Mechanika płynów

Spis treści

1 Wykład I

• Wykład I

1. Pojęcia podstawowe

Jest nauką o równowadze i ruchu ciał płynnych pod działaniem sił wewnętrznych.

Wszystkie ciała materialne występujące w przyrodzie mogą być w zależności od warunków zewnętrznych ( ciśnienia i temperatury ) w trzech stanach skupienia:

• Stan stały

• Stan ciekły

• Stan gazowy

Wszystkie ciała można ( ogólnie rzecz biorąc ) podzielić na ciała stałe i płynne, tak więc mówiąc o płynach myślimy zarówno o cieczach i gazach.

Podział płynów :

1. Płyny nieściśliwe ( ciecze )

2. Płyny ściśliwe ( gazy )

Ciecze w odróżnieniu od gazów odznaczają się małą ściśliwością i nie zachowując kształtu zachowują objętość oraz własności formowania swobodnej powierzchni zbiorników w których się znajdują. Gazy natomiast jako płyny ściśliwe posiadają zdolność wypełniania całej objętości zbiornika.

Płyn - jako ośrodek ciągły

W mechanice cieczy i gazów płyn traktowany jest zawsze jako ośrodek ciągły. Ośrodek ciągły jest to układ mechaniczny zawierający nieskończoną ilość cząsteczek wypełniający w sposób ciągły daną objętość.

Płynu jako ośrodka ciągłego jest to objętość nieskończenie mała w porównaniu z wymiarami opływanych przez płyn ciał, a równocześnie dostatecznie wielka w stosunku do długości swobodnego przepływu molekuł.

Płyny rzeczywiste

Są to ciecze i gazy posiadające określone własności fizyczne - lepkość i ściśliwość. W płynie rzeczywistym na powierzchni styku elementów poruszających się z różnymi prędkościami występują siły styczne, które przeciwdziałają ich wzajemnemu przemieszczaniu się. Zdolność przenoszenia naprężeń stycznych nazywamy lepkością płynu.

Płyny doskonałe

Model płynu doskonałego cechuje umowne pominięcie zarówno lepkości jak i ściśliwości. Mówimy więc że płyny doskonałe są to płyny nielepkie i nieściśliwe. Ponadto zakłada się, że płyn taki nie przenosi żadnych naprężeń rozrywających.

Modele płynów

• Płyn nielepki nieściśliwy - płyn rzeczywisty

• Płyn nielepki, ale ściśliwy - płyn półdoskonały

• Płyn lepki nieściśliwy - płyn półdoskonały

• Płyn lepki ściśliwy - płyn doskonały

1. Własności fizyczne płynów

Płyn jednorodny - gęstość stała

Płyn niejednorodny - gęstość zmienna

Gęstość płynu.



_{gęstość płynu jednorodnego}




gęstość płynu niejednorodnego


Ciężar właściwy płynu



ciężar właściwy płynu jednorodnego





ciężar właściwy płynu niejednorodnego

gdzie:

G - ciężar

V - objętość

M - masa

Objętość właściwa





jest to odwrotność gęstości





Ściśliwość płynu -jest to zdolność do zmniejszania pierwotnej objętości na skutek działania sił zewnętrznych ( ciśnienia ). Ze wzrostem temperatury i ciśnienia współczynnik ściśliwości maleje. Jest to parametr charakterystyczny dla danego płynu.

Rozszerzalność cieplna - jest to zdolność do zmiany objętości pod wpływem zmian temperatury. Określamy ją za pomocą współczynnika







Czytając wzór możemy powiedzieć, że jest to stosunek względnej zmiany objętości do przyrostu temperatury, który tą zmianę wywołał.

Lepkość cieczy - jest to zdolność płynu do przenoszenia naprężeń stycznych, przy wzajemnym przemieszczaniu elementów poruszających się z różnymi prędkościami.

2. Naprężenia styczne przenoszone przez płyn

Przepływ niezależny





Według prawa Newtona naprężenia styczne wynoszą :





czyli stosunek sił stycznych do powierzchni na którą działają - określa naprężenie styczne. To naprężenie styczne jest to nic innego jak siła styczna do powierzchni na którą ta siła działa.

