Metoda graficzna (geometryczna)

Zadanie1

    Zakład może produkować dwa wyroby. Środkami produkcji są Energia, Stal, Drewno, Praca a ich ograniczenia podane są poniżej: Na wyprodukowanie dwóch wyrobów przypada max 1200 jednostek Energii elektrycznej (pozostałe ograniczenia w tabeli 1), przy czym na wyprodukowanie jednej jednostki wyrobu  pierwszego jest potrzebne 5 jednostek E a na wyrób drugi, 25 jednostek E (pozostałe ograniczenia w tabeli 2). Dobierz wielkość produkcji poszczególnych wyrobów tak aby zysk był max.

Tabela 1                                                                  

E	1200
S	600
D	420
P	900

Tabela 2

Wyrób	E	S	D	P
1	5	5	6	10
2	25	10	0	10

Zysk z wyrobu pierwszego to 10.

Zysk z wyrobu drugiego to 30.

 x₁ -ilość wyrobu 1-szego

 x₂ -ilość wyrobu 2-go

Rozwiązanie:

Tak to wygląda w przypadku pierwszej prostej. itd.

W tym miejscu zakreskowane pole oznacza wspólne pole wszystkich półpłaszczyzn oraz że na którejś z tych krawędzi znajduje się rozwiązanie.

 

Aby określić rozwiązanie zadania nanosimy na wykres gradient (przedłużamy go jeśli sytuacja tego wymaga) o współrzędnych (10,30) i rysujemy (na rys. przerywaną linią ) linie prostopadłe do gradientu. Określając w ten sposób najdalej oddalony punkt od środka układu współrzędnego. Wypada on na przecięciu prostych (1) i (2). Tworzymy z równań tych prostych układ równań i go rozwiązujemy.

Odp: Zysk będzie max dla x₁=40 i x₂=40 i wynosił będzie Z max = 1600.

Zadanie 2

Dobierz  x₁ i x₂ aby zysk był max. Mając podaną funkcje zysku oraz nierówności.

Rozwiązanie:

a) Tak by wyglądało rozwiązanie powyższego zadania, gdyby zmienić funkcję zysku na:

 

b) Tak by wyglądało rozwiązanie powyższego zadania, gdyby zmienić funkcję zysku na:

c) Tak by wyglądało rozwiązanie powyższego zadania, gdyby zmienić funkcję zysku na:

W przypadku gdybyśmy musieli znaleźć minimum funkcji zysku to w przypadku a) i c) byłyby to punkty przecięcia położone najbliżej początku układu współrzędnego. Natomiast w przypadku b) min byłby punkt przecięcia znajdujący się najdalej od początku układu współrzędnego.

 Jak sprawdzić poprawność rozwiązanego zadania?

Rozwiązanie zawsze znajduje się na krawędzi zbioru rozwiązań. Gdy szukamy maximum to wstawiamy do funkcji celu poszczególne  punkty przecięć się prostych. Punkt dla którego wartość funkcji celu jest największa, jest rozwiązaniem. Proporcjonalnie sprawa się ma do minimum, punkt w którym funkcja celu jest najmniejsza, jest rozwiązaniem.

      Możemy jeszcze wyróżnić kilka szczególnych sytuacji:

a) Równanie sprzeczne (brak części wspólnej).

b) Nieskończenie wiele rozwiązań (max)

c) Rozwiązaniem jest zbiór punktów znajdujących się na prostej A, B (przy max)

 

---