziewane
• Normalizacja
Równanie Schrödingera
Postulaty i podstawy
mechaniki kwantowej
• Operatory, wartości
własne, funkcje własne
• Gęstość
prawdopodobieństwa
• Superpozycje, wartości
spodziewane
• Normalizacja
E
Hˆ
t
i
H
ˆ
V
m
V
T
H
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
Interpretacja
Born: amplituda prawdopodobieństwa
2
- gęstość
prawdopodobieństwa
Równanie
Schrödingera
Postulat
1
skończona
jedna wartość w każdym punkcie
przestrzeni
ciągła, wraz z pierwszą
pochodną
nie może znikać wszędzie
Stan układu kwantowo-mechanicznego
określony jest przez funkcję (r).
Zawiera ona całą możliwą informację o
własnościach dynamicznych układu.
Własności funkcji falowej:
nieciągła
nieciągłe
nachyleni
e
wiele wartości
nieskończenie
duże wartości
(w skończonym
obszarze)
Funkcje nie do
przyjęcia
Normalizacja i
ortogonalość
1
*
dV
Normalizacja:
Ortogonalność:
ij
j
i
dV
*
Każdej wielkości obserwowanej w
dynamice klasycznej odpowiada w
mechanice kwantowej liniowy,
hermitowski operator
Aˆ
A
dx
x
f
A
x
g
dx
x
g
A
x
f
)
(
*
*
ˆ
)
(
)
(
ˆ
*
)
(
Liniowość:
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)]
(
)
(
[
ˆ
2
2
1
1
2
2
1
1
x
f
A
c
x
f
A
c
x
f
c
x
f
c
A
Kombinacja liniowa funkcji
własnych stanów
zdegenerowanych jest również
funkcją własną:
)
(
ˆ
ˆ
)
(
ˆ
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
c
c
a
a
c
a
c
A
c
A
c
c
c
A
2
2
1
1
ˆ
;
ˆ
a
A
a
A
Postulat
2.
Ważne operatory mechaniki
kwantowej
Wielkość
dynamicz
na
Wyrażeni
e
klasyczn
e
Operator
Współrzęd
na
Składowa
pędu
Energia
kinetyczn
a
elektronu
Energia
oddziaływa
nia
elektronu z
jądrem
Składowa
x
momentu
pędu
q
j
p
j
)
(
2m
1
2
2
2
z
y
x
p
p
p
T
)
(
2m
-
ˆ
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
T
r
e
-
2
Z
V
r
e
-
ˆ
2
Z
V
y
z
x
zp
-
p
y
M
)
-
(
i
ˆ
x
y
z
z
y
M
i
ˆ
j
j
q
p
ˆ
j
j
q
q
Każdy pomiar obserwabli, której
odpowiada operator daje w wyniku
jedną z wartości własnych tego
operatora
Aˆ
)
(
)
(
ˆ
x
a
x
A
n
n
n
Układ zupełny:
k
k
k
c
1
Zasada superpozycji stanów
Udział stanu
k
w stanie
opisuje kwadrat modułu
współczynnika c
k
Obserwabla: wielkość, której zbiór
funkcji własnych tworzy układ
zupełny
Postulat
3.
Superpozycja funkcji
falowych
ΨdV
A
Ψ
a
ˆ
*
Jeśli jest funkcją własną
Aˆ
)
(
)
(
ˆ
x
a
x
A
n
n
n
0
2
2
2
2
2
a
n
n
a
a
a
a
Postulat
4.
n
n
n
a
dx
x
A
x
a
)
(
ˆ
)
(
*
)
(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
2
2
x
a
x
A
a
x
A
n
n
n
n
n
2
2
2
)
(
ˆ
)
(
*
n
n
n
a
dx
x
A
x
a
W układzie opisywanym przez
znormalizowaną funkcję falową ,
średnia wartość obserwabli, której
odpowiada operator dana jest
wzorem:
Aˆ
Wynik pomiaru daje tylko
wartość a
n
Ewolucję czasową funkcji falowej
(funkcji stanu) opisuje zależne od
czasu równanie Schrödingera
t
i
H
ˆ
Jeśli
)
(
)
(
)
,
(
t
f
x
t
x
/
)
(
)
(
)
(
iEt
e
t
f
t
Ef
i
dt
t
df
/
)
(
)
,
(
t
iE
n
n
n
e
x
t
x
Postulat
5.
dt
t
df
t
f
i
x
H
x
)
(
)
(
)
(
ˆ
)
(
1
)
(
)
(
ˆ
x
E
x
H
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
*
*
x
x
t
x
t
x
n
n
n
n
Stan stacjonarny
Wielkości odpowiadające operatorom
komutującym mogą być równocześnie
mierzone z dowolną dokładnością
dx
x
B
A
x
n
n
b
a
)
(
]
ˆ
,
ˆ
)[
(
*
2
1
Komutator
A
B
B
A
B
A
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
]
ˆ
,
ˆ
[
komutują
gdy
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
i
ˆ
A
B
B
A
B
A