Czyli, jeżeli płyn ma zdolność przenoszenia naprężeń stycznych. Naprężenia styczne pojawiają się między dwiema warstwami płynu poruszającymi się różnymi prędkościami.




  współczynnik proporcjonalności (współczynnik lepkości dynamicznej )

Naprężenia styczne

Które się pojawiają ( aby się pojawiły, musi wystąpić gradient prędkości ) jeżeli nie ma gradientu nie ma żadnych naprężeń ) są wprost proporcjonalne do wzrostu prędkości i odwrotnie proporcjonalne do odległości między warstwami w kierunku normalnym. Im dalej od powierzchni , to naprężenia są mniejsze, ponieważ gradient prędkości jest również coraz mniejszy.

Przekształcając wzór na przenoszone przez płyn naprężenia styczne otrzymujemy:

  



Stosunek współczynnika lepkości dynamicznej do gęstości jest nazywany współczynnikiem lepkości kinematycznej :


 



3. Bezwzględnie zapamiętać :

Operator Nabla

=




grad  
 




Dywergencja wektora div
=

= =
jest to skalar

Rotacja wektora
- jest to iloczyn wektorowy operatora Nabla i tego wektora

rot =
=
=

+

+



rotacja wektora jest wektorem

Laplasjan

div grad
=


Jest skalarem

4. Hydrostatyka

Hydrostatyka, jako jeden z działów mechaniki płynów zajmuje się ustalaniem praw równowagi płynów i ciał w nich pływających w stanie względnego spoczynku. Czyli krótko mówiąc w hydrostatyce jest stan spoczynku cieczy względem naczynia przy czym to naczynie może się znajdować w ruchu ze stałą prędkością lub jakimś przyspieszeniem względem otoczenia, ale ciecz wzgl. ścian naczynia jest nie ruchoma.

1. SIŁY DZIAŁAJĄCE NA CIECZ W STANIE WZGLĘDNEGO SPOCZYNKU

Siły masowe

Są to siły proporcjonalne do masy cieczy :

• Ciążenia

• Odśrodkowa

• bezwładności

Siły powierzchniowe

proporcjonalne do powierzchni i działają tylko na powierzchni wydzielonej masy cieczy : - siła pochodząca od ciśnienia  parcie hydrostatyczne


Siła pochodząca od ciśnienia parcie hydrostatyczne



Ciśnienie hydrostatyczne





Powierzchnia F Myślowo odrzucona część



objętości po przecięciu powierzchnią F






















Punkt M

Rozważmy pewną objętość cieczy znajdującą się w stanie względnego spoczynku. Podzielmy na pół tą objętość powierzchnią ,, F " i odrzućmy

myślowo górną część tej objętości. Należy teraz zastąpić tę część - siłą, która zrównoważy tą odrzuconą objętość. Oznaczmy ją
Jeżeli będzie ona równomiernie rozłożona na całej powierzchni ,, F " to otrzymamy średnią wartość ciśnienia hydrostatycznego w następującej postaci :





Jeżeli płyn który tworzy tę objętość (pozostałą) jest jednorodny (tzn. gęstość w całej objętości jest stała), wówczas mamy doczynienie z takim właśnie ciśnieniem średnim.

Jeżeli jest to niejednorodne, to siła będzie rozłożona nierównomiernie na powierzchni i wówczas należy mówić o ciśnieniu w punkcie :








Jeżeli mamy doczynienia z ciągłym rozkładem ........................płyn jest jednorodny, czyli gęstość jest stała w objętości, to przy takim rozkładzie możemy przejść z zapisu granicy do pochodnej, czyli ciśnienie w punkcie -
- wynosi :





Własnością ciśnienia hydrostatycznego jest to, że w danym punkcie nie zależy od kierunku, czyli od orientacji powierzchni przechodzącej przez ten punkt i we wszystkich kierunkach jest takie same. Dowód na to :

Wyodrębnijmy w otoczeniu punku M element cieczy (elementarną objętość - w postaci czworościanu )




Pn

Rozważmy warunki równowagi tego czworościanu pozostającego pod działaniem sił zewnętrznych składających się z sił powierzchniowych normalnych, czyli z ciśnienia hydrostatycznego

BCM = dS_x

ACM = dS_y

ABM = dS_z

ABC = dS

Jednostkowa siła masowa jest funkcją X Y Z. Są to jak gdyby składowe jednostkowej siły masowej rozłożone odpowiednio na poszczególne osie X Y Z.




