Witaj w świecie geometrii wykreślnej !

Geometrię dzielimy na planimetrię, czyli geometrię płaszczyzny oraz stereometrię, czyli geometrię przestrzeni trójwymiarowej.

Wykład #1           

Związki podstawowe i rzuty Monge'a  

Podstawowe elementy geometryczne

Punkt-oznaczany kółkiem z podaniem nazwy punktu dużą literą alfabetu Łacińskiego np. A

Prosta- oznaczona za pomocą linii prostych z podaniem ich nazwy małą literą alfabetu łacińskiego np. a

Płaszczyzny mogą być różnie określone, ale nazwy przyjmują liter alfabetu greckiego np. 

Powierzchnie np. powierzchnię kuli, nie opisujemy w szczególny sposób

Związki podstawowe [dwoiste] pomiędzy elementami geometrycznymi

1. dwa dowolne, nie pokrywające się punkty tworzą prostą (rys.1.1)     dwie przecinające się płaszczyzny tworzą prostą  (rys.1.2)

2. trzy dowolne punkty nie leżące w jednej linii tworzą płaszczyznę (rys.1.3) trzy płaszczyzny z których żadne dwie nie są do siebie równoległe i nie pokrywają się  tworzą punkt.(rys.1.4)

3. punkt i prosta do siebie nie należące płaszczyzna i prosta nie należące do siebie wyznaczają płaszczyznę wyznaczają punkt

Elementy niewłaściwe

Punkt niewłaściwy

Termin punktu niewłaściwego został wprowadzony do geometrii przez francuskiego matematyka Ponceleta, a oznacza to samo co kierunek prostej Rozpatrzmy ciąg połączeń prostej a z punktem P. Prowadząc kolejno proste a₁ ,a₂ ,a₃ uzyskujemy

punkty przecięcia z prostą a A₁ ,A₂ ,A_3.

Jeżeli z punktu P poprowadzimy prostą a_o

to proste a i a_o przetną się w nieskończoności,

czyli w punkcie niewłaściwym.

Pewne więc zadania, lub aksjomaty mogą więc być inaczej formułowane np. każde dwie proste posiadają wspólny punkt właściwy lub niewłaściwy. Od tej więc pory dwie proste równoległe posiadają wspólny punkt niewłaściwy, mają wspólny kierunek.

Prosta niewłaściwa

Zbiór wszystkich punktów niewłaściwych na płaszczyźnie nazywamy prostą niewłaściwą l , która oznacza ustawienie płaszczyzny w przestrzeni. (rys.1.8)

Weźmy pod uwagę dwie płaszczyzny równoległe  ,  ₁ i przyjmijmy dwie proste a i b na płaszczyźnie a.

Przez dwa punkty niewłaściwe przechodzi prosta niewłaściwa, czyli ustawienie płaszczyzny w przestrzeni. Obie płaszczyzny są opisane identycznymi punktami niewłaściwymi.

  

Płaszczyzna niewłaściwa

Zbiór wszystkich elementów niewłaściwych

Dołączając do punktów właściwych przestrzeni euklidesowej płaszczyznę niewłaściwą z leżącymi na niej punktami niewłaściwymi i prostymi niewłaściwymi otrzymamy przestrzeń rzutową.

Możemy rozszerzyć teraz związki dwoiste pomiędzy elementami geometrycznymi o elementy niewłaściwe. Tak więc;

1. Dwie płaszczyzny równoległe posiadają tą samą prostą niewłaściwą (rys.1.9)

2. trzy płaszczyzny ,z których dwie są równoległe [dotąd nie mające punktu wspólnego] teraz mają. (rys.1.10)

3. Płaszczyzna i prosta do niej równoległa mają wspólny punkt niewłaściwy (rys.1.11)

Utwory podstawowe przestrzeni rzutowej

1. szereg punktów p -podstawa szeregu, ABC- elementy szeregu

2. pęk prostych W (W ) - wierzchołek pęku prostych, abc - promienie pęku

3. pęk płaszczyzn p (p ) - oś pęku płaszczyzn ,  ,  ,  - elementy pęku płaszczyzn

4. układ płaski

Jest to zbiór wszystkich punktów i wszystkich prostych należących do dowolnej płaszczyzny

5. wiązka

Jest to zbiór wszystkich prostych i wszystkich płaszczyzn przechodzących przez dowolny punkt S, właściwy lub niewłaściwy.

