Niepewności pomiarowe

Wielkości fizyczne służą do słownego lub matematycznego zapisu praw fizycznych

Pomiary proste

Wielkości fizyczne to cechy lub właściwości obiektów, zjawisk, procesów, które można mierzyć i wyrażać ilościowo, np. masa, czas, temperatura, natężenie prądu, przyspieszenie grawitacyjne itp.

Do pomiaru niektórych z tych wielkości służą odpowiednie przyrządy - są to tzw. pomiary proste.

Pomiary złożone

Wielkości fizyczne, których nie możemy zmierzyć bezpośrednio, wyznaczamy wykorzystując ich związek z innymi wielkościami fizycznymi , które można zmierzyć bezpośrednio, np. wartość przyspieszenia grawitacyjnego:

można wyznaczyć, mierząc długość l i okres drgań T wahadła matematycznego.

Wyznaczanie wielkości fizycznej nazywamy pomiarem złożonym lub pośrednim.

Pomiar, niepewność pomiarowa

Pomiary fizyczne polegają na porównywaniu wielkości mierzonej z przyjętym wzorcem czyli jednostką.

Wszystkie pomiary fizyczne mogą być wykonane tylko z pewnym określonym stopniem dokładności z powodu niedoskonałości stosowanych przyrządów pomiarowych i ograniczonych zdolności zmysłów eksperymentatora, który posługuje się przyrządami pomiarowymi.

Niepewności pomiaroweWynik każdego pomiaru obarczony jest niepewnością pomiarową.

Niepewność pomiaru jest miarą rozrzutu wyników powtarzanych pomiarów danej wielkości fizycznej.

Zapisując wynik pomiaru fizycznego x należy wyraźnie zaznaczyć jednostkę podanej wartości i opatrzyć przedziałem niepewności Δx:

x ± Δx Błędy grube i systematyczne

Błędy grube powstają wskutek fałszywego odczytu przyrządu lub ewidentnej pomyłki eksperymentatora.

Błędy systematyczne wynikają z wadliwego działania przyrządu pomiarowego lub źle zaprojektowanego doświadczenia.Wyniki obarczone błędem grubym należy wyeliminować. Niepewność systematycznaJeśli powtarzając pomiar wielokrotnie, otrzymujemy wyniki nie różniące się między sobą więcej niż o wartość działki elementarnej, to niepewność pomiaru zdeterminowana jest działką użytego przyrządu pomiarowego. Jest to tzw. niepewność systematyczna. Jeśli wyniki pomiarów różnią się między sobą więcej niż o wartość działki elementarnej przyrządu pomiarowego, to niepewność nazywamy wtedy niepewnością przypadkową. Niepewności przypadkowe

Niepewności przypadkowe mogą być związane z działaniem przyrządu pomiarowego, mogą być spowodowane przez eksperymentatora, mogą być wynikiem wpływu zmiennych czynników zewnętrznych.

Niepewności przypadkowe można zmniejszyć stosując dokładniejsze przyrządy i dbając o zapewnienie niezmiennych warunków doświadczenia - nie można ich jednak całkowicie uniknąć. Niepewności przypadkowe

Występowanie niepewności przypadkowych podlega pewnym prawidłowościom. Małe odchylenia od wartości rzeczywistej występują częściej niż odchylenie duże.

Oszacowanie wartości niepewności przypadkowych można wykonać korzystając z metod statystyki matematycznej

Ocena niepewności przypadkowychWielokrotne niezależne powtarzanie tego samego pomiaru fizycznego pozwala otrzymać serię wyników x1, x2, x3, .......xn gdzie n - liczba wykonanych pomiarów.Rzeczywistej wartości wielkości fizycznej nie znamy ale można wykazać, że najbardziej zbliżona do niej jest średnia arytmetyczna otrzymanych wyników

Średnia arytmetyczna

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe jest miarą niepewności pojedynczego wyniku pomiaru.

Miarą niepewności średniej arytmetycznej jest :

Rozkład Gaussa

Rozkład prawdopodobieństwa Gaussa daje możliwość obliczenia prawdopodobieństwa, że dowolny wynik pomiaru znajduje się w zadanym przedziale wartości x.