Siły powierzchniowe normalne można wyrazić zależnościami :













Jeżeli teraz pomnożymy odpowiednie składowe jednostkowej siły masowej przez masę naszego czworościanu, to otrzymamy składowe siły odpowiednio w kierunkach X Y Z.











Z warunku równowagi ( naszego elementarnego czworościanu ) wynika, że suma rzutów sił powierzchniowych i masowych na dowolny kierunek musi być równa zero. Skoro tak, to zsumujmy te siły odpowiednio na osiach.




analogicznie dla każdej osi

Otrzymamy układ trzech równań. W tych równaniach siła masowa jako wielkość nieskończenie mała może być przez nas pominięta ( założenie było, że przyjmujemy elementarny czworościan - nieskończenie mały, a jeżeli coś jest nieskończenie małe, to ma masę, ale ona jest również nieskończenie mała w porównaniu z innymi siłami - siłami hydrostatycznymi i w tym momencie staje się uzasadnione, że możemy siłę masową wyrzucić jako składową wyższego rzędu, która nie wiele wnosi )











Równolegle do odpowiednich rzutni, ściany czworościanu są rzutami nachylonej ściany i równe są iloczynowi powierzchni dS. i kąta zawartego po między normalnymi do tych powierzchni.

Patrząc na geometrię można powiedzieć że :












jest to nic innego, jak rzut powierzchni
na płaszczyznę B C M.

Skoro tak to :




c. n. d.

W ten sposób doszliśmy do wniosku, że wymienione ciśnienia hydrostatyczne w punkcie M działające w różnych kierunkach są sobie równe i nie zależą od orientacji elementu powierzchniowego przechodzącego przez ten punkt.

Ciśnienie nie zależy od kierunku, czyli ciśnienie jest skalarem - wartością bez kierunkową i zależy tylko od współrzędnych X Y Z (gdzie się ten punkt znajduje ).

Traktując ciśnienie jako funkcję ciągłą i różniczkowalną, możemy wyrazić zmianę ciśnienia w postaci różniczki zupełnej.




prawdę powiedziawszy nie jest to różniczka zupełna, bo jest tu brak czasu, ale można to dopuścić ponieważ w czasie nic się nie zmienia w statyce.

Jest to pochodna konwekcyjna.

1. Podstawowe równanie hydrostatyki




Siły powierzchniowe działające na ścianki tego elementarnego prostopadłościanu będą odpowiednio równe.

d P_x(AB) = (p -

dx) ⋅ dy dz

d P_x(CD) = (p +

dx) ⋅ dy dz

analogicznie dla pozostałych czterech ścian

Wartość siły masowej:

d F_x = ρ ⋅ X dx dy dz gdzie: X - jednostkowa siła masowa. Mając te siły i aby ten elementarny prostopadłościan był w stanie równowagi, to bilans tych sił na poszczególne osie musi być równy 0. W przypadku osi x będą to 3 siły: dwie powierzchniowe i jedna masowa.

Z warunku równowagi elementarnego prostopadłościanu cieczy wynika, że suma rzutów sił powierzchniowych i masowych na wybrany kierunek zawsze musi być równa zero.

