Wykład #8           

Rzut cechowany

Wiadomości wstępne

Rzut cechowany jest szeroko stosowany do projektowania wszelkich planów przestrzennych takich jak drogi, koleje, zbiorniki wodne, place, boiska sportowe oraz szacowania rozległości robót ziemnych.

Układ odniesienia

Przyjmujemy poziomo położoną rzutnię i dokonujemy rzutowania prostokątnego na tą rzutnię. Rzut cechowany jest rzutem równoległym, co oznacza, że wszystkie promienie rzutowania (k) są do siebie równoległe.

Jednostka

Jednostka jest pewną wielkością przyjętą dla danego rzutu cechowanego. Jeżeli z przestrzeni znajdującej się nad i pod rzutnią wyodrębnimy płaszczyzny równoległe do rzutni i kolejno odległe od siebie o jednostkę , to uzyskamy płaszczyzny warstwowe, których wszystkie punkty są odległe od rzutni o tą samą wartość wyrażoną w jednostkach.

Odwzorowanie punktu

 

Rzutem punktu jest przecięcie promienia rzutującego (k) przechodzącego przez dany punkt z rzutnią. Samo usytuowanie rzutu punktu nie jest wystarczające aby jednoznacznie określić ten punkt w przestrzeni. Potrzebna jest dodatkowa dana dotycząca wysokości punktu.

Cecha punktu

Cecha punktu jest to wysokość punktu w przyjętych jednostkach. Cechy punktów mogą być dodatnie lub ujemne w zależności od położenia punktu nad lub pod rzutnią. 

Punkt jest jednoznacznie określony jeżeli jest dany jego: -rzut  -cecha   -jednostka

Rzuty punktu opisujemy zwykle dużą literą alfabetu łacińskiego, a liczbę określającą cechę umieszczamy w nawiasie.

Odwzorowanie prostej

Prosta jest jednoznacznie określona jeżeli są dane rzuty cechowane dwóch różnych punktów należących do niej. (rys. 8.5)

Prosta ta jest linią przechodzącą przez rzuty tych punktów, dodatkowo strzałką zaznacza się kierunek spadu prostej. Kierunek ten pokazuje malejące warstwice. Prostą opisujemy małymi literami alfabetu łacińskiego.

Stopnie prostej

Stopnie prostej są to punkty na tej prostej posiadające całkowite cechy.

Moduł prostej

Moduł prostej jest to rzut odcinka pomiędzy sąsiednimi cechami. (rys. 8.6)

Moduł jest wielkością powtarzalną, każde dwie kolejne cechy rzutu prostej są odległe od siebie o moduł.

Nachylenie prostej do rzutni

Jest to tangens kąta nachylenia prostej do rzutni. (rys. 8.7)

 

Prosta jest jednoznacznie określona jeżeli jest dany  1.jej rzut  2.moduł lub dwie kolejne cechy z zaznaczeniem kierunku spadu 3.przynajmiej jedna cecha

Położenia szczególne prostych

 Prosta prostopadła do rzutni: (rys. 8.8)

Prosta leżąca na rzutni: (rys. 8.9)

Prosta równoległa do rzutni: (rys. 8.10)

Odwzorowanie płaszczyzny

Linie warstwowe są to krawędzie płaszczyzny danej z płaszczyznami warstwowymi.

Warstwice są to rzuty prostokątne linii warstwowych na rzutnię. Uwaga! Linie warstwowe istnieją na płaszczyźnie w przestrzeni, natomiast na płaskim rysunku płaszczyzna jest przedstawiona przy pomocy swoich warstwic.

Linia spadu płaszczyzny (l ) jest to prosta leżąca na płaszczyźnie i prostopadła do jej warstwic. Linia spadu ,jak każda prosta w rzucie cechowanym ma zwrot określający jej malejące cechy.

Moduł płaszczyzny jest to odległość dwóch warstwic o kolejnych cechach Uwaga! Moduł linii spadu płaszczyzny = moduł płaszczyzny

Płaszczyzna jest jednoznacznie określona jeżeli jest dany  -rzut linii spadu   -moduł płaszczyzny  -jednostka

Położenie szczególne płaszczyzny

Płaszczyzna rzutująca- prostopadła do rzutni.