W przedziale:

(xśr - σ , xśr + σ) mieści się 68,27% wyników

(xśr - 2σ, xśr + 2σ) mieści się 95,45% wyników

(xśr - 3σ, xśr + 3σ) mieści się 99,73% wyników

Szacowanie niepewności pomiarów prostych

W przypadku wykonywania pojedynczego pomiaru bezpośredniego przyjmujemy, że miarą niepewności jest najmniejsza podziałka używanego przyrządu pomiarowego:

pomiar długości linijką - niepewność 1mm

pomiar suwmiarką - niepewność 0,1mm

pomiar mikrometrem - niepewność 0,01mm.

Niepewność pomiarów prostych

W przypadku znajdowania mierzonej wartości przez dodawanie lub odejmowanie dwóch odczytów przyrządu (np. wyznaczanie masy wody w naczyniu poprzez podwójne ważenie naczynia pustego i wypełnionego wodą) niepewność takiego pomiaru przyjmujemy dwa razy większą niż niepewność pomiaru pojedynczego.

Niepewność pomiarów prostych

Maksymalna niepewność pomiaru wynikająca z klasy (kl) miernika elektrycznego wynosi :

gdzie Z - zakres pomiarowy miernika.

Oszacowane niepewności wyrażane są w takich samych jednostkach jak mierzona wielkość fizyczna i nazywane są niepewnościami bezwzględnymi.

Niepewność względna

Niepewność względna jest wielkością bezwymiarową podawaną najczęściej w procentach:

Dla pomiaru x o niepewności Δx, lub względna niepewność wartości średniej

Zasady zaokrąglania niepewności pomiaru i wyników pomiaruNiepewności zaokrąglamy w górę do jednej cyfry znaczącej (wyjątkowo do dwóch cyfr znaczących w przypadku gdy zaokrąglenie niepewności zmienia ją więcej niż o 10%).Wyniki pomiarów należy zaokrąglać tak, aby podawać je z dokładnością do miejsca, na którym występuje ostatnia znacząca cyfra niepewności pomiaru.

Obliczanie niepewności w przypadku pomiarów złożonych

W większości ćwiczeń wykonywanych w laboratoriach fizycznych dokonujemy pomiarów kilku wielkości fizycznych mierzonych bezpośrednio i na podstawie tych pomiarów obliczamy inną wielkość fizyczną

A = f(x1, x2, x3, ..., xk )

A - wielkość złożona

Niepewność pomiarów złożonych

X1, x2, x3, ...., xk - wyniki pomiarów bezpośrednich mierzonych z niepewnościami odpowiednio

Δx1, Δx2, Δx3,..., Δxk.

Niepewność złożoną (bezwzględną) ΔA można obliczyć metodą różniczki zupełnej opisaną równaniem:

Niepewności pomiarów złożonych

Względna niepewność maksymalna:

podany powyżej sposób obliczeń daje prawdopodobieństwo znalezienia wartości rzeczywistej w przedziale (A -ΔA, A +ΔA) wynoszące 0,999.

Niepewność pomiarów złożonych

W przypadku, gdy wielkość złożona :

jest iloczynem potęg mierzonych bezpośrednio wielkości x1, ..., xk (C- dowolna stała, potęgi a1, ..., ak mogą być dodatnie, ujemne, całkowite, ułamkowe), stosujemy metodę pochodnej logarytmicznej.Niepewności pomiarów złożonych

Niepewność bezwzględna :