Rzutując teraz wymienione ( opisane ) siły na oś X otrzymamy zależność :




po uproszczeniu :

-


dy, dz jako objętość tego prostopadłościanu można uprościć. Analogicznie dla poszczególnych osi :

















Jeżeli teraz ten układ równań wymnożymy odpowiednio przez dx, dy, dz, dodamy to odpowiednio stronami to otrzymamy zależność :




Prawa strona tego równania przedstawia różniczkę zupełną ciśnienia, a jeżeli tak, to możemy zapisać :




Jest to podstawowe równanie hydrostatyki - równanie Eulera. Przedstawia ono bilans sił powierzchniowych i masowych. Te siły muszą być sobie równe. Tym równaniem można załatwić wszystkie problemy związane z hydrostatyką. Wystarczy tylko rozpisać w danym układzie składowe siły masowej działające X Y Z. Jeżeli je wyznaczymy należy - to równanie całkować. W trakcie całkowania powstaje stała całkowania, którą należy wyliczyć z warunków brzegowych. Otrzymujemy równanie opisujące ciśnienie w dowolnym punkcie.

Co jest w przypadku jeżeli ciecz znajduje się w jednorodnym polu sił grawitacyjnych tzn. że na ciecz nie działają żadne siły oprócz sił grawitacji ?

W naczyniu znajduje się ciecz. Wszystko jest w stanie równowagi trwałej. Interesuje nas jakiś punkt tej cieczy o współrzędnych x y z




Pytanie - jakie w tym punkcie działa ciśnienie ?

Przyjmijmy że powierzchnia swobodna cieczy oddalona jest od początku układu współrzędnych pod osią X o wartość Zo . Punkt zagłębiony jest od powierzchni swobodnej na głębokość h. Na ten punkt działa tylko jedna siła masowa - siła pochodząca od przyspieszenia ziemskiego. Przyjmijmy, że na zewnątrz panuje ciśnienie Po .

Korzystamy teraz z równania hydrostatyki. Trzeba rozpisać składowe jednostkowej siły masowej. W kierunku osi X nie działa żadna siła. W kierunku osi Y też nie działa żadna siła. Działa tylko grawitacja - więc z = g, x = 0 i y = 0.

( w mechanice płynów mówiąc o sile mamy na myśli przyspieszenie, bo wystarczy pomnożyć przez masę i mamy siłę )

podstawiając teraz do równania hydrostatyki mamy :




więc :



całkujemy i po całkowaniu :




Stałą całkowania C wyznaczamy z warunków brzegowych, ponieważ w hydrostatyce warunków początkowych nie ma. Jest takie miejsce gdzie znamy ciśnienie - jest to powierzchnia swobodna cieczy. Więc dla :

z = z₀ p = p₀

Po podstawieniu mamy : p_o = γ_ C
C = p_o - γ_

p = γ_  γ_  p_o = γ ( z - z_o ) + p_o

p = γ h +p_o

Ciśnienie w dowolnym punkcie cieczy jest równe sumie ciśnienia panującego na zewnątrz i ciśnienia pochodzącego od słupa cieczy, który znajduje się nad tym punktem.

KONIEC WYKŁADU

PIERWSZEGO

• Wykład II

1. Prawo Pascala

( Prawo równomiernego rozchodzenia się ciśnienia )

Jeżeli mamy doczynienia z bardzo dużymi ciśnieniami, można pominąć siły masowe. W takim przypadku równanie równowagi płynu można sprowadzić do bardzo prostej postaci mianowicie :

dp = 0 można to dalej rozpisać






Nie znaczy to jednak, że ciśnienie jest równe zero - zmiana ciśnienia zero. Wynika więc z tego, że ciśnienie jest stałe, tzn. że jest takie samo w każdym punkcie cieczy dla danego rozpatrywanego obszaru.

Przyrost ciśnienia w dowolnym punkcie jednorodnego płynu nieściśliwego znajdującego się w stanie równowagi w potencjalnym polu sił masowych wywołuje zmianę ciśnienia o taka sama wielkość w każdym innym punkcie płynu.

Podsumowanie : jeżeli możemy pominąć siły masowe wobec tego, gdy w danym obszarze cieczy w jakimś punkcie wywołamy zmianę ciśnienia o jakąś wartość to w każdym innym punkcie tego płynu zmieni się ciśnienie o tyle samo. Jest to wykorzystywane we wszystkich maszynach hydraulicznych.