Działania w przestrzeni rzutowej

Niniejsze wykłady omawiają rzuty figur na płaszczyznę przy pomocy przekształcenia, które nazywamy rzutowaniem. Rzutowanie jest sumą dwóch innych przekształceń; rzucania i przecinania.

Rzucanie + przecinanie = rzutowanie

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Rzucamy szereg punktów przecinamy pęk prostych rzutowanie to przekształcenie

z punktu W dowolną prostą punktów A,B C na punkty A₁,B₁...

 A prostych a, b.. na proste a₁,b₁..

Otrzymujemy pęk prostych otrzymujemy szereg punktów

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Geometria wykreślna uczy metod odwzorowania utworów przestrzeni trójwymiarowej na utwory płaskie- dwuwymiarowe i odwrotnie, z płaskiego rysunku odczytujemy utwory przestrzenne. Takie odwzorowania muszą być jednoznaczne.

Metoda rzutowania polega na przyjęciu rzutni a oraz punktu S, lub S  , który jest środkiem rzutów [S nie należy do  ] . W zależności, czy punkt S jest właściwy czy też niewłaściwy otrzymujemy różne sposoby rzutowania

Rzut środkowy

W rzucie środkowym z przyjętego środka rzutowania są wysyłane promienie rzutujące w kierunku rzutni. Rzut obiektu możemy sobie wyobrazić jako jego cień na płaszczyznę z żarówki umieszczonej w punkcie S.

 

Rzut równoległy

Środek rzutu jest punktem niewłaściwym S nie należącym do rzutni. Możemy wyobrazić sobie, że jest to rzut promieni słonecznych, ponieważ słońce jako źródło tych promieni jest tak odległe, że promienie słoneczne możemy uważać za równoległe.

Rzut równoległy ma następujące własności;

1.rzut punktu jest punktem

2.rzut prostej jest prostą [ jeśli kierunek prostej jest równoległy do kierunku rzutowania jest punktem]

3.rzut płaszczyzny jest płaszczyzną

4.rzuty dwóch prostych równoległych [ale nierównoległych do kierunku rzutowania] są rzutami równoległymi

5.stosunek długości odcinków [nierównoległych do kierunku rzutowania] jest równy stosunkowi ich rzutów. Innymi słowy, rzutowanie zachowuje proporcje.

Rzut prostokątny

W przypadku szczególnym, gdy S jest prostopadły do płaszczyzny rzutni.

Przypomnienie niektórych określeń i twierdzeń geometrii euklidesowej

Proste skośne

Dwie proste, które nie są do siebie ani równoległe ani się nie przecinają są względem siebie skośne (rys.1.22).

Krawędź

Dwie płaszczyzny w przestrzeni mają wspólną prostą - przecinają się w krawędzi. Jeżeli płaszczyzny są do siebie równoległe , wtedy mają wspólną prostą niewłaściwą (rys.1.23).

Prosta równoległa do płaszczyzny

Prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeżeli na płaszczyźnie istnieje prosta równoległa do danej (rys.1.24).

Punkt przebicia

Jeżeli prosta nie leży na płaszczyźnie , ani nie jest do niej równoległa wtedy ma z nią jeden punkt wspólny nazywany punktem przebicia (rys.1.25).

Kąt między prostymi skośnymi

Proste skośne przesuwamy równolegle do przecięcia tak , aby tworzyły płaszczyznę. Kąt pomiędzy przesuniętymi prostymi ma taką samą miarę co kąt pomiędzy skośnymi (rys.1.26).

Kąt między prostą a płaszczyzną

Płaszczyzna szukanego kąta zawiera w sobie prostą i jest prostopadła do płaszczyzny. Ramionami kąta sąt z jednej strony prosta, a z drugiej krawędź między płaszczyznami (rys.1.27).

Kąt dwuścienny

Kąt pomiędzy dwiema płaszczyznami nierównoległymi do siebie nazywamy kątem dwuściennym. Kat ten leży w płaszczyźnie e prostopadłej do obu płaszczyzn , a w szczególności krawędzi między nimi. Ramiona kąta tworzą krawędzie obu płaszczyzn z płaszczyzną prostopadłą  (rys.1.28).