np. niepewność bezwzględna gęstości

WEKTORY -skalarne(masa,gęstość,droga,temp,cisnienie,energia,czas-wektorowe(przemieszenie,prędkość,sila,ped,indukcja)Wektor-to odcinek majacy poczta tek i koniec,uporzadk.para pewnych pkt,dwojka liczb w ukl.kartez.trojka w ukl.wspol.przestrz.oznaczenie-a↗wektor,│a│dlugosc wekt. Cechy-kierunek to prosta wzdloz ktorej dziala wektor,-zwrot-strona dzialania,-wartosc-dlugosc wekt.-punkt przyłożenia-pkt.zaczepienia wekt.Działanie na wektorach-suma a↗b↘ a+b=c metoda trojkata ∆ met.rownologlob. a+b=c(c-przekatna). Do dzialania położenia i orientacji wektora w przestrzeni zastosowac można ukl.wspol.moze być jednowymiarowy.Dla ułatwienia opisu wprowadza się wersor czyli wektor jednostkowy.wartosc wynosi 1 a jego rola sprowadza się do okreslenia orientacji osi liczbowej w przestrzeni.Przy wykorzysta.osi i wersora możemy okreslic współrzędne.Ax=A*i=AicosL=A w przyp.jednowym.wspolrz.wektroa rowna jest jego wartości. W przyp.dwuwym.kazda z osi ma swój wersor oś Xi,ośYj Ax=A*i=AcosL Aj=A*j=Acos(90-L)=AsinL Wspol.wektora-to iloczyn skalarny wektora i opow.wersora. Stosujac współ.wersora A=Axi+Ayj A=8i+12j A=√Ax²+Ay² Wspolrzeda może być dodat,ujemna.Dodawanie-A=Axi+Ayj B=Bxi+Byj A+B=(Ax+Bx)i+(Ay+By)j Odejmowanie-A=Axi+Ayj B=Bxi+Byj to A-B=A+(-B), -B=-Bxi-Byj, A-B=(Ax-Bx)i+(Ay-By)j Mnozenie- A=Axi+Ayj to n*A=nAxi+nAyj Iloczyn skalarny A*B=(Axi+Ayj)*(Bxi+Byj)=Axi*Bxi+Axi..=Ax*Bx+Ay*By Skladowe-ax i ay to skl.wektora.Wspolrzedne początku i konca wektora a wynosza opow.(x1,x2)(y1,y2) [ax,ay]=[x2-x1,y2-y1] wart.wektora obl.pitagorasem
=
obl.wart.iloczynu A*B=A*B*cos, AxB=A*B*sinL


RUCH JEDNOST>PROST-nazyw.ruch w którym:prędkość jest stala,torem jest linia prosta,przyspieszenie rowne 0,droga proporcj.do czasu.Droga jest funkcja liniowa czasu. Zaleznosc drogi od czasu