Krótki dowód na to :


A ( xyz )

p + δp

A_o (x_oy_oz_o )

p_o +δp_o

Mamy obszar cieczy, w którym wyodrębniamy dwa punkty : A(xyz) i A₀(x₀y₀z₀ ). W punktach tych panują ciśnienia odpowiednio w A - p i w A₀ - p₀. Wartości potencjałów sił będą odpowiednio równe dla A - U dla A₀ - U₀. Zakładając że ciśnienia p i p₀ są różne otrzymamy :

p - p₀ = ρ ( U - U₀ )

Różnica ciśnień musi być równa różnicy potencjałów sił. W obszarze tym zwiększamy ciśnienie za pomocą tłoczka. W punkcie A - δp , a w punkcie A₀ - δp₀. Punkty w obszarze usytuowane są w tych samych miejscach. Wzrasta w tych punktach ciśnienie, ale położenie się nie zmienia. Jeżeli tak, to energia potencjalna również nie ulega zmianie. Więc dla tego nowego przypadku musi zaistnieć następująca sytuacja :

( p + δp ) - ( p₀ + δp₀ ) = ρ ( U - U₀ )

Skoro energia potencjalna się nie zmienia, to potencjały pozostają niezmienne.

δp - δp₀ = 0

jeżeli tak, to :

δp = δp₀ Cnd .

A więc zmiana ciśnienia w dowolnym punkcie o jakaś wartość spowoduje zmianę ciśnienia o taką samą wartość w każdym innym punkcie.

2. Przyrządy do pomiaru ciśnienia

Możemy je podzielić na trzy rodzaje :

• Piezometry

• Manometry

• Wakumetry

Piezometry - służą do pomiaru nadciśnienia w cieczy wysokością słupa tejże cieczy ( piezometr nie może mierzyć nadciśnienia w gazie ). Ciśnienie które on pokazuje jest pomniejszone o ciśnienie atmosferyczne. Jest to otwarta u góry rurka szklana o średnicy wewnętrznej nie mniejszej jak pół centymetra

Manometry - dzielą się na dwie podgrupy :

• Cieczowe

• Pudełkowe

Cieczowe - wykonane są z rurki szklanej wygiętej w kształcie litery U (ururka) wypełnionej cieczą manometryczną o gęstości większej od gęstości większej od gęstości płynu w zbiorniku

Pudełkowe - służą do pomiaru ciśnienia w dość szerokim zakresie. Dzielimy je na : rurkowe, membranowe.

Pudełkowe rurkowe - składają się ze zgiętej w kształcie okręgu rurki metalowej o przekroju eliptycznym. Koniec tej rurki połączony jest za pomocą dźwigni z zębatką, poruszającą kółko zębate ze wskazówką.

Pudełkowe membranowe - różnią się od rurkowych tym, że mierzone ciśnienie cieczy zamiast odkształcenia rurki powoduje zmiany położenia membrany metalowej.

Wakumetry - są to przyrządy do pomiaru podciśnienia. Zasada działania oraz konstrukcja niczym nie różni się od manometrów cieczowych. Jeżeli manometr cieczowy wykorzystamy do pomiaru podciśnienia, to mówimy na niego wakumetr

.




p_c

p_n

p_c = p_b+ p_n p_c = p_b - p_p

p_p

p_b

p_c p_b

p_b - ciśnienie barometryczne ( atmosferyczne )

p_n - nadciśnienie

p_c - ciśnienie całkowite

p_p - podcisnienie

1. Parcie hydrostatyczne

Parciem hydrostatycznym nazywamy siłę powierzchniową jaką wywiera ciecz w stanie spoczynku na dowolnie zorientowaną w przestrzeni powierzchnię. Parcie cieczy jako wypadkowa parć elementarnych prostopadłych do elementów płaszczyzny zawsze skierowane jest normalnie do płaszczyzny na które działa.