Zakładając tylko jedną rzutnię otrzymujemy odwzorowanie tylko w jednym kierunku -na rzutnię .Dysponując rzutem nie możemy jednak odbudować sytuacji w przestrzeni. Odwzorowanie jest niejednoznaczne (rys.1.29).

RZUTY MONGE`A

Przyjmijmy więc dwie rzutnie prostopadłe względem siebie i dwa kierunki rzutowania, prostopadłe do każdej z rzutni . Ten sposób rzutowania nazywamy rzutami Monge`a od nazwiska matematyka, który ją pierwszy opisał.

 _{1  2}  _{1 2}=x₁₂ Indeksy umieszczone przy osi x są informacją pomiędzy jakimi rzutniami się ona znajduje.

Rzutnia na której otrzymujemy widok z góry nazywamy rzutnią poziomą  ₁, natomiast druga rzutnia nazywana jest pionową  ₂ i na niej można odczytać wysokości punktów. Z punktu A prowadzimy promienie rzutujące p_{1  1} oraz p_{2  2}. Promienie p₁ p₂ tworzą płaszczyznę rzutującą  . W przecięciu z rzutniami  ₁ i  ₂ daje ona krawędzie na których znajdują się rzuty punku A.

Mając dwa rzuty potrafimy odwzorować punkt w przestrzeni, a zatem odwzorowanie jest jednoznaczne

Rozwinięty układ rzutni

Układ dwóch rzutni prostopadłych jest układem przestrzennym, nas natomiast interesuje uzyskiwanie płaskich wyobrażeń, dysponujemy bowiem płaską kartką papieru. W celu uzyskania jednej płaszczyzny rysunku obracamy rzutnię pionową wokół osi x₁₂ aż do położenia poziomego. Wyobrażamy sobie, że górna część rysunku jest położoną rzutnią pionową, a dolna rzutnią poziomą. Każdorazowo rysując rzuty pionowe punktu, lub odtwarzając jego położenie musimy myślowo powracać z rzutnią pionową  ₂ do jej pierwotnego położenia.

Wysokość (w) punktu A, czyli odległość od rzutni poziomej AA^I jest równa odległości A^II od osi x₁₂.

Głębokość (g) , czyli odległość punktu A od rzutni pionowej AA^II jest równa odległości A^I od osi x₁₂.

Uwaga! Rzuty punktu muszą znajdować się na jednej odnoszącej. W przeciwnym wypadku nie przedstawiają jednego punktu.

Rzutnie  ₁ i  ₂ dzielą przestrzeń na 4 ćwiartki

Rzuty punktów w poszczególnych ćwiartkach

Zarówno wysokości punktów ,jak i ich głębokości mogą przyjmować dodatnie , lub ujemne wartości. Jest to wynik położenia punktu nad, lub pod rzutnią. Wiąże się to również z położeniem rzutów punktów nad lub pod osią x₁₂

Poniżej ilustrujemy jak sytuują się rzuty poziomy i pionowy punktów leżących w różnych ćwiartkach.

Szczególne położenie punktów

Punkty leżące na bezpośrednio na rzutniach lub osi x₁₂ pokrywają się ze swoimi odpowiednimi rzutami.

Rzut trzeci

Dla uzyskania prostych rzutów tworu przestrzennego, lub dla uzyskania naturalnych wielkości pewnych jego elementów wprowadza się nowe rzutnie. Zwykle przyjmują one położenie prostopadłe do istniejących już rzutni, a ich usytuowanie jest dowolne.

Cała rzutnia trzecia pokrywa się z krawędzią z istniejącą rzutnią , czyli kolejną osią x oznaczoną nowymi indeksami.

 _{3  1} p_{3  3} p_{3 3} =A^III

Rzutnię trzecią również należy położyć dokonując ich obrotu wokół osi x₁₃ i odmierzając wysokość punktu (w) zaznaczyć trzeci rzut punktu A^III. Konstruowanie kolejnego rzutu nazywamy transformacją.

W ten sam sposób wprowadzamy każdą kolejną rzutnię i odmierzamy kolejno wysokości uzyskując kolejne transformacje.

Tu kończymy WYKŁAD1. Zawiera on wystarczające informacje do wykonania 1 ARKUSZA , który składa się z dwóch zestawów. W zestawie 1 przeznaczonym do samodzielnego rozwiązaniu możesz uzyskać wskazówki, lub potwierdzenie odpowiedzi.

---