L-kat nachyl.wykresu do osi czasu,kat nach.zalezy od wartości predk.(tym wiekszy im wieksza szybkość) V=s/t=tgL Zaleznosc V(t) Fig.pod wykresem=s s=V*t Rowanie ruchu ciala do opisu ruchu można wykorz.odleglossc od wybranego ukl.odnies.pkt jest poczatk.ukl.wspolrz. x=v*t+Xo Xo(polozenie pocz.wspolrz.ciala w chwili t=0) S=x2-x1 s=v*t,x2=x1+V*T,X=X1-V*T jeżeli cialo porusza się zgodnie ze zwrotem osix to wspolrz.Vjest dodatnia i rowna szybkości ciala Vx=V zatem wspolrz.poloz.ciala jest liniowa rosnaca funkcją czasu X=V*t+X0,przeciwnie do zwrotu osi x współ jest ujemna x=-V*t+XoRuch zmienny-ruch w którym przyspieszenie nie ulega zmianie w czasie trwania ruchu a=∆v/∆t ∆V=V-Vo ∆t=t-to stad V=Vo+a*∆t ruch jedn.przysp-wartosc V rosnie,opóźniony maleje. R.przysp to ruch w którym przysp.jest stale i zwrot jest zgodny ze zwrotem V V=Vo+a*∆t, droga przebyta przez cialo = polu trojkataRuch opozn-przyspiesz.jest stale zwrot jest przeciwny do zwrotu wektora V V=Vo-a*∆t, droga jest kwadratowa funkcji czasu Ruch po okregu-przypadek r.krzywolin,kierunek prędkości się zminia, torem jest okrag w którym wektor prędkości liniowej jest styczny do toru a szybkość jest stala OkresT-czas do wykon.1 okregu(s),czast-liczba pelnych okrążeń w jedn.czasuf=1/t ,s=2∏r V=2∏r/t szybk V=2∏rf szybk.katowa-iloraz kata zakreślonego przez promien kata L do czasu w którym zostal zakreślony w=L/t w=2∏/T V=2∏r/T V=wr Przysp.dosrodk-wynika ze zmiany kier.predkosci,skierowane do srodka okregu ar=V2/r w=2pi/T ŚRODEK MASY-posiada wlas.pojedynczego ciala o masie rownej sumie mas cial tworzących układ.prawa ruchu dla poszcz.cial można zastąpić prawami ruchu srodka masy Xc=m1x1+m2x2/m1+m2 srodek masy w jedno.polu grawit.pokrywa się z srod.ciezkosci. Srod.cizkosci-to pkt nad którym musi znajowac się punkt zawieszenia ciala lub pod którym musi znajdowac się punkt podp.cialaMom.bezwł-E=mV2/2, I=Emiri² 1kg*m²Tw.steinera-moment bezw.wzgledem osi przech.przez srodek masy bryly oraz iloczynu masy i kwadratu odległości I=Io+md²MOMENT SIŁy-M=rxF M=rFsinL,[M]=1Nm Izas.dynam-jeżeli wypadk.moment sily dziala na bryle sztywna względem wybranej osi obrotu rowny jest 0 to bryle pozostaje w spoczynku lub porusza się ruch.obrot ze stala V M=EMi=0 II zasada-jeżeli wypad,moment sil działaj.na bryle sztywna wzgl.wybranej osi obrot.jest różny od 0 to Bryla porusza się zmiennym ruchem obrotowym z przyspiesz.katowym wprost proporcj.do wypadkow.momentu sily i odwrot.propor.do moment.bezwlad.bryly względem osi obrotu E=M/I MOMENT PEDU-p=m*V, względem pkt 0 L=rxp kier i zwrot momentu pedu wyznacz regula sroby prawoskr. L=rpsinL,L=rmrsinL gdy pkt porusza się po okregu L=rxp,L=rp=rmr. Wypadkowy moment pedu układu pkt.materialnych względem określonych punktow jest rowny sumie momentow pedu pkt materialnych wchodz.w sklad tego układu L=L1+L2 Moment pedu bryly sztywnej Bryle można podzielic na n elementow Li=rixp, Li=mirivi wiec Li=wmiri² suma momentow L=Eli=wEmiri² L=Iw szybkość zmian momentu pedu rozna jest wypadkowemu moment.sily dzial.ba bryle ∆L/∆t=M zasada Zach.momentu pedu-calkowity moment pedu ukl.izolowanego jest staly,ukl.izolowany-nie dzial.zewnetrzne momenty silytoczenie-złożenie ruchu postępowego i obrotowego,ruch jest zlozeniem V r.postep bryly i predk.liniowejrozpatrując problemy związane z toczeniem się bryły można potraktować ten ruch:Jako założenie ruchu postępowego i obrotowegoJak obrót wokół chwilowej osi obrotu zlokalizowanej w punkcie styku ciała z podłożem Sily działające:ciezar,s.tarcia,reakcji podloza r.post.Fs=mgsinL,mgsinL-T=ma r.obrot-TR=Io*a/R,a=mgsinL/m+Io/R² Dział.sily rozciągającej wywoluje naprężenie p w materiale P=f/SPrawo hooke'a-naprężenie występujące w ciele stałym jest proporcjonalne do odkształcenia f/s=E*∆l/loSiła sprężystości-siła która powoduje powrót ciała do poprzedniego kształtu. Zgodnie z p.hooke'a siła ta jest proporcjonalna do odkształcenia ciała F=-kx Ep.sprez ∆E=kx^2/2 Oscylator-wychyl X 1m,amplit A 1m,okres T 1s,czest.f 1Hz T=1/fCechy ruchu harmonicznego; okresowy, niejednostajnie zmienny bo siła działająca na ciało nie jest stała ale proporcjonalna do wychylenia, zmienia się wartość i zwrot prędkości ciałaSiła działająca na ciało w r.harmonicznym jest proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie do niego skierowanaRuch jednostajny po okręgu jest złożeniem dwóch ruchów harmonicznychWahadło-ciało zawieszone lub zamocowane pod swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem sił grawitacjiWahadło sprężynowe-ciało o masie m zawieszone na sprężynie o współczynniku sprężystości kWahadło matematyczne-punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici, idealizacja wahadła fizycznego PRĄDZjawisko prądu elektr.-jeśli 2 nieelektryzowane przewodniki o różnych potencjałach połączymy przewodnikiem to ich potencjał wyrówna się poprzez przemieszanie ładunków przez drut.Zjawisko uporządkowanego przepływu ładunków elektr.nazywamy prądem elektr.Prąd można zaobserwować we wszystkich stanach skupieniach:Metalach-ładunek przenoszony przez swobodne elektronyW cieczach-przez jonyW gazach-przez jony i elektrony będące efektem jonizacji gazówKierunek ruchu cząstek w trakcie przepływu pr.elektr.zależy od znaku ładunku cząstkiPr.elektr. przepływa od wyższego do niższego potencjału elektrycznegoNatężenie pr.elektr.określa jaki ładunek przepływa przez przekrój poprzeczny przewodnika w jednostce czasu 1A=1C/S I=∆q/∆tPrąd stały-jeśli natężenie pr.elektr nie zależy od czasuPrąd zmienny-prąd którego natężenie zależy od czasuW szczególnym przypadku gdy zmienia się natężenie i kierunek prądu, prąd zmienny nazywamy prądem przemiennym