P - parcie

N - środek parcia

p_o - ciśnienie na powierzchni swobodnej cieczy

Z - głębokość zanurzenia

Bezwzględną wartość ciśnienia w dowolnym punkcie cieczy znajdującej się w spoczynku pod działaniem sił ciążenia zgodnie z wykresem ciśnień możemy zapisać następująco :

P = p_o + γz

Elementarne parcie działające na element powierzchni dF

Elementarne parcie = ciśnienie x elementarna powierzchnia

dP = p dF = ( p_o + γ z ) dF


Parcie całkowite





moment statyczny pola F względem zwierciadła cieczy




Jeżeli uwzględnimy tę zależność to możemy parcie całkowite zapisać :

P =p_O F + γ z_S F = F ( p_O + γ z_S )

Parcie na powierzchnię płaską w dowolnym konturze jest co do bezwzględnej wartości równe iloczynowi powierzchni oraz ciśnieniu panującemu w jej środku.

Z ostatniego wzoru wynika, że wartość bezwzględna parcia nie zależy od kąta 

Przyjmijmy, że ciśnienie na zewnątrz ściany jest również równe p₀. Możemy teraz policzyć parcie netto :




Wiedząc, że parcie działa zawsze prostopadle do powierzchni, możemy wyznaczyć współrzędne punktu przyłożenia parcia. Punkt ten nazywany jest środkiem parcia. Wyznaczymy go z prawa momentów sił. Dla określenia y_N czyli odległości środka parcia od osi X porównamy moment wypadkowego parcia P do sumy momentów parć elementarnych :

Wiemy że parcia elementarne - dP = γ z dF

Moment statyczny względem osi X od parcia całkowitego musi być równy sumie momentów statycznych względem osi X od wszystkich parć elementarnych, które działają na powierzchnię.



moment statyczny względem osi X od parcia całkowitego.

=



moment statyczny względem osi X od parć

elementarnych.

Jeżeli uwzględnimy że :

z = y sin 

z_S = y_S sin  to otrzymamy :

y_N =



- jest to moment bezwładności pola F względem osi X

przypomnienie - moment bezwładności jakiegoś pola względem osi X związany jest z momentem bezwładności pola które przechodzi przez środek ciężkości oraz równoległej do osi X. -


jeżeli taką zależność uwzględnimy to


gdzie :
- moment bezwładności względem osi równoległej do X , ale przechodzącej przez środek ciężkości - wartość tablicowa.

Z tej zależności wynika, że środek parcia na ścianę pochyłą lub pionową leży zawsze poniżej środka ciężkości.

Zagłębienie środka parcia wyznaczamy z zależności geometrycznej




Współrzędną x_N wyznaczamy analogicznie jak y_N. - RÓŻNICA - Parcie całkowite liczymy względem osi Y.






;
;




moment odśrodkowy pola =





Parcie całkowite działające na powierzchnię dowolną jest równe iloczynowi objętości wykresu parcia razy ciężar właściwy (γ).

1. Wykresy parcia









F F F

Wykres parcia pionowego tworzymy następująco : od powierzchni swobodnej cieczy wystawiamy prostopadle linie w kierunku powierzchni na którą działa parcie.

Parcie całkowite


Od tej reguły nie ma odstępstw















Parcie pionowe :


Parcie poziome :


Parcie całkowite :


Środek parcia jest w środku geometrycznym wykresu parcia.

2. Prawo Archimedesa




Kontur bryły V










Kontur widziany Kontur widziany

pionowo poziomo

Przypadek bryły całkowicie zanurzonej. Siła pionowa działająca na część górną powierzchni bryły równa jest ciężarowi pionowego słupa cieczy zawartego między tą powierzchnią i powierzchnia swobodna. Zwrócona jest w dół.




Siła pionowa działająca na dolną część powierzchni ciała równa jest odpowiednio.




Zwrócona jest do góry. V₂ - jest to objętość zawarta miedzy dolna częścią powierzchni ciała, a powierzchnią swobodną. W sumie więc ciało zanurzone podlegać będzie sile ;




zwanej wyporem, zwróconej do góry i równej iloczynowi
przez objętość zanurzonego ciała. Siła ta jest równa ciężarowi cieczy wypartej przez zanurzone ciało, co jest treścią znanego prawa Archimedesa.