Przynależność punktów, prostych i płaszczyzn

Przynależność punktu i prostej jest zachowana jeżeli  -rzut punktu przynależy do rzutu prostej  -cecha punktu jest zgodna z cechą prostej w tym punkcie (rys.8.14)

Przynależność prostej i płaszczyzny - jest zachowana jeżeli jednoimienne cechy prostej i warstwic

płaszczyzny przynależą do siebie. (rys.8.15)

Przynależność punktu i płaszczyzny - punkt należy do płaszczyzny, jeżeli należy do prostej należącej do tej płaszczyzny. (rys.8.16)

 

Elementy wspólne      

 

Krawędź między płaszczyznami

Elementem wspólnym dwóch płaszczyzn jest prosta nazywana krawędzią. Wystarczy określić dwa dowolne punkty tej krawędzi ,aby była ona jednoznacznie określona. Weźmy pod uwagę warstwice obu płaszczyzn o tej samej cesze. Punkt przecięcia warstwic jednoimiennych jest punktem należącym do obu płaszczyzn jednocześnie. Wszystkie jednoimienne warstwice przecinają się w punktach krawędzi , a więc wystarczy określić dwa punkty i opisać prostą w sposób typowy dla rzutu cechowanego.

Punkt przebicia prostej z płaszczyzną

Elementem wspólnym prostej i płaszczyzny jest punkt, w którym prosta przebija płaszczyznę. Przez prostą prowadzimy dowolną płaszczyznę, a następnie wyznaczamy jej krawędź z płaszczyzną daną. Punkt przecięcia prostej i krawędzi jest punktem przebicia, ponieważ jednocześnie należy do danej prostej i do danej płaszczyzny [przynależy do krawędzi-prostej tej płaszczyzny].(rys.8.4)

Równoległość prostych i płaszczyzn

Proste równoległe

Proste są do siebie równoległe, jeżeli ich rzuty mają ten sam kierunek , zwrot i moduł

Płaszczyzny równoległe

Płaszczyzny są do siebie równoległe, jeżeli ich linie spadu są do siebie równoległe.

Prosta równoległa do płaszczyzny

Prosta jest równoległa do płaszczyzny , jeżeli istnieje na niej prosta równoległa do danej prostej.

Kłady

Kład płaszczyzny rzutującej

 

Kład prostej

 

Kład płaszczyzny dowolnej

Kładem płaszczyzny nazywamy sprowadzenie płaszczyzny wraz z wszystkimi prostymi i punktami na niej leżącymi na rzutnię lub inną płaszczyznę do niej równoległą.

na rysunku dokonano kładu płaszczyzny a dokoła prostej poziomej 0a czyli warstwicy 0 tej płaszczyzny, która staje się osią kładu 0^x.

Topografia

Powierzchnia topograficzna-jest to powierzchnia terenu ,zwykle urozmaicona i nie daje się określić geometrycznie. Powierzchnię topograficzną na ogół przedstawia się w rzucie cechowanym ,czyli na mapie.

Linie warstwowe-podobnie jak dla płaszczyzny otrzymujemy jako przecięcie z płaszczyznami poziomymi leżącymi na określonych wysokościach ponad poziomem morza. Są to więc miejsca w terenie o tej samej wysokości.

Warstwice- są to rzuty prostokątne linii warstwowych na rzutnię.

Plan poziomicowy [warstwicowy] terenu- jest to przedstawienie warstwic danego terenu w odpowiedniej skali.

Punkt wierzchołkowy [szczyt] - punkt, w którym powierzchnia przyjmuje maksimum lokalne

Punkt kotlinowy- punkt, w którym powierzchnia przyjmuje minimum lokalne

Linia największego spadu - opisuje linię spływu wody, która przecina prostopadle warstwice powierzchni terenu.

Linia ściekowa - jest to linia, do której schodzą się linie spływu wody. Linia ściekowa odprowadza spływającą po niej wodę do punktu kotlinowego.

Linia grzbietowa - jest na powierzchni linią działu wodnego.

Punkt siodłowy -- jest to punkt, w którym przecinają się linie grzbietowa i ściekowa.

Linia stokowa - jest to linia na powierzchni terenu o stałym spadku.

Nachylenie powierzchni w punkcie - jest to nachylenie płaszczyzny stycznej w tym punkcie. Nachylenia powierzchni są na ogół różne w różnych punktach powierzchni.

Powierzchnia stokowa - jest to powierzchnia, która w każdym punkcie ma jednakowe nachylenie.

---