Prąd przemienny płynący w sieci energetycznej ma przebieg sinusoidalny-można opisać funkcją sinus

Gęstość pr.elektr definiuje się:iloraz natężenia prądu I i pola przekroju poprzecznego przewodnika S, j=i/s 1A/m²

Napięcie elektr.-iloraz pracy wykonywanej przy przemieszczaniu ładunku i wartości tego ładunku. Określa jaką pracę wykonuje nad jednostkowym ładunkiem elektrycznym siły pola elektrycznego w czasie przemieszczania go między 2 punkty wewnątrz przewodnika-jedn U=1I/C

Napięcie mierzymy woltomierzem, natężenia-amperomierzem źródła napięcia: chemiczne

Odbiornik en.elektr.-urządzenie które pozwala zamienić en.elektyczna w inną formę energii:en.wewnętrzna-wszystkie odbiornikiEn.mechaniczna-silnik elektryczny

En.fal elektromagnetycznych-światło-żarówka

Fale radiowe-antena nadawcza

Schemat obwodu elektr.umożliwia badanie zależności natężenia prądu od napięcia dla odcinka obwodu

Szereg I=i1=i2=i3 U=U1+U2+u3 rownol I=i1+i2+i3 U=U1=U2=u3Pr.Ohma(dla odcinka obwodu)-stosunek napięcia elektrycznego pomiędzy końcami odcinka obwodu do natężenia prądu płynącego w tym odcinku jest wielkością stałą

Pr Ohma dla całkowitego obwodu-natężenie prądu płynącego w obwodzie jest wprost proporcjonalny do siły elektromotorycznej, a odwrotnie proporcjonalnie do całkowitego oporu obwoduStały iloraz napięcia i natężenia z pr.Ohma oznacza się lit R i nazywa się oporem elektrycznym odcinka obwodu lub oporem elektrycznym R=U/I 1om=1v/aOpór zastępczy-opór za pomocą którego można zastąpić fragment obwodu to taki sposób by pozostała część obwodu działała bez zmian szer-R=r1+r2+r3 rownol 1/R=1/r1+1/r2+1/r3

Opór właściwy-własność w zakresie przewodnictwa elektrycznego charakteryzuje wielkość fizyczna;jest cechą dla danej substancji p=1om,mOpór zależy od rodzaju materiału,długości,pola przekr.przew. R=pl/sopor rosnie wraz ze wzrostem temp.R=Ro(1+Lt)Opór elektr.metali-im wyższa temperatura metalu tym większa jest amplituda drgań jonów sieci krystalicznych metali i tym większe jest prawdopodobieństwo zderzenia się elektronów z tymi jonami1pr Kirchhoffa- suma natężeń prądów dopływających do węzła w obwodzie jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła

2pr Kirchhoffa-suma algebraiczna wszystkich sił elektromotorycznych i napięć w oczku sieci jest równa zeru

Trzeba:określić kierunek przepływu prądu,określić kierunek „obchodzenia”każdego oczka sieci,jeśli mijamy źródło siły elektromotorycznej przechodząć od -do+ to przyjąć je w równaniu ze znakiem+,jeśli mijamy opór w obwodzie to jeżeli prąd płynie w kierunku naszego przemieszczania się to spadek napięcia przyjmujemy ze znakiem-Prawo oma dla całkowitego obwodu-I=Ei/R+r Natezenie pradu płynącego w obwodzie jest wprost proporcjonalne do sily elektrolot.a odwrotnie prop.do całkowitego oporu obwodu

---