Wypadkowe sił w dowolnym kierunku poziomym są równe zeru wobec


Jeżeli ciało jest zanurzone częściowo, wtedy doznaje ono wyporu równego iloczynowi
przez objętość części zanurzonej. Je żeli ciężar ciała jest mniejszy od iloczynu
występuje zjawisko pływania.

KONIEC WYKŁADU

DRUGIEGO

• Wykład III

1. Metacentrum

Jest to punkt przecięcia linii działania wyporu przy małych wychyleniach z położenia równowagi, z linią działania tej siły w położeniu równowagi.


Ciało może pozostać w stanie równowagi trwałej nawet wówczas, gdy środek ciężkości znajduje się powyżej środka wyporu, ale musi być spełniony warunek na metacentrum : wysokość metacentryczna jest równa ilorazowi momentu bezwładności pola przekroju ciała pływającego przez objętość części zanurzonej.





odległość między środkiem wyporu i środkiem ciężkości - a.

• Jeżeli środek ciężkości znajduje się poniżej środka wyporu, to a < 0 i m > 0 - ciało

znajduje się w stanie równowagi trwałej.

• Jeżeli wysokość metacentryczna jest równa zero ( m = 0 ), to ciało znajduje się w stanie równowagi obojętnej.

• Jeżeli wysokość metacentryczna jest mniejsza od zera ( m < 0 ), to ciało znajduje się w stanie równowagi chwiejnej.

1. Metody badawcze stosowane w mechanice płynów

Analityczna - metoda badania ruchu płynów polega na rozwiązywaniu i badaniu własności układów ruchu. ( ilość warunków brzegowych musi być równa sumie rzędów równań tzn - mamy trzy równania różniczkowe drugiego rzędu to warunków brzegowych musimy mieć sześć ).

Badawcza ( doświadczalna )

Półempiryczna ( połączenie dwóch poprzednich ).

Przedmiotem kinematyki płynów jest ustalenie ogólnych praw ruchu płynu względem danego układu odniesienia. W kinematyce są dwie metody (podstawowe) badania ruchu :

Metoda Lagranża - (wędrowna) polega na badaniu zmiany położenia poszczególnych elementów płynu rozpatrywanych indywidualnie w danym ośrodku.




Element płynu A w stanie początkowym ( chwili zerowej ) t_o określone są współrzędne a b c. Po pewnym czasie zmieni on swoje położenie - będzie ono określone przez współrzędne x y z. Ruch tego elementu będzie określony wówczas gdy współrzędne nowego położenia będziemy potrafili wyrazić w funkcji czasu i w funkcji położenia początkowego.




Te równania - jest to nic innego jak analityczna postać równania ruchu wybranego elementu płynu, który miał początkowe współrzędne a, b, c. Określając współrzędne elementu płynu A w kolejno następujących przedziałach czasowych otrzymamy trajektorię, albo inaczej drogę tego elementu płynu.

Analogicznie możemy wyznaczyć trajektorię dla innych punktów - np.: B i C. Należy jednak postawić warunek, że punkty (elementy płynu) musiałyby znajdować się w chwili początkowej w tej samej objętości co element A.

Rzuty wektora prędkości na poszczególne osie wynoszą :




Podobnie możemy wyznaczyć przyspieszenia :




Metoda Eulera (lokalna) - polega obserwowaniu tego co się dzieje w określonym punkcie przestrzeni i określaniu wielkości fizycznych elementów płynu przechodzących przez ten punkt w czasie t.




Obieramy zgodnie z tą metodą w rozważanej masie płynu dowolny punkt M. Znamy jego współrzędne względem układu x,y,z. Przez ten punkt będą przechodziły różne elementy (o różnych trajektoriach). Współrzędne elementów płynu :

A₁ (a₁,b₁,c₁) A₂ (a₂,b₂,c₂) A₃ (a₃,b₃,c₃) przechodzących przez punkt M będą funkcjami współrzędnych x, y, z, oraz czasu t. Możemy więc zapisać ogólnie że :

a = a ( x, y,z,t )

b = b ( x, y,z,t )

c = c ( x, y,z,t )

Musimy teraz wyznaczyć prędkości i przyspieszenia :

V_x = V_x ( x, y,z,t ) V_y = ( x, y,z,t ) V_z = ( x, y,z,t )

Składowe wektora przyspieszenia możemy określić jako pochodne wektora prędkości po czasie










Są to pochodne zupełne wektora prędkości po czasie t.




W metodzie Eulera ciśnienie jest funkcją współrzędnych naszego nieruchomego punktu M oraz czasu. Podobnie sprawa ma się gęstości. Ruch płynu w którym wektor prędkości, ciśnienie, gęstość są funkcjami położenia i czasu nazywamy ruchem nieustalonym. (jeżeli jakieś parametry są zmienne w czasie - są nieustalone, jeżeli są stałe - są ustalone) Analitycznie wszystkie wielkości, które nas będą interesowały -prędkość (wektor), ciśnienie (skalar),gęstość (skalar) są zmienne zarówno w czasie jak i w przestrzeni. Jeżeli zależą te parametry tylko od położenia to mówimy ze mamy doczynienia z ruchem ustalonym. Jeżeli pojawiłby się czas to ruch byłby nieustalony.

2. Pojęcia z kinematyki płynów

Torem elementu płynu - nazywamy linię, którą zakreśla w przestrzeni poruszający się element płynu.

Równanie toru (elementu płynu) otrzymamy rozważając jego przesunięcie w przestrzeni w jakimś elementarnym czasie.

Linia prądu - (wektorowa linia pola) jest to linia przeprowadzona w polu prędkości charakteryzująca się tym, że w danej chwili wektory prędkości są do niej styczne we wszystkich punktach.

Jeżeli mamy doczynienia z przepływem ustalonym to linia prądu pokrywa się z torem elementu.

Różniczkowe równanie linii prądu wynika z warunku styczności (iloczyn wektorowy jest równy zero).




ds. -element linii

Rurka prądu - jest to powierzchnia S utworzona z linii prądu przechodzących przez wszystkie punkty konturu zamkniętego leżącego w obszarze przepływu.

Strumień - masa płynu, która wypełnia rurkę prądu.

Jeżeli przekrój poprzeczny jest nieskończenie mały (elementarny) to mówimy że mamy doczynienia ze strugą elementarną (strumień elementarny).

3. Pochodna substancjalna

W mechanice płynów buduje się ją biorąc za punkt wyjścia pojęcie różniczki zupełnej funkcji wielu zmiennych. W matematyce to jest :


(1)

w tym wyrażeniu przyrosty dx, dy,dz są przyrostami dowolnymi w przestrzeni. Jeżeli na te przyrosty nałożymy ograniczenia :




(2)

Ograniczenia te sugerują, że przyrosty są wybierane wzdłuż kierunku ruchu cząstki. Wracając do wyrażenia 1 mamy:


(3)

Jeżeli teraz przyrost funkcji df odniesiemy do przyrostu czasu dt (podzielimy), to otrzymamy:


(4)

Ten zapis ma zastosowanie dla dowolnej funkcji - istotny jest tylko operator, który tu występuje. Wyciągnijmy go więc :


(5)

Ze sposobu budowania operatora pochodnej substancjalnej wynika następująca interpretacja fizyczna :


- oznacza zmianę danej wielkości w czasie z punku widzenia obserwatora poruszającego się wraz z elementem płynu.


- oznacza zmianę w czasie danej wielkości w danym punkcie przestrzeni. Ten człon nazywa się pochodną lokalną.


- oznacza zmianę danej wielkości (dowolnej) w przestrzeni w danym ustalonym czasie. Ten człon nazywa się pochodną konwekcyjną. Jest to iloczyn skalarnym wektora prędkości i operatora Nabla -


Pochodna substancjalna jest sumą dwóch pochodnych - lokalnej i konwekcyjnej. Jeżeli coś jest ustalone w czasie, to pochodna lokalna "znika" - nie odgrywa roli.

KONIEC WYKŁADU

TRZECIEGO

Semestr IV Mechanika płynów

-20-

Autor : Jarosław Szulborski




POLITECHNIKA

WARSZAWSKA

p -

dx

p +

dx